Đề thi học sinh giỏi Toán 9

Tiếp tuyến chung trong tại A của hai nửa đường tròn cắt TT’ ở M a Tính độ dài AM theo các bán kính của hai đường tròn O và O’... Dựa vào đồ thị ta kết luận: Nếu m < 1 thì phương trình

Phòng GD ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎỈ KHỐI 9

Trường THCS Môn: Toán - Năm học: 2007-2008

Thời gian:120 phút(Không kể thời gian giao đề)

Bài 1:(2.0điểm)

Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x - 2 xy 3y 2 x 2008,5  

Bài 2:(2,0diểm)

Chứng minh rằng: biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x ( với x 0 )

4

2 3 7 4 3 x

Bài 3:(2,0điểm)

Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

x  x 1 m

Bài 4:(4điểm)

Cho hai nửa đường tròn ( O ) và ( O’ ) tiếp xúc ngoài ở A Tiếp tuyến chung ngoài TT’có tiếp điểm với đường tròn ( O ) ở T với đường tròn ( O’ ) ở T’, Cắt đường tròn nối tâm OO’ ở S Tiếp tuyến chung trong tại A của hai nửa đường tròn cắt TT’ ở M

a) Tính độ dài AM theo các bán kính của hai đường tròn ( O )và ( O’ )

b) Chứng minh: SO.SO’ = SM2

ST.ST’ = SA2

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp  TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A và đường tròn ngoại tiếp  OMO’tiếp xúc với SM tại M

Phũng ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI

Trường THCS Mụn Toỏn – Năm học 2007-2008

 Thời gian:120 phỳt(Khụng kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2,0đ)

2

2 2

Đặt x a; y b với a, b 0, ta có:

P = a 2ab 3b 2a 2008,5

= a 2a b 1 3b 2008,5

= a 2a b 1 b 1 2b 2b 2007,5

= a - b -1 2 b b 2007,5

a - b -1 2 b b 2007,5

1

a - b -1 2 b

2

2 2

2007 2007

1 Vì a - b -1 0 và b 0 a, b

2

3

2 Nên P = 2007 1

1 b

b 2

2

Vậy P đạt GTNN là 2007







Bài 2: (2,0đ)

2

2 4 4

2 5 2 5 9 4 5

*Suy ra: A = 1

( 0,5điểm )

( 0,5 điểm )

( 0,5 điểm )

( 0,5 điểm )

( 1,0 điểm )

( 1,0 điểm ) ( 1,0 điểm )

Bài 3: (2,0đ)

*Xét ba trường hợp:

Với x 0 thì y = -x – x +1 = -2x + 1

Với 0 < x < 1 thì y = x – x + 1 = 1

Với x 1 thì y = x + x – 1 = 2x -1

Vậy y =

2x 1 nÕu x 0

1 nÕu 0 < x < 1

2x - 1 nÕu x 1









Đồ thị hàm số : y = x  x 1 ( 1 điểm )

*Đường thẳng y = m cùng phương với Ox, cắy Oy trên điểm có tung độ m Dựa vào đồ thị

ta kết luận:

Nếu m < 1 thì phương trình vô nghiệm

Nếu m = 1 thì phương trình có nghiệm : 0 x 1 

Nếu m > 1 thì phương trình có 2 nghiệm ( 1 điểm )

Bài 4: (4 điểm )

b) Chứng minh: SO’M ~ SMO suy ra: SO' SM hay SO.SO '= SM 2

hay ST.ST' = SA

tròn ngoại tiếp OMO’

1 O

-1

1 2

-1

x y

T

M

’

’

O’

S T’

a) MO, MO’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù AMT và AMT’ nên OMO’=90o Tam giác OMO’ vuông ở M có MA OO’ nên:

MA2 = OA.OA’, Suy ra:

