VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN I.. Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị.. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯ
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt lí thuyết cơ bản :
Xét hàm số bậc ba y=ax3+bx3+ +cx d⇒ y′=3ax2+3bx c +
Nếu a = 0 , khi đó hàm suy biến thành bậc hai, ta có 3 0
3
′= + ⇒ ′= ⇔ = − c
b
Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị
Nếu a ≠ 0 thì dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của biệt thức ∆
+) Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức là ∆≤ 0
+) Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt
Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0
Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị
Ví dụ 1: [ĐVH] Biện luận số cực trị của hàm số 3 ( ) 2
= + + + − +
Ví dụ 2: [ĐVH] Biện luận số cực trị của hàm số 1 3 ( ) 2
3
= − + + − + + −
II MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP
Phương pháp chung :
+) Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu
+) Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu
+) Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm
Dạng 1 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ x = x0 cho trước
Phương pháp 1: (Sử dụng y’’)
( )0
0
0
0 0
′
= ⇔
′′ <
y x
x x
y x
( )
0 0
0
0 0
′
= ⇔
′′ >
y x
x x
y x
Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại ( )
( )0
0
0
0 0
′
= ⇔
′′ ≠
y x
x x
y x
Phương pháp 2: (Sử dụng điều kiện cần và đủ)
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2+) Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay cực tiểu tại điểm x0 hay không
Ví dụ minh họa: [ĐVH] Cho hàm số y=x3+(m−2)x2+(m+1)x+ −3 m
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = –1
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
Dạng 2 Một số dạng câu hỏi về hoành độ điểm cực đại, cực tiểu
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1−x2 =k
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho ax1+bx2 =c
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho
α β
γ
< <
< <
< <
Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y=x3−3(m+1)x2+9x−m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1−x2 ≤2
Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y=2x3+9mx2+12m x2 +1
Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 sao cho x12 =x2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1+2x2 =1
3
=m + − + − +
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1<x2<1
3
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho
2
+ +
Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số 1 3 1 2 ( 2 3)
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 dương sao cho 12 22 5
2
+ =
Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số 1 3 1( 2 ) 2 ( 2 )
đại, cực tiểu lần lượt tại x x sao cho 1, 2 x1∈( )1; 4 ,x2∈[2;10]
Bài 6: [ĐVH] Cho hàm số 1 3 2 2 3
3
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 sao cho
2 2
max
m P
+ −
+ −
Trang 3Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số 1 3 1( ) 2 ( )
cực tiểu, cực đại lần lượt tại x x sao cho 1, 2 2 x1 +3 x2 =8
phân biệt có các hoành độ dươngx x thỏa mãn 1, 2 2x12+3x22−x x1 2 =4
3
= − + −
cực trị tại x1, x sao cho 2 x1−x2 ≥8
Bài 10: [ĐVH] Cho hàm số y=x3+ −(1 2 )m x2+ −(2 m x) + +m 2, với m là tham số thực
Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x sao cho 2 1 2 1
3
− >
Bài 11: [ĐVH] Cho hàm số y=4x3+mx2−3x Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x thỏa 2 x1= −4x 2
Bài 12: [ĐVH] Cho hàm số y=(m+2)x3+3x2+mx−5, m là tham số Tìm các giá trị của m để các điểm
cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương
Bài 13: [ĐVH] Cho hàm số y=x3+ −(1 2 )m x2+ −(2 m x) + +m 2 (m là tham số) (1) Tìm các giá trị của m
để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1