(Luôn đúng)
Các bài đ c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao
Bài 1 Cho: y = x3 + (1 - 2m)x2 + (2 - m)x + 2 (Cm)
a Kh o sát v đ th khi m = 2
b Tìm m đ đ th hàm s (Cm) có đi m c c đ i và c c ti u đ ng th i hoành đ các đi m c c đ i, c c tiêu
đ u có hoành đ d ng
Gi i
b y’ = 3x2
+ 2(1 – 2m)x + 2 – m
(Cm) có c c đ i, c c ti u thì y’ = 3x2
+ 2(1 – 2m)x + 2 – m = 0 ph i có 2 nghi m phân bi t
4
G i hoành đ các đi m c c tr là x1, x2 (x1, x2 là nghi m c a ph ng trình: y’ = 0)
x1, x2 d ng ta ph i có: 1 2
1 2
0 0
x x
2(2 1)
1 0
1 3
2 2
2 0
3
m
m
m m
m
K t h p v i (*) => 5 2
4 m
Bài 2 Cho y = mx3– 3mx2
+ 2(m - 1)x - 1 – m
a Kh o sát và v đ th khi m = 1
b Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u Ch ng minh r ng: Hai đi m c c tr đó c a đ th luôn cách đ u
đ ng th ng x = 1
Gi i
b y’ = 3mx2– 6mx + 2(m - 1)
- đ th hàm s có c c đ i, c c ti u thì ph ng trình: y’ = 3mx2– 6mx + 2(m - 1) = 0 ph i có 2 nghi m
m
- G i hoành đ 2 đi m c c tr là x1, x2 v i x1, x2 là hai nghi m c a ph ng trình y’ = 0
Các đi m c c tr cách đ u đ ng th ng x = 1 |x1 - 1| = |x2 -1|
6
3
m
m
V y các đi m c c tr c a đ th luôn cách đ u đ ng th ng x = 1
C ÁC BÀI TOÁN C B N V C C TR HÀM B C BA (PH N 02)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Các bài toán c b n v c c tr hàm b c ba(Ph n 02) thu c khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng
hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này
Trang 2Bài 3 Cho y = x3– 3(m+1)x2
+ (3m2 + 6m)x + 1
a Kh o sát v đ th khi m = 1
b Tìm m đ đ th hàm s có đi m c c đ i, c c ti u n m v hai phía c a Oy
Gi i
b y’ = 3x2– 6(m + 1)x + 3m2
+ 6m hàm s có c c đ i, c c ti u thì ph ng trình y’ = 0 ph i có 2 nghi m phân bi t
x2– 2(m+1)x + m2
+ 2m = 0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t
' (m 1) (m 2 )m 1 0, m
G i x1, x2 là hoành đ các đi m c c tr (x1, x2 là nghi m c a ph ng trình (*))
c c đ i, c c ti u n m v hai phía c a Oy thì x1, x2 ph i trái d u x1x2 < 0
2
c
áp s : 2 m 0
Bài 4 Cho: y = (m2 + 1)x3– 3(m2
+ 1)x
a Kh o sát v đ th khi m = 0
b Tìm m đ tung đ đi m c c ti u c a đ th hàm s đ t giá tr nh nh t
Gi i
b y’ = 3(m2
+ 1)x2– 3(m2
3(m 1)(x 1)
y’ = 0 x 1
BBT
x - -1 1 +
'
y + 0 - 0 +
y 2
2(m 1)
2(m21)
CD
y =2 m 1 2
=>Min yC =2 (d u = x y ra) khi m = 0
Bài 5 Cho: y = x3– 3x2
+ 4m (Cm)
a Kh o sát và v đ th khi m = 0
b CMR: (Cm) luôn có c c đ i, c c ti u Tìm m đ m t trong hai đi m c c tr này thu c Ox
Gi i
b y’ = 3x2– 6x = 3x(x – 2)
y’ = 0 3x(x – 2) = 0 luôn có 2 nghi m phân bi t x = 0, x = 2
Ch ng t v i m i m (Cm) luôn có c c đ i, c c ti u
Các đi m c c tr là A(0;4m), B(2;4m – 4)
m t trong hai đi m c c tr này thu c Ox thì ta ph i có:
Bài 6 Cho y = x3 + 2(m - 1)x2 + (m2 - 2m + 1)x + m2 + 2
a Kh o sát và v đ th khi m = 0
b Tìm m đ đ th hàm s đ t c c tr t i x1, x2 sao cho: 1 2
3 x x
Trang 3(Lo i)
Gi i
b y’ = 3x2
+ 4(m - 1)x + m2 - 2m + 1
- đ th hàm s đ t c c tr t i x1, x2 thì y’ = 0 ph i có 2 nghi m phân bi t
2
' (m 1) 0 m 1
3 x x
1 2
4(1 )
0 3
0
3
( 1)
3 3
m
x x
x x
m
1
4
2
m
m
m
m = 1 b lo i vì không th a mãn (*)
áp s : m = 4; m = -2
Bài 7 Cho: y = mx3– (2m - 1)x2 – x + 1 (Cm)
a Kh o sát và v đ th khi m = 1
b Tìm m đ hàm s (Cm) đ t c c đ i t i x1, đ t c c ti u t i x2 và 2 1 16
9
x x
Gi i
b y’ = 3mx2
- 2(2m - 1)x – 1
- hàm s đ t c c đ i t i x1 , c c ti u t i x2 (có c c đ i, c c ti u) thì ph ng trình y’ = 0 ph i có 2
nghi m phân bi t
2
0 0
m m
9
x x => x2 >x1 và y’ đ i d u t + sang – khi qua x1, t - sang + khi qua x2nên y’ là tam th c b c
hai v i h s a = 3m > 0 m > 0
Ta có:
;
2
2 1
m
Vì m > 0 nên bình ph ng 2 v ta có: 4(4m2 – m + 1) = 64m2
3 7 3 4
m m
7
m
Bài 8 Cho hàm s : 1 3 1 2 ( 2 3)
y x mx m x
a Kh o sát và v đ th hàm s khi m = 1
Trang 4b Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u đ ng th i xC , xCT là đ dài các c nh góc vuông c a m t tam giác vuông có đ dài c nh huy n b ng 5
2
Gi i
b y’ = x2– mx + m2– 3
- Hàm s có c c đ i, c c ti u ph ng trình y’ = 0 x2– mx + m2– 3 = 0 có hai nghi m phân bi t
2
- xC , xCTlà đ dài các c nh góc vuông c a m t tam giác vuông có c nh huy n b ng 5
2 ta ph i có:
2
2
(Theo Viet ta có: xCD xCT b m
a
CD CT
c
a
2
2
0
7 3
2 7
2
m
m
=> Th a mãn (*)
2
m
Bài 9 ( HKA 2002) Cho hàm s : y = -x3
+ 3mx2 + 3(1 – m2
)x + m3– m2
(1)
a Kh o sát và v đ th khi m = 1
b Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua 2 đi m c c tr c a đ th hàm s (1)
Gi i
b y’ = -3x2
+ 6mx + 3(1 – m2
)
- đ th hàm s (1) có 2 đi m c c tr (có c c đ i, c c ti u) thì ph ng trình: y’ = 0 ph i có 2 nghi m
phân bi t x2– 2mx + m2– 1 = 0 có 2 nghi m phân bi t
1
y
=> Các đi m c c tr là A(m – 1; - m2
+ 3m – 2), B(m + 1; - m2
+ 3m + 2)
=> Ph ng trình đ ng th ng đi qua 2 đi m c c tr A, B là:
2
2
2
Bài 10 Cho hàm s :
3 2
(5 4) 3
x
a Kh o sát và v đ th hàm s (1) khi m = 0
b Tìm m đ đ th hàm s (1) có đi m c c ti u và đi m c c ti u đó có hoành đ d ng
Gi i
b y’ = -x2
+ 2mx + 5m + 4 Hàm s (1) có c c tr khi y’ = -x2
+ 2mx + 5m + 4 = 0 có 2 nghi m phân bi t
2
Trang 5(I là trung đi m AB)
Khi m < -4, m > -1 thì y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t x1 < x2 nên ta có b ng bi n thiên:
x - x1 x2 +
'
y - 0 + 0 -
y1 -
Ta th y (x1, y1) là đi m c c ti u Do x1 < x2nên đ th hàm s (1) có đi m c c ti u và đi m c c ti u đó có hoành đ d ng khi và ch khi ph ng trình y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t 0 < x1 < x2
2
=> H này vô nghi m nên không t n t i m th a mãn yêu c u bài ra
Bài 11 Cho: y = x3 + (1 – 2m)x2
+ (2 – m)x + m + 2 (Cm)
a Kh o sát và v đ th khi m = 2
b Tìm m đ (Cm) có c c tr đ ng th i hoành đ đi m c c ti u nh h n 1
Gi i
Bài 12 Cho y = x3– 3(m – 1)x2
+ 3m(m - 2)x + 1
a Kh o sát và v đ th khi m = 0
b CMR: V i m i m hàm s luôn có c c đ i, c c ti u Tìm m đ các đi m c c đ i, c c ti u đ i x ng nhau
2
y x
Gi i
áp s :
1
2
m m
Bài 13 Cho: y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x – 1
a Kh o sát và v đ th hàm s khi m = 2
b Tìm m đ đi m c c đ i, c c ti u c a đ th hàm s đ i x ng nhau qua đ ng th ng y = x
Gi i
b Các đi m c c tr là A(-1; 6 – 3m); B(2 – m; m3– 9m2
+ 24m – 21)
A, B đ i x ng v i nhau qua d: y = x AB Ud
I d
m = 2
Bài 14. Cho hàm s : ( ) 2 3 (cos 3sin ) 2 8(1 cos 2 ) 1
3
a) CMR: Hàm s luôn có C , CT
b) Gi s hàm s có c c tr t i x1, x2 CMR: x12x22 18
Gi i:
Trang 6a) Xét ph ng trình: 2
'( ) 2 2(cos 3sin ) 8(1 cos 2 ) 0
' (cosa 3sin )a 16(1 cos 2 )a (cosa 3sin )a 32 cos a 0 a
V y ' 0 a f x'( ) có 2 nghi m phân bi t x0 1, x2 và hàm s có C , CT
b) Theo viet ta có 1 2
1 2
4(1 cos 2 )
Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph ng Ngu n : Hocmai.vn