GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG MŨ & LOGARIT

THPT Tân Bình – Bình Dương.. n  Tính chất: Có các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên... THPT Tân Bình – Bình Dương... THPT Tân Bình – Bình Dương... Đồ thị nằm bên phải trục tung...

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1

… MŨ & LÔGARIT …

1) LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN:

a) Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Với a:

b a  b = n a (mọi số thực dương a có 2 căn bậc chẵn đối nhau)

 Tính chất: a, b thực dương m, n nguyên dương

 Cho a là một số thực dương, r là một số hữu tỷ được viết dưới dạng r = m

n tức m nguyên, n nguyên

dương Khi đó

m n

 Trong đó:  là số vô tỷ; (r ) là dãy vô tỷ bất kỳ có lim n r = ; a là số thực dương n

 Tính chất: Có các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên

3 2

 Hướng dẫn: a) 9 b) 8 c) 40 d) 3 2

5 2 = 121 e) 95

16 f)

113122) Cho a, b là những số thực dương Rút gọn biểu thức sau:

 Hướng dẫn:

a)  3 56 =

5 12

2 và

3 14

2.2 =

5 7

7 và 4 = 40  4 10

4

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1

a

c c

b

 hay loga b.logb cloga c

 Hệ quả 1: 0 < (a, b)  1: log 1

 Lôgarit cơ số 10 của một số dương x được gọi là lôgarit thập phân của x được ký hiệu là logx hoặc lgx

Ta có: log10xlogx hay logxnx10n

3

a) log 12 log 15 log 208  8  8 ; b) 3

1log 36 log 14 3log 21

21log 18 log 72

5) Đơn giản các biểu thức sau:

a) log1 1log 4 4 log 2

a) log 350, nếu log 153 , log 103 ; b) log 12504 , nếu log 52 

7) a) Cho a = log 3 , b = 30 log 5 Hãy tính 30 log 1350 theo a, b; 30

b) Cho c = log 315 Hãy tính log 1525 theo c

1

11

c

c

= 1

2(1c)

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1

Chiều biến thiên: y'= x

a lna > 0 x, hàm số đồng biến trên R

4) SỰ BIẾN THIÊN & ĐỒ THỊ HÀM SỐ yloga x (0a1):

Đi qua (1; 0) và (a; 1) Đồ thị nằm bên phải trục tung

5) SỰ BIẾN THIÊN & ĐỒ THỊ HÀM SỐ yx :

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1

 Đồ thị: luôn đi qua điểm (1; 1)

3

1

1

x x

1

x x

5

x y

4

x y

x





 ; e) ylog (2 x2); f) ylog (33 x19)

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1

1) PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN:

a) Phương trình mũ: với m > 0, a x mxloga m

b) Phương trình lơgarit: với x > 0, loga xmxa m

2) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LƠGARIT:

a) Đưa về cùng cơ số: 0 < a  1 a x a m xm và loga x loga m m 0

3 loại)

t t

2

3 2

22

(x – 1)log 32 +x2= 3+ (x – 2)log 42  x2– (2–log 32 )x + 1 – log 32 = 0  x = 1, x = 1 – log 32

 Vd6 Giải PT 34x=43xlog 33 4x log 43 3x4x 3 log 4x 3  4 log 43

 Vd7 Giải phương trình 2x  2 log3x (*)

x > 1: log x3 > 0  2 –log x3 < 2 < 2x  (*) vơ nghiệm

0 < x < 1: log x3 < 0  2 –log x3 > 2 > 2x (*) vơ nghiệm

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Ta cĩ f x( ) > 0, g x( ) 0 x  0 nên trên [0; +) phương trình f x( )=g x( ) vơ nghiệm

Và f x( ) > 1, g x( )< 1 x < 0 nên trên (–; 0) phương trình f x( )=g x( ) vơ nghiệm

Vậy phương trình ( 3 2 )x( 3 2)x ( 5)x vơ nghiệm

ln 22

3

x

x

x e

x e

x

  x = 6 5) Giải các phương trình sau:

a) 2x

 Hướng dẫn:

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1 a) x = 1 vì hàm số y = 2x

đồng biến y = 3 – x nghịch biến

b) x = 2 vì hàm số y = log x2 đồng biến y = 3 – x nghịch biến

8) Giải phương trình sau:

log x =

1 2 2

log 2 log 8

x x

x  x; c) log9x27 log 3 log 243 3x  9  0

10) Giải các phương trình sau:

a) logx4log 4x 2 logx3 b) log [(4 2)( 3)] log4 2 2

2

03

4 16

x x x

2

log (2x1) log (2 x1) 2   0 2

2

log (2 1) 1log (2 1) 2

3 3

logx x x log100 10  3log3 2log log 7

§5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARIT.



Với x = 0  y = 1; Với x = 2  y = 4 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (0; 1), (2; 4)

2) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:

 Vd3 Giải hệ phương trình:

4

4 4

u u

3) PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG ĐƯƠNG:

 Mũ hoá: đưa hai vế của phương trình về hàm số mũ có cùng cơ số, sau đó cho số mũ bằng nhau, rồi giải

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1

2 2

log log 7.log 1 log 2

3 log log 5(1 3log )

log 8 log log 5 log

§6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARIT.

log 6x 36x   2

1 5

x x x

2 ≤ x ≤ 1 c) 9.3 3 28





 

2) Giải các bất phương trình lôgarit:

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1

x x x

2

1log 1 log ( 1) log





1 5

x x





10

22

x x x

ÔN TẬP & KIỂM TRA CHƯƠNG.

x x

14

x x

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1 23) PT   8 2 15  8 2 15 4

0 (loại)

x x

28) Với x  0: x x  x x 

1 2 2

x x

f x  f x x nên x 1 x2x  x = 1 Nghiệm phương trình là x = 1

B GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:

2

2

1log 4 log log 13

1 2

20) log (93 x14.3x2)3x 1 21) log 2 2 log 6 2 log 4 2 2

23) log (4 x1)2 2 log 2 4 x log (48 x)3 24) x log (9 2 )2  x  3

25) (x1) log 3 log (35  5 x13)log (11.35 x9) 26)    1 

14) (x > 0): PT  (1 log3 ) log2 3log3 1 1 1log2

      log2x2 log3xlog2x6 log3x0

 log2x2 log3x(log2x3) Ta có x = 1 là một nghiệm phương trình

Với x  1: log2x2 log3x(log2x3)  2

19) ( x > log 69 và x  1): log log (9x 3 x6)  1 log (93 x6)  x 32x 3x 6 0  3x 3

 x = 1 (loại) Phương trình vô nghiệm

20) (Với 9.32x4.3x 2 0): PT  9x14.3x 2 33x1  3.33x9.32x4.3x 2 0 

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1

3

x x

(loại)

x x

x x





Với –4 < x < –1:

2

16

41

x x

x x





 







 

 26) (x > 0):    1 

x x

  



 

27) (x > 0): log (3 x2 x 1) log 3x2xx2 

2

2 3

1log x x 2x x

Ta cĩ 2xx2  1 (x1)21 Nên phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = 1

28) Với x > 0, Đặt t = log7xlog (3 x2)  7

2 3

t

t

x x

x x

x x

t

t t

t

x

f t x

x x

x x



 

6) Ta có x2 x 1 > 0 x nên (x2 x 1)x22x   1 x22x0   2 x 0

x x x

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1

11

10

x x



  1 x 0

10) (x  0): 4x3.2 x x 41 x  22x 3.2 2x x4.22 x  2 3 42

22

x x x

x x x

x x

x x x

hoặc

x x

7) (x > 0, x  1, 1

2

x  ): log 2.logx 2x2.log 42 x 1  log 2.log 4 logx 2 x 2x2 1

 log 2 logx x 2x2 log 2 log 2 1 x x 2x   2 log 2 1x   1x 4

x x x

x x

2

x x

x x

2

x x x

x x

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1

x y

x x

x y

24

y x

y

y

x x xy

x y x x

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1





  

2) (Đề thi TN.THPT năm 2007) Giải phương trình: log4xlog 42 x 5

 Hướng dẫn: (x > 0): PT  1log2 log2 3

2 x x  log2x 2  x  43) (Đề thi TN.THPT năm 2007 Lần 2) Giải phương trình: 7x2.71x 9 0





 

4) (Đề thi TN.THPT năm 2008) Giải phương trình: 32x19.3x  6 0

x x





 

5) (Đề thi TN.THPT năm 2008 Lần 2) Giải phương trình: log (3 x2) log ( 3 x2)log 53

 Hướng dẫn: (x > 2): PT  2

log (x 4)log 5  x 2 9  x  36) (Đề thi TN.THPT năm 2009) Giải phương trình: 25x6.5x 5 0





 

7) (Đề thi TN.THPT năm 2010) Giải phương trình: 2 log22x14 log4x  3 0

7(7 )x 8.7x 1 07x  1 7x 7  x = 0 hoặc x = –1

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG.

9) (Đề thi ĐH năm 2003 – Khối D) Giải phương trình: 2x2x22 x x2  3

y x y

2516

x x



 

13) (Đề Dự trữ ĐH năm 2004 – Khối B) Giải BPT:

1

42

x x





 

14) (Đề Dự trữ ĐH năm 2004 – Khối D) Giải HPT:

biến nên f x( )2x 4x6 = 0 có nghiệm duy nhất x = 1)

15) (Đề thi ĐH năm 2005 – Khối B) Giải HPT:

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1 16) (Đề Dự trữ ĐH năm 2005 – Khối D) Giải BPT:

2 2





 

20) (Đề Dự trữ ĐH năm 2006 – Khối A – Đề 1) Giải BPT: logx1( 2 ) x  2

1 log x4 log x6 log x  log2x   1 x  2

2

log x 1 log (3x)log (x1)

 Hướng dẫn: (1 < x < 3): PT  log (2 x1) log (3 2 x)log (2 x1) 

2

13

x x

x x

2 3

x x

27) (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối B) Giải PT:  2 1  x 2 1 x2 2 0





  

28) (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối D) Giải PT: 2  2

3

4(2 log ) log 3 1

x x

x x

x

x x x

' > 0 t > 0  Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)

Vì f(2x1) f x( ) nên 2x 1 x  2x  x 1 Trên khoảng (0; +∞), đồ thị hàm số y 2x và đường thẳng y = x + 1 có một điểm chung duy nhất tại x = 1 Do đó PT có nghiệm duy nhất x = 1 35) (Đề Dự trữ ĐH năm 2007 – Khối D – Đề 2 Phần riêng) Giải PT: 23x17.22x 7.2x 2 0

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1

x x x





  

38) (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối D) Giải PT: 2  2

2

x x

x x

x x

44) (Đề Dự trữ ĐH năm 2007 – Khối D – Đề 2 Phần chung) Giải PT: log22 1 1 2

x

x x x

> 0 t > 0  Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)

Vì f(2x1) f x( ) nên 2x 1 x  2x  x 1 Trên khoảng (0; +∞), đồ thị hàm số y 2x và đường thẳng y = x + 1 có một điểm chung duy nhất tại x = 1 Do đó PT có nghiệm duy nhất x = 1 45) (Đề Dự trữ ĐH năm 2007 – Khối D – Đề 2 Phần riêng) Giải PT: 23x 17.22x 7.2x 2 0

x x x

2

x

x

x x

x x





   

48) (Đề thi ĐH năm 2008 – Khối D) Giải bất phương trình

2

1 2

1

x x



201101

x x

x x x

x x

THPT Tân Bình – Bình Dương MŨ & LOGARIT 1

x x





 

55) (Đề thi ĐH năm 2009 – Khối A) Giải hệ phương trình: 2 2

2

log (x2) log ( x5) log 8 0

 Hướng dẫn: (5  x > –2): PT  log (2 x2) log 2 x5 log 82  (x2) x5   8

2

x x

 nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất x = 2

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1, x = 2

59) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối D – NC) Giải hệ phương trình:

x y

x y

x y