Bình phương của một số hữu tỷ

BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT SỐ HỮU TY Bài 1: Cho các số hữu tỷ p.. Chứng minh 1 —xy là bình phương của một số hữu tỷ.

BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT SỐ HỮU TY

Bài 1: Cho các số hữu tỷ p q r thoả mãn pq + qr + rp = 1 Chứng minh

(1+ p?(1 + q?(1 +?) là bình phương một số hữu tý

HD: ]+p” = (p+q)(p+r)

Bài 2 (HSG Liên xô 1988,7S chuyên Thái Nguyên 1997):: Cho các số hữu tỷ x, y thoả

man: x° + y> = 2x?y? Chứng minh 1 —xy là bình phương của một số hữu tỷ

Hong dan giải:

*Với x = 0 hoặc y = 0 tacé 1 — xy = 1° (dpcm)

*V6i x #0, y #0, x,y € Q tacé cac cach sau:

Cách 1: Bình phơng hai vế đẳng thức (1) ta được:

x19 +" +2xŸyÌ =4x*y*

—» 1° +y"° —2x°y? =4x*y* —4x°y°

= (x° —y?)? =4x"y*(—xy)

= l-xy= (Ta (dpcm)

Cách 2: Bình phơng hai lần

(1) =x" +y 42x? y? =4x*y*

=x! +y =2x* y*(2—xy)

x ty? 42x yp? =4xŸy°(4—4xy+x”y”)

—s x7 +y° +2x 9y" =l16xŸyŸ —16x”y” +4x 9y"

—>x””+y““—2x'y'" =16x”yŸ(1—xy)

=> (x yl) =(4x'y')q—xy)

10 10

Cách 3: Chia cả hai vế của (1) cho xỶ ta đợc

5 5

zt

2

=2—

x2

py |S

5 2

y y

=> x+—— =2-— xi 2

(Nhân cả hai vế với y)

Cách 4:

5

xy xỰy

3 3

Từ (2) và (3) ta có » &=> là nghiệm của phơng trình:

X?— 2X + xy =0

A = 1 - xy là bình phương của một số hữu tỷ

Cách 5Š:

xì y

(1) eta

6 6

y

y x

xế „5

=_—_+ t+Ý —2xy =4—4xy

y x

Cách 6: Đặt x = ky thay vào (1) và biến đổi đồng nhất > dpcm

Bài 3 (7S chuyên Thái Nguyên 2007):

Cho các số hữu tỷ dơng x và y thỏa mãn: +” + yÌ = 2x’y’, chứng minh:

ma ¿ ,

I—— xy cũng là số hữu ty cũng là số hũ

Chứng minh :(gt) © -~ TP = [x9 = y= xa 3 => —==—

6 3.3 6 3 — A3 N2 3 4,3