MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH mũ và PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Lời giới thiệu : Phương trình mũ và phương trình lôgarit là một bài toán thường được cho trong các đề thi tốt nghiệp THPT cũng như đề thi tuyển sinh vào cao đẳng, đại học những năm học t

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu :

Phương trình mũ và phương trình lôgarit là một bài toán thường được cho trong các

đề thi tốt nghiệp THPT cũng như đề thi tuyển sinh vào cao đẳng, đại học những năm học trước và với năm học này là kỳ thi THPT quốc gia Yêu cầu về bài toán phương trình mũ và lôgarit khá phong phú và đa dạng Các em học sinh thường lúng túng hoặc bế tắc khi gặp phải các câu hỏi lạ Do đó, các em phải biết chuyển một bài toán

lạ về một bài toán quen thuộc đã biết cách giải Việc làm này đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán Ngoài ra, các em học sinh cònphải biết tư duy, phân tích, vận dụng phương pháp giải một cách khoa học Điều này còn có một số em học sinh chưa nắm vững và hay nhầm lẫn trong việc vận dụng Cho nên tôi đã chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình mũ và phương trình lôgarit” nhằm giúp học sinh nắm vững lý thuyết và phương pháp giải của từng dạng toán về phương trình mũ và phương trình lôgarit Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích chocác em học sinh trong việc ôn tập để kiểm tra và thi cử

2 Tên sáng kiến: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Nguyễn Thu Thủy

- Địa chỉ tác giả sáng kiến:Trường THPT Triệu Thái

- Số điện thoại:01676584756

E_mail:nguyenthuthuy.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học giáo dục

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 12/11/2018

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

- Về nội dung của sáng kiến:

1.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ :

1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số:

1.1 a) Phương pháp : Biến đổi cùng cơ số đưa phương trình về các dạng sau:

+ 0< a  1: a f(x) =a g(x) (1)  f(x)=g(x)

+ 0< a  1: a f(x) =b  ( )=

>

b x

f

b

a

log 0

.1.1 b) Ví dụ minh hoạ :

Giải các phương trình sau:

2 3

x= −

2) Ta có:

2 3 4 2 2 2

2

2 0 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

1 2

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

0 20

x x

x= 3)

1 2

x x

x x

x x

* Dạng 4: Các phương trình bậc lớn hơn 2 đối với f(x) có dạng tương tự như dạng

1 Cách giải của những dạng này tương tự như dạng 1

x x

16 16 3 1 4

=

− + −

−x x x

x

6) 3.8 +4.12 −18 −2.27 =0

x x

x x

+ Chọn cơ số thích hợp ( theo cơ số a, hoặc b, hoặc c) để lấy lôgarit hai vế của

PT ⇔ x x =

2log 32 log2 0

2log 32 0

(log 32 ) 0

0log 32

Ta thấy x=2 là một nghiệm của phương trình.

Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất của phương trình

, suy ra PT vô nghiệm khi x<2

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2

2.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT:

2.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số:

2.1 a) Các bước giải :

+ Tìm điều kiện xác định của phương trình

+ Biến đổi đưa phương trình về dạng cơ bản :

b a

2 11

x PT

−

−

3) Ta có:

2 2

10) log x log x log5 + 25 = 0,2 3

+ Tìm điều kiện xác định của phương trình

+ Biến đổi cùng cơ số và đặt ẩn phụ đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai hoặc phương trình bậc ba, hoặc phương trình chứa ẩn ở mẫu

2.2 b) Ví dụ minh hoạ :

Giải các phương trình sau:

log ( 1) 1 log ( 1) 4.log ( 1) 5 0

x= −

.3) Ta có:

2

16)2log ( 1 ) log ( 2 1 ) 3

3 2

2 3

18)

1 log (5 -1).log5 x 25(5x+ - 5) 1=

log 4 log

log 2 log 8

x x

26)

1 log 3 log log 3 log

x TM x

Vậy PT đã cho có hai nghiệm là x=0;x=2

2) Mũ hóa cơ số 3 hai vế của phương trình và làm tương tự phần 1

3) Đặt t=log3x , chuyển về PT ẩn t rồi mũ hóa cơ số 2 hai vế PT và làm tương tự phần 1

x

6) log (3 1 2 2) 1/2

x

7)log (9 1 4.3 2) 3 1

2.4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số :

2.4 a) Các bước giải :

+ Tìm điều kiện xác định của phương trình

+ Chú ý dạng :loga u u− =loga v v− có dạng f u( ) = f v( ) ⇔ =u v

, trong đó hàm f là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên tập xác định của nó và phương pháp đánh giá hai vế của phương trình

• Ta thấy x = 2 là nghiệm của phương trình

• Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.Thật vậy :

+ với mọi x > 2 ,ta có f (x) = log2 x đồng biến và g(x) = 3− x là hàm

nghịch biến nên f (x) > f (2) =1 , g(x) < g(2) =1 Do đó phương trình

vô nghiệm với mọi x > 2

+ Tương tự, với mọi x thoả 0 < x < 2 phương trình vô nghiệm

• Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm là x = 2

2) • Điều kiện : x > 0

• Ta thấy x =1 là nghiệm của phương trình

• Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x =1 Thật vậy :

+ với mọi x >1,ta có f( x) = 2x đồng biến và g(x) = 2 −log3 x là hàm

nghịch biến nên f (x) > f (1) = 2 , g(x) < g(1) = 2 Do đó phương trình

vô nghiệm với mọi x >1

+ Tương tự, với mọi x thoả 0 < x <1 phương trình vô nghiệm

• Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm là x =1

log x− 3.log x+ = 2 log x − 2

15/ log2x.log3x x+ .log3x+ =3 log2x+3log3x x+

16/ 3.log 3(x+ = 2) 2.log 2(x+ 1)

18 22x-3 - 3.2 x-2 + 1 = 0

19 22x+1 −2x+3−64 = 0

20

1 1 2

3

1 3

log log x + log log x =

log

2

1

2 2

36/

0 5 1 log

3

2

3 x+ x+ − =

37/ log x 2.log x 2 log x.log x 2 + 7 = + 2 7

3.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ :

Bài toán PT Mũ chứa Tham Số - Các câu hỏi hay gặp:

- Tìm m để pt có nghiệm

- Tìm m để phương trình có 1 nghiệm duy nhất, 2 nghiệm, 3 nghiệm,

- Biện luận số nghiệm của phương trình theo m

Bài 1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

a/ Giải phương trình khi m=2

b/ Tìm m để PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 + x2 = 3

Bài 5 Cho phương trình .16 2.81 5.36

Tìm m để PT có nghiệm duy nhất

Bài 6 Cho phương trình ( 4).9 2( 2).3 1 0

( m là tham số )a/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : x1 + x2 = 3

TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1) Tìm m để phương trình 9x - 2.3x + 2 = m có nghiệm x ∈ (- 1;2)

A) 1 ≤ m < 65 B)

13 9 < m < 45 C) 1 ≤ m < 45 D)

13 9 < m < 65

2) Giải phương trình 3x + 6x = 2x Ta có tập nghiệm bằng :

A) {1} B) {2} C) ∅ D) {- 1}

3) Giải phương trình ( 2 + 3) (x + 2 − 3)x = 4

Ta có tập nghiệm bằng :A) {1, - 1} B) {- 4, 4} C) {-2, 2} D) {2,

1 2

} 4) Giải phương trình 3x + 5x = 6x + 2

C) Phương trình có nghiệm duy nhất x =1 D) Phương trình

có nhiều hơn 2 nghiệm

6) Tìm m để phương trình 4x - 2x + 3 + 3 = m có đúng 2 nghiệm x ∈ (1; 3)

A) - 13 < m < - 9 B) 3 < m < 9 C) - 9 < m < 3 D) - 13 < m < 3 7) Giải phương trình (3 2 2 + ) (x + − 3 2 2)x = 6x

Ta có tập nghiệm bằng :A) {2} B) ∅ C) {1} D) {-1}

8) Giải phương trình 12.9x - 35.6x + 18.4x = 0 Ta có tập nghiệm bằng :

2 1 - x2

1 - x

9x+ − 8.3x+ + = 4 m

có nghiệm

A) - 12 ≤ m ≤ 2 B) - 12 ≤ m ≤

7 9

C) - 12 ≤ m ≤ 1 D) - 12 ≤ m ≤

13 9 11) Giải phương trình

2 2

2x − x = 3

Ta có tập nghiệm bằng :A) {1+ 1 log 3+ 2 , 1 - 1 log 3+ 2 } B) {- 1+ 1 log 3+ 2 , - 1 - 1 log 3+ 2 }.C) {1+ 1 log 3− 2 , 1 - 1 log 3− 2 } D) {- 1+ 1 log 3− 2 , - 1 - 1 log 3− 2 } 12) Giải phương trinh 2 2 18 2 6

x + + − x =

Ta có tập nghiệm bằng :A) {1, log 122 } B) {1, log 102 } C) {1, 4} D) {1, log 142 } 13) Giải phương trình 3x + 33 - x = 12 Ta có tập nghiệm bằng :

A) {1, 2} B) {- 1, 2} C) {1, - 2} D) {- 1, - 2} 14) Giải phương trình 3 6 3

Ta có tập nghiệm bằng :A) {- 1, 1} B) {1} C) {0, - 1} D) {0, 1}

15) Giải phương trình 2008x + 2006x = 2.2007x

A) Phương trình có đúng 2 nghiệm x = 0 và x = 1 B) Phương trình

có nhiều hơn 3 nghiệm

C) Phương trình có đúng 3 nghiệm D) Phương trình có

2x +x + 2 − −x x = 5

Ta có tập nghiệm bằng :A) { 1, 2} B) {1, - 1} C) {0, - 1, 1, - 2} D) {- 1, 2} 20) Tìm m để phương trình

22) Giải phương trình ( ) 2 5 ( ) 10

x+ − − = x+ +

Ta có tập nghiệm bằng :A) {- 1, - 5, 3} B) {-1, 5} C) {- 1, 3} D) {- 1, - 3, 5} 23) Giải phương trình

2x − = 5x+

Ta có tập nghiệm bằng :A) {1, 1 - log 52 } B) {- 1, 1 + log 52 } C) {- 1, 1 - log 52 } D) { 1, - 1 +2

log 5

}

24) Giải phương trình x2.2x + 4x + 8 = 4.x2 + x.2x + 2x + 1 Ta có tập nghiệm bằng.A) {- 1, 1} B) {- 1, 2} C) {1, - 2} D) {- 1, 1, 2} 25) Tìm m để phương trình 4x - 2(m - 1).2x + 3m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 sao cho

x1 + x2 = 3

A) m =

5 2

7 3

m= D) m = 2

26) Giải phương trình 8 - x.2x + 23 - x - x = 0 Ta có tập nghiệm bằng :

A) {0, -1} B) {0} C) {1} D) {2}

27) Tìm m để phương trình 4x - 2(m + 1).2x + 3m - 8 = 0 có hai nghiệm trái dấu.A) - 1 < m < 9 B) m <

8 3

8 3 < m < 9 D) m < 9

28) Giải phương trình 4x - 6.2x + 8 = 0 Ta có tập nghiệm bằng :

A) {2, 4} B) {1, 2} C) {- 1, 2} D) {1, 4}

29) Giải phương trình 6x + 8 = 2x + 1 + 4.3x Ta có tập nghiệm bằng :

A) {1, log 43 } B) {2, log 23 } C) {2, log 32 } D) {1, 2}

9x − 4.3x + = 8 m

có nghiệm x ∈[- 2;1 ].A) 4 ≤ m ≤ 6245 B) m ≥ 5

35) Giải phương trình 4x + (x - 8).2x + 12 – 2x = 0 Ta có tập nghiệm bằng :

A) {1, 3} B) {1, - 1} C) {1, 2} D) {2, 3} 36) Giải phương trình (x + 4).9x - (x + 5).3x + 1 = 0 Ta có tập nghiệm bằng :

A) {0 , - 1} B) {0, 2} C) {1, 0} D) {1, - 1} 37) Giải phương trình

3 x = 4 x

Ta có tập nghiệm bằng :A) {

( 3 )

3 4

log log 4

} B) {

( 3 )

2 3

log log 2

} C) {

( 4 )

4 3

log log 3

} D) {

( 3 )

4 3

log log 4

} 38) Giải phương trình 8x - 7.4x + 7.2x + 1 - 8 = 0 Ta có tập nghiệm bằng :

A) {0, 1, 2} B) {- 1, 2} C) {1, 2} D) {1, - 2} 39) Giải phương trình

2 2 6

2x − − =x 4

Ta có tập nghiệm bằng :A) {4; - 2} B) {- 4; 2} C) {- 5; 3} D) {5; - 3} 40) Tìm m để phương trình

42) Giải phương trình 3x - 1 = 4 Ta có tập nghiệm bằng :

A) {1 - log 34 } B) {1 - log 43 } C) {1 + log 34 } D) {1 + log 43 } 43) Tìm m để phương trình 4x - 2x + 1 = m có nghiệm

A) - 1≤ m ≤ 0 B) m ≥ 1 C) m ≥ 0 D) m ≥ - 1 44) Tìm m để phương trình 4x - 2x + 6 = m có đúng 1 nghiệm x∈[1; 2]

A) m ≥ 8 B) 8 ≤ m ≤ 18

C) 8 < m < 18 D) m =

23 4

v 8 < m < 18

45) Giải phương trình 2x + 3 + 3x - 1 = 2x -1 + 3x Ta có tập nghiệm bằng :

A) {

2 3

51 8

log   ÷

 

} B) {

2 3

4 45

45 4

log   ÷

 

} D) {

2 3

8 51

log   ÷

 

}

Ta có tập nghiệm bằng :A) {2, - 2} B) {4,

1 2

} C) {2,

1 2

} D) {1; - 1} 48) Tìm m để phương trình 9x - 4.3x + 2 = m có đúng 2 nghiệm

A) m ≥ - 2 B) m ≥ 2 C) - 2 < m < 2 D) - 2 < m ≤ 2 49) Giải phương trình

| 1| 2 2

9x+ = 27 x−

Ta có tập nghiệm bằng :A) {2} B) {2,

1 2

} C) {1} D) {3,

1 4

} 50) Giải phương trình

4x + (x − 7).2x + 12 4 − x = 0

Ta có tập nghiệm bằng :A) {1, - 1, ± 2} B) {0 , - 1, 2} C) {1, 2} D) {1, - 2}

TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Câu 1: Tập xác định của phương trình:

C

29 3

Câu 7: Số nghiệm của phương trình:

log x+ 4log x= 0

có tập nghiệm là:

A {1; 16} B {1;

1 2

D Đáp án khác Câu 13: Phương trình:

- Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Áp dụng cho học sinh lớp 12

8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): không

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 12 sau khi học xongchương II giải tích 12

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo

ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiếnlần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiếntheo ý kiến của tác giả:

1 Thống kê kết quả trước khi học tập tài liệu :

Lớp Sĩ số 0.0 – 3.5 3.5 - 5.0 5.0 - 6.5 6.5 – 8.0 8.0 – 10 >=5.012A

3

2 Thống kê kết quả sau khi học tập tài liệu :

Lớp Sĩ số 0.0 – 3.5 3.5 - 5.0 5.0 - 6.5 6.5 – 8.0 8.0 – 10 >=5.012A

3

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiếntheo ý kiến của tổ chức, cá nhân:

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiếnlần đầu (nếu có):

Số

TT

Tên tổ chức/cá nhân

Lập Thạch , Ngày 24 tháng 01 năm 2019

Tác giả sáng kiến

Nguyễn Thu Thủy