Các dạng toán tính nhanh

GIÚP HỌC SINH ÔN TẬP TÍNH NHANH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Các dạng toán tính nhanh giá trị biểu thức không chỉ có trong các kì kiểm tra thông thường mà còn thường gặp trong các đề thi chọn học

GIÚP HỌC SINH ÔN TẬP TÍNH NHANH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Các dạng toán tính nhanh giá trị biểu thức không chỉ có trong các kì kiểm tra thông

thường mà còn thường gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán Tuy nhiên, khi gặp các dạng toán loại này nhiều em học sinh vẫn tỏ ra lúng túng hoặc bài toán yêu cầu tính nhanh

mà mình lại đi "tính chậm".

Chúng ta cùng tìm hiểu qua các bài toán sau :

Dạng 1 Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng

Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau:

A = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 + 0,10 + 0,11 + … + 0,19 ( 19 số hạng)

(Đề thi HSG lớp 5, TP Hà Nội, năm 2000)

Giải: Ta có: M = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9

= (0,1 + 0,9) + (0,2 + 0,8) + (0,3 + 0,7) + (0,4 + 0,6) + 0,5

= 1 + 1 + 1 + 1 + 0,5 = 4,5

N = 0,10 + 0,11 + 0,12 + 0,13 + 0,14 + 0,15 + 0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19

= (0,10 + 0,19) + (0,11 + 0,18) + (0,12 + 0,17) + (0,13 + 0,16) + (0,14 + 0,15)

= 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29

= 0,29 x 5 = 1,45

Vậy: A = M + N = 4,5 + 1,45 = 5,95

Dạng 2 Vận dụng tính chất của dãy số cách đều

Ví dụ : Tính nhanh tổng sau:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101

Giải: Cách 1

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101

S = 101 + 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1 Cộng vế với vế ta có:

2 x S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + (4 + 98) + … + (100 + 2) + (101 + 1)

2 x S = 102 + 102 + 102 + 102 + … + 102 + 102 (có 101 số 102)

2 x S = 102 x 101 = 10 302

S = 10 302 : 2 = 5151

Cách 2 Viết thêm số 0 vào tổng đã cho.

S = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +…+ 100 + 101

= (0 + 101) + (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51)

= 101 + 101 + 101 + … + 101

Tổng trên có 102 số hạng nên số cặp ghép được là: 102 : 2 = 51 (cặp)

Vậy S = 101 x 51 = 5151

Cách 3 Viết thêm số 102 vào tổng đã cho.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101

S + 102 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101 + 102

S + 102 = (1 + 102) + (2 + 101) + (3 + 100) + … + (51 + 52)

S + 102 = 103 + 103 + 103 + … + 103

S + 102 = 103 x 51 = 5253

S = 5253 - 102 = 5151.

Cách 4 Tách số hạng đầu tiên đứng một mình

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101

S = 1 + (2 + 101) + (3 + 100) + (4 + 99) + … + (51 + 52)

S = 1 + 103 + 103 + 103 + … + 103

S = 1 + 103 x 50 = 1 + 5150 = 5151

Cách 5 Tách số hạng cuối cùng đứng một mình

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101

S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51) + 101

S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101

S = 101 x 50 + 101 = 101 x 51 = 5151

Cách 6 Tách riêng số hạng ở chính giữa đứng một mình

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101

S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + … + (50 + 52) + 51

S = 102 + 102 + 102 + … + 102 + 51

= 102 x 50 + 51 = 5100 + 51 = 5151

Dạng 3 Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân

Ví dụ : Tính nhanh:

B = 8 x 5 x 125 x 4 x 2 x 25

Giải: B = 8 x 5 x 125 x 4 x 2 x 25

B = (5 x 2) x (8 x 125) x (4 x 25)

= 10 x 1000 x 100

= 1 000 000

Dạng 4 Vận dụng quy tắc nhân một số với một tổng

Ví dụ : Tính bằng cách nhanh nhất:

241,324 x 1999 + 241,324

(Đề thi HSG lớp 5, tỉnh Hà Tĩnh, năm 2002)

Giải: 241,324 x 1999 + 241,324

= 241,324 x 1999 + 241,324 x 1

= 241,324 x (1999 + 1)

= 241,324 x 2000 = 482 648

Dạng 5 Vận dụng quy tắc nhân một số với một hiệu

Ví dụ : Cho A = 1993 x 427 và B = 477 x 1993

Tính hiệu B - A mà không tính riêng tích A và tích B

(Thi HSG lớp 5 toàn quốc, năm học 1992 - 1993)

Giải: B - A = 477 x 1993 - 1993 x 427

=1993 x (477 - 427)

= 1993 x 50 = 99 650

Dạng 6 Vận dụng tính chất "a x 0 = 0"

Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức:

(1999 x 1998 + 1998 x 1997) x (1 +

2

1 : 1 2

1

- 1 3

1 )

(Thi HSG lớp 5 TP Hà Nội, năm 2000)

Giải:

Ta có: 1 +

2

1

: 1 2

1

- 1 3

1 = 1 +

2

1 : 2

3

- 1 3 1

= 1 +

2

1

x

3

2

- 1

3

1 = 1+

3

1

- 1 3

1 = 1 3

1

- 1 3

1 = 0

Vậy:

(1999 x 1998 + 1998 x 1997) x (1 +

2

1 : 1 2

1

- 1 3

1 ) = (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x 0 = 0

Dạng 7 Vận dụng tính chất "0 : a = 0" (với a khác 0)

Ví dụ : Tính nhanh:

(

2

1

: 0,5 -

4

1

: 0,25 +

8

1 : 0,125 -

10

1 : 0,1) : (1 + 2 + 3 + + 2006 + 2007 + 2008)

Giải: Ta có:

2

1 : 0,5 -

4

1 : 0,25 +

8

1 : 0,125 -

10

1 : 0,1 =

2

1 : 2

1

- 4

1 : 4

1 + 8

1 : 8

1

- 10

1 : 10

1 =

1 - 1 + 1 - 1 = 0 Vậy: (

2

1 : 0,5 -

4

1 : 0,25 +

8

1 : 0,125 -

10

1 : 0,1) : (1 + 2 + 3 + + 2006 +

2007 + 2008) = 0 : (1 + 2 + 3 + + 2006 + 2007 + 2008) = 0

Dạng 8 Sử dụng phương pháp khử liên tiếp

Ví dụ : Tính nhanh tổng sau:

A =

2

1

1

x +

3 2

1

x +

4 3

1

x + +

2008 2007

1

x

Ta có:

2

1

1

x = 1 -

2

1

; 3 2

1

x = 2

1

- 3

1

; 4 3

1

x = 3

1

- 4

1

; ;

2008 2007

1

2007

1

- 2008

1 Vậy ta có:

A = (1 -

2

1

) + ( 2

1

- 3

1 ) + ( 3

1

- 4

1 ) + + (

2007

1

- 2008

1 ) = 1 -

2

1 + 2

1

- 3

1 + 3

1

- 4

1 + +

2007

1

-

2008

1

= 1 -

2008

1 = 2008

2007

Dạng 9 Nhóm các số lại với nhau để có kết quả bằng 0

Ví dụ : Tính giá trị biểu thức:

A = 181 + 3 - 4 - 5 + 6 + 7 - 8 - 9 + 10 + 11 - 12 - 13 + 14 + 15 - 16 - 17 + 18 + 19

Ta nhóm lại như sau:

A = 181 + (3 - 4 - 5 + 6) + (7 - 8 - 9 + 10) + (11 - 12 - 13 + 14) + (15 - 16 - 17 + 18) + 19 =

181 + 0 + 0 + 0 + 0 + 19 = 200

Dạng 10 Đưa về dạng toán "Tìm thành phần chưa biết của phép tính

Ví dụ : Tính nhanh:

4

1 + 8

1 + 16

1 + 32

1 + 64

1 + 128 1

(Thi HSG lớp 5 tỉnh Bắc Giang, năm 2001)

Giải: Đặt:

S =

4

1

+

8

1

+

16

1 + 32

1 + 64

1 + 128 1 Cùng nhân 2 vế với 2 ta được:

S x 2 = (

4

1

+

8

1 + 16

1 + 32

1 + 64

1 + 128

1 ) x 2 =

2

1 + 4

1 + 8

1 + 16

1 + 32

1 + 64

1

Ta thấy giữa S và S x 2 chỉ khác nhau ở hai số hạng đầu và cuối

Vậy: S x 2 - S =

2

1

- 128

1

Từ đó ta tính được: S =

128

63

Chúc các em học giỏi !