PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.. å Ba là, với bài toán "cực trị liên quan đến hoành độ", giả sử phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 thì để biết hoành
Trang 1PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
NHẮC LẠI KIẾN THỨC :
ä Cho hàm số y = f (x) Khi đó y có n điểm cực trị thì phương trình y0 = 0 có n nghiệm phân biệt
ä Khi biện luận về nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0, ta cần lưu ý phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
a 6= 0
∆ = b2 − 4ac > 0
và khi đó 2 nghiệm của phương trình là x1,2 = −b ±√∆
2a
ä Lưu ý:
å Một là, đôi khi bài toán có thể hỏi dưới dạng "Chứng minh hàm số luôn có hai điểm cực trị".Và vì vậy, sau khi xét phương trình y0 = 0 ta tiếp tục xét tiếp biểu thức ∆ = b2− 4ac và chứng minh ∆ > 0
å Hai là, chúng ta cần lưu ý các điều kiện để hàm số đạt cực dại và cực tiểu bằng cách sử dụng đạo hàm cấp 2:
f0(x0) = 0
f00(x0) < 0
⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = x0
f0(x0) = 0
f00(x0) > 0
⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0
• Lưu ý rằng sau khi tìm xong m ta phải có bước thử lại và giả sử
f0(x0) = 0
f00(x0) = 0
thì không được gì cả
å Ba là, với bài toán "cực trị liên quan đến hoành độ", giả sử phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 thì để biết hoành độ nào là xCD, xCT thì ta "phải dựa vào dạng đồ thị hoặc bảng biến thiên Cụ thể như sau:
nếu
a > 0 ⇒ xCD < xCT
a < 0 ⇒ xCD > xCT
å Bốn là, với bài toán "cực trị liên quan đến tung độ", ta có thể thay hoành độ cực trị (HĐCT) vào độ thị hàm số y = f (x) Điều này chỉ thật sự hữu hiệu khi "hoành độ cực trị đẹp"
Trang 2Với các HĐCT có biểu diễn phức tạp thì ta phải tìm tung độ cực trị bằng cách thay HĐCT vào Phương trình nối hai điểm cực trị (đây chính là phần dư trong phép chia y cho y’.)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số y = 1
3(m
2− 1)x3 + (m + 1)x2+ 3x + 5 Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Đạo hàm y0 = (m2− 1)x2+ 2(m + 1)x + 3
y0 = 0 ⇔ (m2− 1)x2+ 2(m + 1)x + 3 = 0
Hàm số có hai cực trị ⇔ y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔
m2− 1 6= 0
∆0 = (m + 1)2 − 3(m2 − 1) > 0
⇔
m 6= ±1
−2m2+ 2m + 4 > 0
⇔
m 6= ±1
−1 < m < 2
⇔
m 6= 1
−1 < m < 2
Vậy giá trị m cần tìm là
m 6= 1
−1 < m < 2
Bài 2: Cho hàm số y = 2x
3
3 + (m + 1)x
2+ (m2+ 4m + 3)x − 1 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
và hoành độ các cực trị đều dương
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Đạo hàm y0 = 2x2+ 2(m + 1)x + m2+ 4m + 3
Hàm số có hai điểm cực trị đều dương
⇔ y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt dương
⇔
∆0 = (m + 1)2 − 2(m2 + 4m + 3) > 0
S = −(m + 1) > 0
P = m
2+ 4m + 3
2 > 0
⇔ −5 < m < −3
Vậy giá trị m cần tìm là −5 < m < −3
Bài 3: Cho hàm số y = x3− (m + 1)x2+ (3m − 4)x + 5 Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Đạo hàm y0 = 3x2− 2(m + 1)x + 3m − 4 và y00 = 6x − 2(m + 1)
Trang 3Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒
f0(1) = 0
f00(1) < 0
⇔
3 − 2(m + 1) + 3m − 4 = 0
6 − 2(m + 1) < 0
⇔ m = 3
Vậy giá trị m cần tìm là m = 3
Với m = 3, ta có: y = x3− 4x2+ 5x + 5, tập xác định D = R
y0 = 3x2− 8x + 5, y0 = 0 ⇔
x = 1
x = 5 3
Do hàm số y có hệ số a = 1 > 0 nên xCD < xCT ⇒ xCD = 1 (thỏa mãn YCBT)
Bài 4: Tìm m để hàm số y = x3− 3(m + 1)x2+ 9x − m có 2 điểm cực trị x1; x2 thỏa mãn |x1− x2| = 2
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Ta có: y0 = 3x2− 6(m + 1)x + 9; y0 = 0 ⇔ x2− 2(m + 1)x + 3 = 0 (1)
Yêu câu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn |x1− x2| = 2
⇔
∆0 = (m + 1)2 − 3 > 0
|x1− x2| = 2
⇔
m2+ 2m − 2 > 0 (x1− x2)2 = 4
⇔
m > −1 +√
3 hay m < −1 −√
3 (x1+ x2)2− 4x1x2 = 4
⇔
m > −1 +√
3 hay m < −1 −√
3 4(m + 1)2− 4.3 = 4
⇔
m = −3
m = 1 Vậy giá trị cần tìm của m là m=-3 hay m=1
Bài 5: Cho hàm số y = −x3+ 3x2+ 3(m2 − 1)x − 3m2− 1 (1) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
và các điểm cực trị của hàm số cách đều gốc tọa độ
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R Ta có: y0 = −3x2+ 6x + 3(m2− 1)
y0 = 0 ⇔ x2 − 2x − m2 + 1 = 0 (2)
Hàm số (1) có hai cực trị thì (2) có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆0 = m2 > 0 ⇔ m 6= 0
Khi đó y0 = 0 ⇔
x = 1 − m
x = 1 + m
Gọi A,B là hai điểm cực trị cảu đồ thị hàm số (1) thì
A(1 − m; −2 − 2m3) B(1 + m; −2 + 2m3)
Do O cách đều A và B ⇔ OA = OB ⇔ 8m3 = 2m ⇔ m = ±1
2 (vì m 6= 0)