Phân dạng và phương pháp giải các chuyên đề giải tích 12 tập 2 (500 trang)

Lũy thừa với số mũ nguyên: a.. Định nghĩa: Cho n là số nguyên dương và số thực a... Chú ý : Lũy thừa số mũ hữu tỉ chỉ được định nghĩa cho số thực dương.. Tính chất: Lũy thừa với số mũ

NGUYỄN PHÚ KHÁNH NGUYỄN TẤT THU – NGUYỄN TẤN SIÊNG NGUYỄN ANH TRƯỜNG – ĐẬU THANH KỲ ( Nhóm giáo viên chuyên toán THPT )

Dành cho thí sinh lớp 12 ôn tập và thi Đại học, Cao đẳng Biên soạn theo nội dung và cấu trúc đề thi của Bộ GD &ĐT

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

XIN TRÍCH DẪN MỘT PHẦN TÀI LIỆU

HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Lũy thừa với số mũ nguyên:

a Định nghĩa: Cho n là số nguyên dương và số thực a Khi đó:

Ghi chú:

 Với n 0 thì a có nghĩa n  a 0

 Với a 0  thì n

n

1a

3 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

a Định nghĩa: Cho số thực a 0 và số hữu tỉ r m

n

 ( m,n là hai số nguyên

n 0 ) Khi đó

m n

a a  a

Chú ý : Lũy thừa số mũ hữu tỉ chỉ được định nghĩa cho số thực dương

b Tính chất: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất như lũy

thừa với số mũ nguyên

4 Lũy thừa với số mũ thực

a Định nghĩa: Cho số thực dương a và  là số vô tỉ Khi đó tồn tại dãy số hữu tỉ  rn có giới hạn  và rn

n

a lim a



b Tính chất: Lũy thừa với số mũ thực có đầy đủ các tính chất như lũy thừa

với số mũ nguyên

Lưu ý :

 Lũy thừa với số mũ nguyên âm và mũ 0 thì cơ số khác không

 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số thực thì cơ số dương

 Nếu  là số nguyên dương thì tập xác định là

 Nếu  nguyên âm hoặc bằng 0 thì tập xác định là \{0}

 Nếu  không là số nguyên thì tập xác định là (0;)

* Đạo hàm :  x ' .x1 từ đó suy ra:     1

u(x)  ' u'(x) u(x)

u'(x)u(x) '

x lna

 Từ đó, suy ra:  a 

u'log u '

* Tính đơn điệu: Hàm đồng biến khi a 1 và nghịch biến khi 0 a 1 

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1 Tính giá trị biểu thức – Rút gọn

Ví dụ 1.1.1 Rút gọn các biểu thức

1 0,25

 

20 20

3 5 2

6 log a 6 log a

6 log alog a 1

Ví dụ 6.1.1

1 Tính log3624 , biết log 27 a12 

2 Tính log 15 theo a, b , biết 24 log 5 a,2  log 3 b5 

3 Tính log2524 theo a, b , biết log 15 a,6  log 18 b12 

4 Tính log126150 theo a, b,c , biết log 3 a,2  log 5 b,3  log 75 c

a log 15 log 3 log 5

log 2 log 2 log 3 x y1

2b a ab 1





  

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:

15 theo a, b iết log 2 a,log 3 b5  5 

3 iết log 15 a; log 18 b6  12  Tính log2524 theo a, b

4 iết a log 3; b log 7 2  3 Tính log 14 theo a, b 24

Bài 3: Tìm m,n để các biểu thức sau không ph thu c vào a, b 0

1   a a

ax

a

log b log xlog bx

3 2 log 3 và 2 log 4 3

Lời giải

1

1 2

1 2

Ta có: 2lg(a 3b) lg 4 lga log b   

lg(a 3b) 2lg(4ab)(a 3b) 2 4ab

1 Với x24y2 12xy ta luôn có :   1 

ài toán trở thành chứng minh: ln t 2t 1

1 Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của m t tam giác

vuông, trong đó c b 1,a 1   Chứng minh rằng:

log  a log  a 2log  a.log  a

2 Cho a, b 0 thỏa mãn a2b2 7ab Chứng minh rằng:

3log a 2log c log b

5 Cho a,b,c,x 0; x 1  Chứng minh rằng: log a, log b, log c theo thứ tự x x x

lập thành cấp số c ng khi và chỉ khi a, b,c theo thứ tự là cấp số nhân

6 Cho a, b,c là đ dài ba cạnh tam giác ABC với 0 c b 1   và c b 1  Chứng minh logc b a log c b a 2log c b alogc b a ABC vuông tại C

CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC

Bài 3:

1 Cho logabc2012 log 2012 log 2012 log 2012 a  b  c Chứng minh rằng: trong

bà số a, b,c luôn tồn tại m t số nhỏ hơn 1

2 Cho a, b 0 thỏa mãn a2b2 14ab Chứng minh rằng:

  2.alog cb blog ac clog ba 3 abc3

Bài 5: Cho các số thực a,b,c 2 Chứng minh bất đẳng thức:

3 Cho a,b,x 0; b,x 1  thỏa mãn: x x

2 b

1 Chứng minh rằng: 3sin x2 3cos x2 2 3 với x 

2 Cho logabc2010 log 2010 log 2010 log 2010 a  b  c Chứng minh rằng trong

bà số a, b,c luôn tồn tại m t số nhỏ hơn 1

3 Cho a, b 0 thỏa mãn a2b2 14ab Chứng minh rằng:

Vậy, D (1; 2]

2 Điều kiện

2 2

x 3

x 12

CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC

Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

y5

2 Hàm số có đạo hàm tại x 0 khi nó liên t c tại x 0 Khi đó

Vậy a 6,b 1  thoả yêu cầu bài toán

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm các giới hạn sau :

Vậy phương trình cho không có nghiệm thực

2 Đặt t e x bài toán trở thành “ Chứng minh rằng t 0  luôn có

Ta thấy y f t   đồng biến trên 0; và hàm số có tiệm cận ngang là y 0

Ví dụ 4.5.1 Cho các số thực không âm x, y,z thỏa mãn z y z 3   Tìm giá trị

1 Nếu y e sin x thì y'cos x y.sin x y" 0  

2 Nếuy ln cos x   thì y'tan x y" 1 0  

1 y xlog 2 x x 0,x 1   Giải bất phương trình: y' 0

2 y e x2x.Giải phương trình: y'' y' 2y  0

3 y ln x   x21

  Giải phương trình: 2xy' 1 0 

Bài 4: Xét tính đơn điệu của hàm số : y ln x43x24

 đồng biến trên khoảng 0;

2 Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

 20  20    20

1 1

3 5 2

log 18 blog 12 2 b log 3 1 2b

332

5 2

4373a

5 log a log c 2log bx  x  x log ac log bx  x 2 acb2

6 logc b a log c b a 2log c b alogc b a

Tương tự: alog cb blog ac 2a; blog ac clog ba 2b

C ng ba ĐT trên lại với nhau, ta có:

log cb log ac log ba 3

1 3sin x2 3cos x2 2 3sin x cos x2  2 2 3

2 Giả sử cả ba số đều lớn hơn 1log2010a,log2010b,log2010c 0

(3)3

(4)2

0 x

1 Ta có y' cos x.e sin xy'' sin x.esin xcos x.e2 sin x

y'' sin x.y cos x.y' y'cos x y.sin x y" 0

Hàm đồng biến trên mỗi khoảng ;1

2

 

  và 2; Hàm nghịch biến trên khoảng 1; 2

Đặt      

2 2