CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1.. Công th
Trang 1Bài 1: Giải phương trình: 4 sin3xcos 3x 4 cos3xsin 3x 3 3 os4c x 3
Giải:
;
Bài 2: Giải phương trình: 3
4 sin x 1 3sinx 3 os3c x
Giải:
3
3 os3 (3sin 4 sin ) 1
3 os3 sin 3 1 os3 sin 3
2
; 2
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm, giải phương trình trong các trường hợp đó.
2
Giải:
2
Để phương trình đã cho có nghiệm, ta phải có:
2
2
2
BÀI 1 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1 Công thức lượng giác, phương trình lượng
giác cơ bản thuộc khóa học Luyện thi Quốc Gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website
Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1 Công
thức lượng giác, phương trình lượng giác cơ bản Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy
đủ các bài tập trong tài liệu này.
Trang 2+ TH1: sin 1 2 ;
2
Bài 4: Giải phương trình: 2 sinx cotx 2 sin 2x 1
Giải:
Điều kiện: sinx 0
PT 2 sin2x cosx 4 sin2 xcosx sinx
2
2 sin sin 4 sin cos cos
sin (2 sin 1) cos (4 sin 1) cos (2 sin 1)(2 sin 1)
(2 sinx 1)(sinx cosx 2 sin cos )x x 0
1
2 sin cos 2 sin cos 0 (2)
x
Giải (1)
2
5
2 6
π
Giải (2) sinx cosx 2 sin cosx x 0
Đặt sinx cosx t, 2 t 2 t2 1 2 sin cosx x
Ta có phương trình: 2
2; 2 2
1 0
2; 2 2
t
t
4
Bài 5: Giải phương trình: (sinx cos )x 3 2(sin 2x 1) sinx cosx 2 0
Giải:
PT (sinx cos )x 3 2(sinx cos )x 2 sinx cosx 2 0
Đặt: sinx cosx t, 2 t 2
Phương trình t3 2t2 t 2 0 (t 2)(t2 1) 0 t 2
Trang 3Phương trình (1) tương đương với: 1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 1 cos 8
cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 4cos5x.cos2x.cosx = 0
5
10 5 2
cos 5 0
π
x
x
x
Bài 7: Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (1)
Giải:
Ta có (1) cos6x(2cos2x 1) = sin6x(1 2sin2x)
cos2x(sin6x–cos6x) = 0 cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0 cos2x = 0
Bài 8: Giải phương trình: 8 2 cos6x 2 2 sin3xsin 3x 6 2 cos4 x 1 0(1)
Giải
Ta có:
(1) 2 2 cos (4 cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2 cos 2 cos cos 3 2 sin 2 sin sin 3 2 (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2
2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2
2 cos 2 (1 cos 4 )
2
Trang 4cos 2 cos 2
4 2
π
Bài 9 Giải phương trình lượng giác: 8 8 17
32
x x (1)
Giải
Ta có (1)
Đặt cos22x = t, với t [0; 1], ta có 2 2
1
13
2
t
t
Vì t [0;1], nên 1 2 1 cos 4 1 1
cos 2
x
Bài 10 Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (1)
Giải
Ta có (1) 2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0
(1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) 1] = 0 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
2 sin 2 cos 2 sin cos 1 0 (*)
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | |t 2, khi đó phương trình (*) trở thành:
π
Trang 5Điều kiện: x ≥ 0
Do | sin x| 0,nên |sin | 0
1
x
π π , mà |cosx| ≤ 1
Do đó
(6)
0
x
(Vì k, n Z) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0
Bài 12: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình:
2
2
x
x
Giải
Đặt
2 ( )= cos
2
x
f x x Dễ thấy f(x) = f( x), x , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0 f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 f(x) đồng biến với x≥0
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình
Bài 13: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;
2
π
thoả mãn
phương trình:
2 2
n
Giải
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0;
2
π , ta có minf(x) = f
4
π =
2 2 2
n
Vậy x =
4
π
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn