Các bài đ c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao
Bài 1 Cho hàm s yx33mx3m1 (1) (m là tham s )
Tìm m đ đ th hàm s (1) có c c đ i, c c ti u, đ ng th i chúng cách đ u đ ng th ng có ph ng
trình x y 0
Gi i:
Ta có:y'3x23 , 'm y 0 3x23m 0 x2 m
Hàm s có c c đ i và c c ti u khi và ch khi y’ có hai nghi m phân bi t và y’ đ i d u qua 2 nghi m
đó, suy ra đi u ki n là m>0 (*) Các đi m c c tr c a hàm s là:
G i là đ ng th ng có ph ng trình: x Ta có: y 0
m
Do m>0 nên ch có 1
3
m tho mãn
3
m là giá tr c n tìm
Nh n xét: Bài toán trên còn có cách gi i khác d a vào tính ch t hình h c sau đây:
2 đi m A và B cách đ u đ ng th ng ch x y ra 2 tr ng h p sau:
Th nh t song song v i đ ng th ng AB
Th hai đi qua trung đi m I c a đo n th ng AB
Ta tìm đ c ph ng trình đ ng th ng đi qua các đi m c c tr A và B là:y 2mx3m 1
+ N u AB/ / và : y x ta có:
1
1
3
m m
m m
m
không tho mãn đi u ki n (*)
+ Trung đi m c a AB là I0; 3 m 1
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Các bài toán c b n v c c tr hàm b c ba (Ph n 01) thu c khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng
hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này
Trang 2I nên ta có: 3 1 0 1
3
tho mãn
3
m là giá tr c n tìm
Bài 2 Cho hàm s y = 2x3– 3(2m+1)x2
+ 6m(m+1)x + 1
a Kh o sát và v đ th hàm s khi m = 0
b CMR: V i m i m, hàm s luôn có c c đ i, c c ti u và kho ng cách gi a hai đi m c c đ i, c c ti u
là không đ i
Gi i
b y’ = 6x2– 6(2m+1)x + 6m(m + 1)
- Xét ph ng trình: y’ = 0 x2– (2m + 1)x + m2
+ m = 0
Ta có: = (2m + 1)2– 4(m2
+ m) = 1 > 0 => y’ = 0 luôn có 2 nghi m
=> Hàm s luôn có c c đ i, c c ti u v i m i m
- y’ = 0
1
=> Các đi m c c tr là A(m; 2m3
+3m2+1), B(m+1; 2m3+3m) 2
AB
không đ i
Bài 3 Cho hàm s : y = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x - m3 + m (1)
a Kh o sát và v đ th hàm s (1) khi m = 1
b Tìm m đ đ th hàm s (1) có c c tr đ ng th i kho ng cách t đi m c c đ i đ n g c O b ng
2l n kho ng cách t đi m c c ti u đ n g c O
Gi i
b y’ = 3x2– 6mx + 3(m2– 1)
- hàm s có c c tr thì ph ng trình y’ = 0 x2– 2mx + m2– 1 = 0 ph i có 2 nghi m phân bi t
- i m c c đ i c a đ th là A(m – 1; 2 – 2m), đi m c c ti u là B(m + 1; 2 – 2m)
Ta có: OA 2.OBm26m 1 0 m 3 2 2
áp s : m 3 2 2
Bài 4 Cho hàm s y = x3– 3x2
+ (2 – m)x + m2
a Kh o sát và v đ th khi m = 2
b Tìm m đ đ th hàm s có c c đ i, c c ti u và trung đi m c a đo n th ng n i 2 đi m c c đ i, c c
ti u đó n m trên đ ng th ng d: 2x – y + 1 = 0
Gi i
b y’ = 3x2– 6x + 2 – m
- hàm s có c c đ i, c c ti u thì ph ng trình y’ = 0 ph i có 2 nghi m phân bi t
(*)
- G i các đi m c c đ i, c c ti u là A(x1, y1), B(x2, y2) và I là trung đi m c a AB Ta có x1, x2 là nghi m c a ph ng trình: 3x2– 6x + 2 – m = 0
nên: 1 2 2; 1 2 2
3
m
, do đó 1 2
1 2
I
2
1 2
2
I
Trang 3(Lo i, vì không th a mãn (*))
Nh v y I(1; m2– m)
2
2
2
m
m
áp s : 1 13
2
Bài 5 Cho hàm s : y = x3 - 3mx2 + 2 (1)
a Kh o sát và v đ th hàm s (1) khi m = 1
b Tìm m đ đ ng th ng đi qua 2 đi m c c tr c a đ ng th ng hàm s (1) t o v i các tr c t a đ m t
tam giác có di n tích b ng 4
Gi i
b y’= 3x2– 6mx
- đ th có 2 đi m c c tr thì ph ng trình y’ = 0 3x2– 6mx = 0 ph i có 2 ngi m phân bi t
2
Khi đó: ' 0 0
2
x y
=> Các đi m c c tr c a đ th hàm s (1) là: A(0; 2); B(2m, 2 – 4m3
)
- Ph ng trình đ ng th ng đi qua A, B là: 2
3
2
AB c t Ox t i C 12; 0
m
, c t Oy t i A(0; 2)
2 2
AOC
m
áp s : 1
2
Bài 6. Cho hàm s : y = x3 - 3x2 + 3mx + 1 - m (Cm)
a Kh o sát và v đ th hàm s khi m = 0
b Tìm m đ hàm s có c c tr , đ ng th i đ ng th ng đi qua 2 đi m c c tr t o v i đ ng th ng
: 3x + y – 8 = 0 m t góc 45o
Gi i
b y’ = 3x2
- 6x + 3m
- hàm s có c c tr thì ph ng trình y’ = 0 x2
- 2x + m = 0 ph i có 2 nghi m phân bi t
’ = 1 – m > 0 m < 1 (1)
- Khi m < 1 thì y’ = 0 1 1
=> Các đi m c c tr là:
(s d ng tính ch t phép d c a phép chia y:y’ là đ ng th ng qua 2 c c tr (c n CM khi dùng tính
ch t này))
=> Ph ng trình đ ng th ng AB là: y = 2(m – 1)x + 1
=> d có vecto pháp tuy n n2m 2; 1
; có vecto pháp tuy n n' 3;1
Trang 4(Không th a mãn (1))
- Góc gi a hai đ ng th ng AB và b ng 45o
khi và ch khi:
2
2
4
m
m
áp s : 3
4
Bài 7 Cho hàm s y = x3– 3x2
+2 (1)
1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1)
2 Tìm đi m M thu c đ ng th ng y=3x-2 sao t ng kho ng cách t M t i hai đi m c c tr nh nh t
Gi i
2 G i t a đ đi m c c đ i là A(0;2), đi m c c ti u B(2;-2)
Xét bi u th c P=3x-y-2
Thay t a đ đi m A(0;2)=>P=-4<0, thay t a đ đi m B(2;-2)=>P=6>0
V y 2 đi m c c đ i và c c ti u n m v hai phía c a đ ng th ng y=3x-2, đ MA+MB nh nh t => 3
đi m A, M, B th ng hàng
Ph ng trình đ ng th ng AB: y= - 2x+2
T a đ đi m M là nghi m c a h :
4
5
x
y
=> 4 2;
5 5
Bài 8 Cho hàm s y x3 3(m1)x2 9xm, v i m là tham s th c
1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đó cho ng v i m1
2 Xác đ nh m đ hàm s đó cho đ t c c tr t i x1, x2 sao cho x1 x2 2
Gi i
2 Ta có y'3x2 6(m1)x9
+) Hàm s đ t c c đ i, c c ti u t i x1, x2
ph ng trình y'0 có hai nghi m pb là x1, x2
Trang 5 Pt x2 2(m1)x30 có hai nghi m phân bi t là x1, x2
3 1
3 1 0
3 ) 1 (
m
m
+) Theo đ nh lý Viet ta có x1x2 2(m1); x1x2 3 Khi đó
2
x (m1)2 43m1 (2)
T (1) và (2) suy ra giá tr c a m là 3m1 3 và 1 3m1
Bài 9 Cho hàm s y = - x3 + 3mx2 -3m – 1
1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s khi m = 1
2 Tìm các giá tr c a m đ hàm s có c c đ i, c c ti u V i giá tr nào c a m thì đ th hàm s có
đi m c c đ i, đi m c c ti u đ i x ng v i nhau qua đ ng th ng d: x + 8y – 74 = 0
Gi i
2 Ta có y’ = - 3x2+ 6mx ; y’ = 0 x = 0 v x = 2m
Hàm s có c c đ i , c c ti u ph ng trình y’ = 0 có hai nghi m phân bi t m 0
Hai đi m c c tr là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3– 3m – 1)
Trung đi m I c a đo n th ng AB là I(m ; 2m3– 3m – 1)
; M t vect ch ph ng c a đ ng th ng d là u (8; 1)
Hai đi m c c đ i , c c ti u A và B đ i x ng v i nhau qua đ ng th ng d I d
3
AB u
Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph ng
Ngu n : Hocmai.vn