Lời giải đề thi ĐH số 20

Tiếp tuyến của C tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không phụ thuộc M.

CAO ĐẲNG SƯ PHẠM TPHCM Bài I:

1) Khảo sát hàm số:







1 1

x y

 TXĐ: D = R \ (1)



2

2

( 1)

y x



 Hàm số giảm trên từng khoảng xác định

 TCĐ: x = 1 vì limx 1y

 TCN: y = 1 vì xlim y1

 BBT:

 Đồ thị:

A

B M

y

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1):

Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k:

y = k( x-3) + 1

(d) tiếp xúc (C)





 



 2

x+1 = k(x-3) + 1 (1) x-1

-2 = k (2) (x-1) có nghiệm Thay (2) vào (1) :



 1 -2(x-3) 12

1 (x-1)

x x

     

2 1 2( 3) ( 1)2

Thay vào (2)   2k

Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua P là:

y= -2x + 7 3)M x y0( , ) ( )0 0  C Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành

một tam giác có diện tích không phụ thuộc M

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:

 '( )(0  0) 0

0 0 0 2

2 0

1 )

1

3 1 3

-3 ( ( -1)

x x x

x

x







 



Giao điểm với tiệm cận đứng x =1

Giao điểm với tiệm cận ngang y = 1

Giao điểm hai đường tiệm cận: I(1, 1)

Ta có :







 

0

0 0

5 2

25 hằng số 6

x

x x

S

Vậy: SIABkhông phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Bài II:

1) Giải phương trình:log ( 1) log ( 1)42 x  2 42 x  6 25

Ta có :



log ( 1) x log ( 1) x 2log x 1 16.log x 1



2 2

log ( x 1) log ( x 1)  2 log x 1 9.log x 1

Do đó: Phương trình16.log42 x1 9.log 22 x1 25 0 

Đặt t  log22 x  1 Điều kiện t 0

Khi đó phương trình trở thành :









   

t = - 16 (loại)

Vậy phương trình  log22 x  1 1 

  





  



       

1 2 1 1 2

x x

x

2) Tìm m x2 6x m  (x 5)(1 x) 0 để có nghiệm

Đặt t (x 5)(1 x) x26x 5 4 ( x 3)2 4

Suy ra điều kiện  0 t 4

Khi đó phương trình trở thành:

 2    ( t 5) m t 0

 t t2   5 m (*)

Xem hàm số y t t   2 5 trên [0,4].

Ta có :  y' 2 1t

  1 ' 0

2

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận:

Phương trình có nghiệm  Phương trình (*) có nghiệm trong [0,4]

 19 17

4 m

Bài III:

1) Giải phương trình 2sin2x = 3tgx + 1

Đặt t = tgx    2

2 sin2

1

t x

t

Khi đó phương trình trở thành:

 

 2

2

1

t

    



 



3 2 2

2

( 1)(3 2 1) 0 t=-1

(3t - 2t + 1)=0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình



  1   (  )

4

2) Tính các góc của tam giác ABC biết:

cos2 cos2 cos2

2

3 cos2 cos2 cos2

2

2

2

3

2 cos( )cos( ) cos2

2 3

2 cos cos( ) 2 cos 1

2 1

cos cos cos( ) 0

4

2

2

2

cos cos( ) sin ( ) 0

1 cos cos( ) 0

2 sin( ) 0

cos

2

30

A C

B B

A C

A C





 





 



  



 



Bài IV:

1) Giải A10x  Ax9  9 Ax8 (1)

Điều kiện 10x và  x

Ta có: (1)      

( 10)! ( 9)! ( 8)!







 2

( 10)! ( 9)! ( 8)!

( 10)! ( 10)!( 9) ( 10)!( 9)( 8)

1

9 ( 9)( 8)

16 55 0 11

11 5( )

x

x

x loại

2) Từ các số 1, 2, 5, 7, 8 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276

Gọi số cần tìm có dạng x a a a  1 2 3

Vì x < 276 nêna1 {1,2} Ta có 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: a1 1

Số các số x  1 a a2 3 là: A24  12 (số)

Trường hợp 2: a1 2

 a2   7 a3 {1,5}

 Có 2 số

 a2 {1,5}  a2 có 2 cách chọn và a

3 có 3 cách chọn  Có 2 3 6  

Suy ra số các số x  2 a a2 3 là : 2 + 6 = 8 số.

Vậy số các số cần tìm là:12 + 8 = 20 (số)

Bài V:

Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt:







2 2

x + (m-2)x = my (1)

y + (m+2)y = mx (2)

Lấy (1) trừ (2) được:











  

2 2

y x

 Với y = x, hệ trở thành:











 

2

2

( 2)

2 0

y x

 Với y   x 2 m  2, hệ trở thành:













  



2

2 2

y = - x - 2m - 2 (3) (*)

x + 2(m+1)x + 2m + 2m = 0 (4)

Do đó hệ có đúng 2 nghiệm phân biệt:















(*) có đúng 1 nghiệm (0,0) (*) có đúng 1 nghiệm (-2,-2) (*) có đúng 2 nghiệm (0,0) ,(-2,-2) (*) vô nghiệm

Trường hợp 1: (*) có đúng 1 nghiệm (0,0)

 0 = -2m-2 ( Do (3) )

 m = -1 Thử lại với m= -1 (*) trở thành:











2

0 0 0

y x

Vậy nhận m = -1

Trường hợp 2: (*) có đúng 1 nghiệm (-2,-2)

 -2 = 2 –2m – 2

 m = 1

Thử lại với m=1 (*) trở thành:









  

2

2

4 4 0

y

Vậy nhận m = 1

Trường hợp 3: (*) có đúng 2 nghiệm (0, 0),(-2, -2)













1 1

m

m (do trường hợp 1 và trường hợp 2)

điều này không xảy ra

Trường hợp 4 : (*) vô nghiệm

 (4) vô nghiệm

    

    

2

1 m 1

Tóm lại: Khi m   1 m  1 thì hệ có đúng 2 nghiệm phân biệt