Phân dạng và phương pháp giải các chuyên đề giải tích 12 tập 1 (500 trang)

Khi giải một bài toán, thay vì dùng thời gian để lục lọi trí nhớ, thì ta cần phải suy nghĩ phân tích để tìm ra phương pháp giải quyết bài toán đó.. Lập bảng xét dấu f x ' ,dựa vào định l

NGUYỄN PHÚ KHÁNH NGUYỄN TẤT THU – NGUYỄN TẤN SIÊNG NGUYỄN ANH TRƯỜNG – ĐẬU THANH KỲ ( Nhóm giáo viên chuyên toán THPT )

Dành cho thí sinh lớp 12 ôn tập và thi Đại học, Cao đẳng Biên soạn theo nội dung và cấu trúc đề thi của Bộ GD &ĐT

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Lời nói đầu

Các em học sinh thân mến!

“ Bài giảng trọng tâm theo chuyên đề giải tích 12 – tập 1 “

là một trong những cuốn thuộc bộ sách “ Bài giảng trọng

tâm theo chuyên đề : lớp 10,11,12 “, do nhĩm tác giả

chuyên tốn THPT biên soạn

Với cách viết khoa học và sinh động giúp bạn đọc tiếp cận với mơn tốn một cách tự nhiên, khơng áp lực, bạn đọc trở nên tự tin và năng động hơn; hiểu rõ bản chất, biết cách phân tích để tìm ra trọng tâm của vấn đề và biết giải thích, lập luận cho từng bài tốn Sự đa dạng của hệ thống bài tập và tình huống giúp bạn đọc luơn hứng thú khi giải tốn

Tác giả chú trọng biên soạn những câu hỏi mở, nội dung

cơ bản bám sát sách giáo khoa và cấu trúc đề thi Đại học, đồng thời phân bài tập thành các dạng tốn cĩ lời giải chi tiết Hiện nay đề thi Đại học khơng khĩ, tổ hợp của nhiều vấn đề đơn giản, nhưng chứa nhiều câu hỏi mở nếu khơng nắm chắc lý thuyết sẽ lúng túng trong việc tìm lời giải bài tốn Với một bài tốn, khơng nên thỏa mãn ngay với một lời giải mình vừa tìm được mà phải cố gắng tìm nhiều cách giải nhất cho bài tốn đĩ, mỗi một cách giải sẽ cĩ thêm phần kiến thức mới ơn tập

Môn Toán là một môn rất ưa phong cách tài tử, nhưng phải là tài tử một cách sáng tạo và thông minh Khi giải một bài toán, thay vì dùng thời gian để lục lọi trí nhớ, thì ta cần phải suy nghĩ phân tích để tìm

ra phương pháp giải quyết bài toán đó Đối với Toán học, không có trang sách nào là thừa Từng trang, từng dòng đều phải hiểu Môn Toán đòi hỏi phải kiên nhẫn và bền bỉ ngay từ những bài tập đơn giản nhất, những kiến thức cơ bản nhất Vì chính những kiến thức cơ bản mới giúp bạn đọc hiểu được những kiến thức nâng cao sau này

Giờ đây, chúng tôi chợt nhớ tới câu nói của Ludwig Van Beethoven: “ Giọt nước có thể làm mòn tảng đá, không phải vì giọt nước có sức mạnh, mà do nước chảy liên tục ngày đêm Chỉ có sự phấn đấu không mệt mỏi mới đem lại tài năng Do đó ta có thể khẳng định, không nhích từng bước thì không bao giờ có thể đi xa ngàn dặm”

Mặc dù tác giả đã dành nhiều tâm huyết cho cuốn sách, song sự sai sót là điều khó tránh khỏi Chúng tôi rất mong nhận được sự phản biện và góp ý quý báu của quý độc giả

để những lần tái bản sau cuốn sách được hoàn thiện hơn

Thay mặt nhóm biên soạn Chủ biên: Nguyễn Phú Khánh

XIN TRÍCH DẪN MỘT PHẦN TÀI LIỆU

CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ VẼ ĐỒ THỊ

CỦA HÀM SỐ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Định nghĩa :

Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng Hàm số f xác định

trên K được gọi là :

 Đồng biến trên K nếu với mọi x ,x K , x x f x   f x

 Nghịch biến trên K nếu với x ,x1 2K, x1x2f x   1 f x2

2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

 Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f ' x 0 với mọi x I

 Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f ' x 0 với mọi x I

3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :

Định lý :

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng

không phải đầu mút của I ) Khi đó :

 Nếu f ' x 0 với mọi x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I

 Nếu f ' x 0 với mọi x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

 Nếu f ' x 0 với mọi x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I

 Ta có thể mở rộng định lí trên như sau

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu f '(x) 0 với x I 

( hoặc f '(x) 0 với x I  ) và f '(x) 0 tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm

số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I

Chú ý Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp trong chương trình

*Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) hoặc f(x) = P(x)

Q(x)(trong đó P(x)

là đa thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc nhất và P(x) không chia hết cho Q(x) thì hàm

số f đồng biến (nghịch biến ) trên K   x K,f '(x) 0 (f '(x) 0) 

thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K   x K,f '(x) 0(f '(x) 0). 

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1 Xét tính đơn điệu của hàm số

B3 Lập bảng xét dấu f x '( ),dựa vào định lí 1 ,nêu kết luận về các khoảng

đồng biến , nghịch biến của hàm số

Ví dụ 1.1.1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên)

xlim y

   và

xlim y

   Bảng biến thiên:

Vậy, hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng ;1và 1;( hay hàm số y nghịch biến trên mỗi khoảng xác định )

y

11  

  

 

 

y' 0  x 1, hàm số không có đạo hàm tại x 1,x 3

( Bạn đọc xem tác giả giải thích ở ý 2 )

Vậy, hàm số y đồng biến trên khoảng (0;) và nghịch biến trên khoảng (; 0)

Ví dụ 6.1.1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên)

Trên khoảng ; 0 và 2;: y' 0 y nghịch biến trên các khoảng

Nên phương trình y' 0 vô nghiệm

Vậy, hàm số y đồng biến trên khoảng (5;)và nghịch biến trên ( ; 4)

Ví dụ 8.1.1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên)

1 Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0;  

Ta có: y' 2cos x 1 2sin x    Ta cần tìm nghiệm của phương trình y' 0 trên

sin x2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của

CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC

Bài 5 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của

1 y 2sin x cos 2x  với x  0; 

2 y sin 2x 2cos x 2x   với x ;

2 Chứng minh rằng hàm số y 3 sin x cos x 2x 1   luôn đồng biến trên

3 Tìm m để hàm số y 2x msin x 1   đồng biến trên

4 Tìm m để hàm số y 2cos 2x mx 3   đồng biến trên

B.1 Xác định tham số để hàm số f xác định trên khoảng đã cho

B.2 Tính f’(x) ,vận dụng định lí 1 vào các hàm số thường gặp trong chương

trình (xem phần tóm tắt giáo khoa

Chú ý Để giải bài toán dạng này ,ta thường sử dụng các tính chất sau

 Tương tự nếu a 2 Hàm số y đồng biến trên

 Nếu a 2 hoặc a2 thì y' 0 có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2 Giả sử

1 2

x x Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng x ; x1 2,đồng biến trên mỗi khoảng ; x1và x ;2  Do đó a 2 hoặc a2 không thoả mãn yêu cầu bài toán

Vậy hàm số y đồng biến trên khi và chỉ khi 2 a 2  

Chú ý: Cho hàm số y f(x) có đạo hàm liên tục trên D

 Hàm số đồng biến trên IDf '(x) 0, x I   và f '(x) 0 có hữu hạn nghiệm

 Hàm số đồng biến trên IDf '(x) 0, x I   và f '(x) 0 có hữu hạn

Hàm số nghịch biến trên (2; ) hàm số xác định trên (2;) và

g x  đồng biến trên đoạn 3; 4 

x [3;4]

17min g(x) g(3)

1 Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó;

2 Đồng biến trên khoảng 4; 



 > 0 với mọi x D

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

Vậy, m 1 thỏa yêu cầu bài toán

TH2: Khi m 1, ta có

2 2

2 Theo câu trên m 1 thỏa mãn đề bài

Với m 1 Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng 4; 

Lời giải

1 TXĐ: D

Ta có: y' x 22mx 1 2m 

Hàm số cho đồng biến trên 1;    x (1; ) ,y' 0

* Nếu m     2 ' 0 y' 0 x    hàm số nghịch biến trên nên hàm

số không có khoảng đồng biến

* Nếu m 2y' 0 có hai nghiệm x1x2 và

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

Bài 3: Tìm m để hàm số y mx 4

x m





 nghịch biến trên khoảng ;1

CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC

8 y x 33x2m 1 x 4m   nghịch biến trên khoảng 1;1

9 y x33x2mx 4 nghịch biến trên khoảng 0;

10 y 2x 32x2mx 1 đồng biến trên khoảng 1;

11 y mx 3x23x m 2  đồng biến trên khoảng 3; 0

3 y x 3 m 1 x  22m23m 2 x m 2m 1      đồng biến trên nửa  2; 

Bài 6: Tìm m để hàm số:

1 ym 1 x  33 m 1 x   22mx 4 đồng biến trên khoảng có độ dài không

nhỏ hơn 1

2 y x 3mx2m 36 x 5   nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2

3 y x 33x2mx m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2 2

Vấn đề 3 Chứng minh phương trình có nghiệm Áp

dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình ,bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình

Phương pháp Biến đổi phương trình ,bất phương trình đã cho thành dạng

f(x) = g(m) , f(x) > g(m),<Sau đó lập bảng biến thiên của f(x) , dựa vào bảng biến thiên này sẽ tìm được các giá trị của tham số thỏa yêu cầu của bài toán

Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến ta thấy

 Nếu hàm số y f(x) liên tục và đồng biến trên D thì :

f(x) f(y)  x y và f(x) f(y)  x y

 Nếu hàm số y f(x) liên tục và nghịch biến trên D thì :

f(x) f(y)  x y và f(x) f(y)  x y

Từ đó gợi cho chúng ta ứng dụng vào các bài toán chứng minh bất đẳng thức

và các bài toán giải phương trình, bất phương trình Cụ thể ta có các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số y f(x) liên tục vàluôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a; b) thì số nghiệm của phương trình : f x k (trên (a; b) ) không nhiều hơn một và f u   f v  u v u,v (a; b) 

Chứng minh: Ta giả sử f là hàm đồng biến trên (a; b)

 Nếu u v f(u) f(v)

 Nếu u v f(u) f(v)

Tính chất 2: Nếu hàm số y f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch

biến) ; hàm số y g x  liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên

D thì số nghiệm trên D của phương trình : f x   g x không nhiều hơn một

Chứng minh: Giả sử f đồng biến còn g nghịch biến trên D và

0 0 0

x D : f(x ) g(x )

  

* Nếu x x 0f(x) f(x ) g(x ) g(x) 0  0  PT:f(x) g(x) vô nghiệm

* Nếu x x 0f(x) f(x ) g(x ) g(x) 0  0  PT:f(x) g(x) vô nghiệm

Vậy x x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) g(x)

Tính chất 3: Nếu hàm số y f x   liên tục và luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) trên D thì f(u) f(v)  u v (u v) u,v D  

Tính chất 4: Cho hàm số y f(x) liên tục trên *a;b+ và có đạo hàm trên khoảng

liên tục  a; b Nếu f(a) f(b) thì phương trình f '(x) 0 có ít nhất một

nghiệm thuộc khoảng (a; b)

Chứng minh:

Giả sử phương trình f '(x) 0 vô nghiệm trên (a; b)

Khi đó f '(x) 0 x (a; b)   (hoặc f '(x) 0 x (a; b)   )

Suy ra f(b) f(a) (hoặc f(b) f(a) )



Vậy phương trình f '(x) 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b)

Từ định lí này, ta có được hai hệ quả sau:

Hệ quả 1: Nếu phương trình f x 0 có m nghiệm thì phương trình f '(x) 0

có m 1 nghiệm

Hệ quả 2: Cho hàm số y f x   có đạo hàm đến cấp k liên tục trên (a; b) Nếu phương trình f(k)(x) 0 có đúng m nghiệm thì phương trình f(k 1) (x) 0 có nhiều nhất là m 1 nghiệm

Thật vậy: Giả sử phương trình f(k 1) (x) 0 có nhiều hơn m+1 nghiệm thì phương trình f(k)(x) 0 có nhiều hơn m nghiệm, điều này trái với giả thiết bài toán

Từ hệ quả 2  nếu f '(x) 0 có một nghiệm thì f(x) 0 có nhiều nhất hai nghiệm

Chú ý: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình – bất phương trình ta thường đi

theo hai hướng sau:

Hướng 1: Đưa phương trình về dạng f(x) f(x ) 0 , trong đó y f(t) là một hàm

số liên tục và luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên tập đang xét

Để làm theo hướng này, chúng ta cần nhẩm trước một nghiệm của phương trình và nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f

 Để nhẩm nghiệm, ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm nghiệm

Cụ thể: Để tìm một nghiệm của phương trình f(x) 0 ta thực hiện như sau

Bước 1: Nhập biểu thức f(x) (Dùng phím ALPHA+ X)

Bước 2: Dùng lệnh giải phương trình: SHIFT+CALC (SOLVE) nhập giá trị của

X (nhập giá trị bất kì) =

 Để nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f, chúng ta cần chú ý

*Tổng hai hàm số đồng biến là một hàm số đồng biến

* Hàm số đối của một hàm số đồng biến là một hàm số nghịch biến

* Nếu hàm số y f(x) đồng biến thì ynf(x) là hàm số đồng biến

* Nếu hàm số y f(x) đồng biến và nhận giá trị dương thì hàm số y 1

f(x)

 là một hàm nghịch biến

Hướng 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) f(v) , trong đó u,v là các hàm theo x

Làm theo hướng ta thường áp dụng khi gặp phương trình chứa hai phép toán ngược nhau

Ví dụ 1.3.1 Giải phương trình:

1 7x 7  7x 6 13 2 x 1 x31

Do đó, nếu phương trình y 0 có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất 

Dễ thấy y 1   0 x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

2 Nhận xét đặc điểm các biểu thức dưới dấu căn ta thấy ở mỗi vế biểu thức

dưới dấu căn hơn kém nhau 1 Do đó nếu ta đặt đặt u3x 1, 3 2

v 2x thì phương trình đã cho trở thành: 3u3  1 u 3v3  1 v f(u) f(v)

Trong đóf(t)3 3t  1 t, có:

2

3 2 3

Vậy phương trình có hai nghiệm:x 1,x 1

mọi x [1; ) Suy ra hàm số f x nghịch biến trên [1;  )

Vậy phương trình f x 0có đúng một nghiệm

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Chứng minh rằng phương trình:

 có đúng hai nghiệm dương phân biệt

Bài 2: Tìm m để phương trình (x22x)33(x22x)2 4 m 0 có nghiệm

Bài 3: Giải hệ phương trình :

CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC

Bài 4: Giải phương trình :

n k

Bài 7: Giải hệ phương trình :

Ta thường gặp các bài toán sau

Bài toán 1: Tìm m để phương trình F(x,m) 0 có nghiệm trên D

Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) g(m)

Khi đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y g(m)

cắt đồ thị hàm số y f(x)

Chú ý: Nếu hàm số y f(x) liên tục trên a; b  thì phương trình f(x) g(m)

có nghiệm trên a; b  khi và chỉ khi:

[a;b] [a;b]

min f(x) g(m) maxf(x) 

Bài toán 2: Tìm m để phương trình F(x,m) 0 có k nghiệm trên D

Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) g(m)

Khi đó phương trình đã cho có k nghiệm trên D khi và chỉ khi đường thẳng

y g(m) cắt đồ thị hàm số y f(x) tại đúng k điểm có hoành độ thuộc D

Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình F(x,m) 0 có nghiệm trên D

Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) g(m) ( hoặc f(x) g(m) ) Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm trên D khi và chỉ khi

Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài

toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm Cụ thể:

* Khi đặt tu(x),x D , ta tìm được t Y và phương trình f(x,m) 0 (1) trở thành g(t,m) 0 (2) Khi đó (1) có nghiệm x D  (2) có nghiệm t Y

* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm u(x) )

Tóm lại: Khi giải quyết các bài toán về phương trình – bất phương trình liên

quan đến tham số mà ta có thể cô lập tham số về một vế thì ta sử dụng phương pháp hàm số

Ví dụ 1.4.1 Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m thì

phương trình thì phương trình x22x 8  m(x 2) có hai nghiệm thực phân biệt

Lời giải

Điều kiện: x 2