ĐẠO HÀM
( )
( )
2 / /
2
/ / /
/ /
/ / /
/ / /
.
5
) 0 (
4
.
.
3
.
.
2
.
1
v
v C v
C
v v
u v v u
v
u
v C v
C
v u v u
v
u
v u v
u
−
=
≠
−
=
=
+
=
±
=
±
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x x
x x
x x
x x
x
x
a x x
e
e
a a
a
x x
x
x
x
x
x
C
a
x
x
x
x
2 /
2 /
/
/
/
/
/
/
/
2
/
1 /
/
/
sin
1 cot
.
18
cos
1 tan
.
17
sin cos
.
16
cos
sin
.
15
1
ln
.
14
ln
1 log
.
13
.
12
ln
11
.
2
1
10
1
1
.
9
.
8
1
.
7
0
.
6
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
−
=
=
=
=
− α
( ) ( ) ( )
( )
sin cot
cos tan
sin cos
cos sin
ln
ln log
.
ln
2
1
2
/ /
2
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ / 2 / /
/ 1 /
u
u u
u
u u
u u u
u u u u
u u
a u
u u
u e e
u a a a
u
u u
v
v v
u x u
a
u u
u u
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
−
=
= α −
d cx
b ax
y
+
+
=
.
/
) (cx d
bc ad y
+
−
=
2 2
2 2
1 1
2 1
20
c x b x
a
c x b x a
y
+ +
+ +
= ta có
2 2
2 2
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2 2
1 1
/
2
c x b x a
c b
c b x c a
c a x b a
b a
y
+ +
+ +
=
• Tìm m để hàm số tăng (giảm)
1.Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )
Tập xác định
Đạo hàm y/
Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng xác định): y/≥ 0 ∀x ∈ R
≤
∆
>
0
0
a
Giải tìm m
Chú ý:Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số thì phải xét khi a = 0
• Tương tự cho hàm số giảm :
y/ ≤ 0 ∀x∈ R
≤
∆
<
⇔
0
0
a
2.Hàm số nhất biến : y cx ax d b
+
+
=
Tập xác định Đạo hàm y/
Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác
định : y/ > 0 ( y / < 0 ) Giải tìm m
Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm
c = 0
• Tìm m để hàm sốá có cự c đại , cực tiểu
Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt
>
∆
≠ 0
0
a
Giải tìm m
• Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trị
Tập xác định Đạo hàm y/ Giải phương trình y/ = 0 tìm nghiệm x0 Đạo hàm y//.Tính y//(x0)
* Nếu y//(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0
* Nếu y//(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0
• Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0
Cách 1: Tập xác định
Đạo hàm y/ Hàm số đạt cực trị tại x0 :
1
Trang 2y/(x0) = 0
y/ đổi dấu khi x qua x0
Chú ý :
•Hàm số đạt cực tiểu tại x0 :
y/ (x0) = 0
y/ đổi dấu từ “ – “ sang “ +”
•Hàm số đạt cực đại tại x0 :
y/ (x0) = 0
y/ đổi dấu từ “ + “ sang “–”
Cách 2: Tập xác định
Đạo hàm y/
Đạo hàm y//
Hàm số đạt cực trị tại x0 :
≠
=
0 ) (
0 ) (
0 //
0 /
x y
x y
Cực đại: { y/ (x0) = 0 và y// (x0) < 0 }
Cực tiểu : { y/ (x0) = 0 và y// (x0) > 0 }
• Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0
Tập xác định
Đạo hàm y/ = f / (x)
Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi
≠
=
=
0 ) (
) (
0 ) (
0 //
0 0 0 /
x f
y x
f
x f
• Tìm GTLN,GTNN trên đoạn [a,b]
Tìm xi ∈[a,b]: f/(xi) = 0 hoặc f/(xi) không xác định
Tính f(a), f(xi) , f(b)
Kết luận maxy =max{f(a);f (x i); f(b)}
min y=min{f(a);f(x i); f(b)}
• Tiếp tuyến của đường cong ( C)
1.Tiếp tuyến tại M(x 0 ,y 0 ): y = f/ (x0).(x – x0 ) + y0
2.Tiếp tuyến đi qua A(x A , y A ):
(d): y = k.(x – xA) + yA = g(x)
Điều kiện tiếp xúc:
=
= ) ( ) (
) ( ) (
/
f
x g x f
3.Tiếp tuyến sg sg (d) k tt = f / (x0) =k d
4.Ttuyến vuông góc (d) : k tt.k d = − 1
• Biện luận số giao điểm của ( C) và d
(d): y = k(x – xA) + yA = g(x) Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
• Nếu (*) là phương trình bậc 2 :
1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d) 2) Xét a ≠ 0 : + Lập ∆ = b2 – 4ac
+ Xét dấu ∆ và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
>
∆
≠
⇔
0
0
a
• Nếu (*) là phương trình bậc 3 :
1) Đưa về dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) = 0
=
= + +
=
(2) ) ( 0
2
0
x g C
Bx Ax
x x
2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0
3) Tính ∆ của (2), xét dấu ∆ và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (2) có 2 n o pb x 1 , x 2 khác x 0 )
≠
>
∆
≠
⇔
0 ) ( 0 0
0
) 2 (
x g A
• Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình f (x) – g(m) = 0
Đưa phương trình về dạng : f(x) = g(m) (*) Ptrình (*) là ptrình hoành độ giao điểm của (C) :y = f(x) và (d): y = g(m) ( (d) // Ox ) Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
LŨY THỪA
2
Trang 3a a
a
a n .
•
( n thừa số)
n
m
n
m
n m
n
m
n
n
a
a
a
a a
a
a
a
a
=
•
=
•
=
•
=
•
−
+
−
1
1
0
n n
n m
n m m n n m
n n n
n n n
a a
a a
a a
a
b a
b a b a
=
•
=
•
=
=
•
=
•
=
•
1
.
) ( ) ( b
a
)
(
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
∩
=
∨
=
≠
<
⇔
=
) ( ) (
) ( )
) ( ) (
1 0
x g x f
x g
x
f
D D
a x
g x f
a a
a
>
⇔
>
0 ) ( ) ( )
1 (
0
) ( )
(
x g x f a
a a
a f x g x
) ( ) (
thì
1
a
0
) ( ) (
ì th
1
a
) ( ) (
) ( ) (
x g x f a
a
x g x f a
a
x g x f
x g x f
<
⇔
>
<
<
•
>
⇔
>
>
•
LOGARIT
) 1 a , 0
N
a,
(
log
a
≠
>
=
⇔
=
N
a N
• log
0 1 log
1 log
N
N =
• alog a
N k
N N
k N
a N
N N
a a
N N
N N
N
N
N N
N
N
a
k a a
N a
b a
b
b a
a a
a a
log log
log
1 log
log
1 log
log log
log log
log log
log log
log
log log
.
log
k
a
b
2 1
2
1
a
2 1
2 1
a
=
•
=
•
=
•
=
•
=
•
−
=
•
+
=
•
) ( ) ( 0 ) ( log ) ( log thì
1
a
0
0 ) ( ) ( ) ( log ) ( log thì
1
a
a
a
x g x f x
g x
f
x g x f x g x
f
a
a
<
<
⇔
>
<
<
•
>
>
⇔
>
>
•
=
>
>
≠
<
⇔
=
g(x) f(x)
) 0 g(x) ( 0 ) (
1 0
) ( log )
(
a x
g x
a
>
>
>≠
<
⇔
>
0 g(x)]
-1)[f(x) -(a
0 g(x)
0 )
0 )
( log ) (
a x
g x
a
SỐ PHỨC
* i2 = − 1
1
z
z
z = *
2 2
b a
z = + = +
*z=a+b.i⇒z=a−b.i
* z =z = a2 +b2
=
=
⇔ +
= +
d b
c a i d c i b
*
) )(
(
) )(
(
.
i b a i b a
i b a i d c i b a
i d c
− +
− +
= + +
*z1 +z2 =z1 +z2
*z1 −z2 =z1 −z2
*
2
1 2
1 2 1 2
z
z z
z z z z
=
1. α =a+b.i.Gọi β là căn bậc 2 của α , ta có:
+ + +
±
=
2
2
2 2 2
2
b a a i b a a
β
− + +
±
=
2
2
2 2 2
i b a a
β
2.
=
=
+
= +
=
r
b r
a b a r i
r z
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
sin
cos )
sin (cos
2 2
3. z1.z2 =r1r2[cos(ϕ1+ϕ2)+i.sin(ϕ1 +ϕ2)]
2
1 2
r
r z z
5. 1 =1[cos( −ϕ) +i sin( −ϕ)]
r z
6. [r(cosϕ i.sinϕ)]n r n(cosnϕ i.sinnϕ)
+
= +
[(cosϕ+i.sinϕ)]n =(cosnϕ+i.sinnϕ)
3
Trang 4∫ ∫
+
−
= +
−
=
+
= +
=
+
= +
=
+
−
= +
−
=
+
= +
=
+
= +
=
+ +
−
= + +
−
=
+ +
= + +
=
+ +
+
= +
+ +
=
+
= +
=
+ +
+ +
+ +
) cot(
1 ) (
sin
cot sin
)
10
) tan(
1 ) (
cos
tan
cos
)
9
) sin(
1 ) cos(
sin
cos
)
8
) cos(
1 )
sin(
cos sin
)
7
ln
1 ln
)
6
1 )
5
) (
1 1 )
(
1 1
)
4
ln 1 ln
1
)
3
1
) (
1 )
( 1
)
2
)
1
2 2
2 2
) ( )
(
) ( )
(
2 2
1 1
b ax a
b ax
dx x
x
dx
b ax a
b ax
dx x
x
dx
b ax a dx b ax x
xdx
b ax a
dx b ax x
xdx
C a
a c dx a
C a
a
dx
a
C e
a dx e
C e
dx
e
C b ax a b
ax
dx C
x
dx
x
C b ax a b ax
dx C
x
dx
x
C b
ax a dx b ax C x
dx
x
C kx kdx C
x
dx
d cx d
cx x
x
b ax b
ax x
x
α α
α α
α
α
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
1.∫f(e u(x) ).u/ (x)dx
Đặt t =u (x)
2 ∫ (ln ).1dx
x x
f Đặt t =ln(x)
3 ∫f(n ax+b).dx
Đặt t=n ax+b
4.∫f(sinx, cosx)dx
• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công
thức hạ bậc:
2
2 cos 1 sin , 2
2 cos 1
x
x
• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt
2 tan x
t =
5 ∫f( a2 −x2 ).dx Đặt x=asint
6 ∫f( a2 +x2 ).dx Đặt x=atant
7 ∫f( x2 −a2 ).dx Đặt
t
a x
cos
=
8 ∫ ( 1± )
2
2 dx
a x
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
∫
a
b
a
vdx u a
b v u dx v
dx e
x
Đặt ax b e ax b
a v e
v
x P x
P u
+
=
=
=
1 chon
) ( u
có ta ) (
/
/ /
dx b ax x
P
Đặt:
) sin(
1 chon ) cos(
) ( u
có ta ) (
/
/ /
b ax a v b
ax v
x P x
P u
+
= +
=
=
=
dx b ax x
P
Đặt:
) cos(
1 chon ) sin(
) ( u
có ta ) (
/
/ /
b ax a
v b
ax v
x P x
P u
+
−
= +
=
=
=
dx x u x P
Đặt:
∫
=
=
=
=
dx x P v x
P v
x x
u
) ( chon
) (
1 u có ta ln /
/
Chú ý : Đặt u là hàm mà đạo hàm của nó đơn giản
hơn còn v/ là phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân mà nguyên hàm của phần này đã biết
DIEÄN TÍCH , THEÅ TÍCH
dx y y V
dx y
b x a x
C C
H
b
a
C C Ox
C
∫
∫
−
=
−
=
<
=
=
2 2
2 1
b
a
2 C1
2 1
y S
b) (a ,
) ( và ) ( ) (
dy x
d d y c y
C C
H
d
c
C C Oy
C
∫
∫
−
=
−
=
<
=
=
2 2
2 1
d
c
2 C1
2 1
x S
) (c ,
) ( và ) ( ) (
π
4