day so

Định nghĩa Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn gọi tắt là dãy số.. • un được gọi là số hạng tổng quát của dãy số.. • Dãy số trên được vi

I ĐỊNH NGHĨA

1 Định nghĩa

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên

dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu :

*:

( )

n a u n

• Người ta thường viết u(n) = un

• Dạng khai triển của dãy số trên là u1, u2, u3, … , un, …

• u1 được gọi là số hạng đầu của dãy số

• un được gọi là số hạng tổng quát của dãy số

• Dãy số trên được viết tắt là (un)

2 Định nghĩa dãy số hữu hạn

• Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …, m} với m∈N* được gọi là một dãy số hữu hạn

Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3, … , um, trong

đó u1 là sô hạng đầu, um là số hạng cuối.

II CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

1 Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

Ví dụ 1. Cho dãy số (un) với

II CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

1 Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

Ví dụ 2. Cho dãy số (un) với 1

2 Dãy số cho bằng cách mô tả

Ví dụ. Cho dãy số (un) với un là giá trị gần đúng thiếu của số π với sai số tuyệt đối 10-n

Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên

Ví dụ 1. Cho dãy số (un) được xác định bởi :

u1 = 1 và un = 2un-1 + 1 với mọi n ≥ 2Viết 3 số hạng đầu tiên của dãy số trên

Ví dụ 2. Cho dãy số (un) được xác định bởi :

u1 = u2 = 1 và un = un-1 + un-2 với n≥3 Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số trên

(Dãy số Phi – bô – na - xi)

3 Dãy số cho bằng công thức truy hồi

Điền số thích hợp vào khoảng trống (…) :

1 Cho dãy số (un) được xác định bởi

Khi đó số hạng đầu tiên của dãy số là u1=…… ;

số hạng thứ 4 của dãy số là u4=………

( 1)

2 1

n n

Cho các dãy số sau :

a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 2n, 2(n+1), …

(Dãy số tăng)

b) 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, …, 1-n, 1-(n+1), …

(Dãy số giảm)

1 Dãy số tăng, dãy số giảm

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh

đề nào sai ?

a) Nếu dãy số (un) tăng thì un > um với mọi n > m

b) Nếu u1 > u2 thì dãy số (un) giảm

c) Nếu un > 0 và với mọi n∈N* thì dãy số (un) tăng

1 1

n n

u u

+ >

Trả lời phiếu học tập số 1

a) Đúng b) Sai c) Đúng

Phương pháp xét tính tăng giảm của dãy số

Phương pháp 1

Xét dấu của hiệu H = un+1 – un với mọi n ∈ N*

• Nếu H > 0 thì dãy số tăng

• Nếu H < 0 thì dãy số giảm

Phương pháp 2

Nếu un > 0 với mọi n ∈ N* thì lập tỉ số rồi so sánh với 1

• Nếu với mọi n ∈ N* thì dãy số giảm

• Nếu với mọi n ∈ N* thì dãy số tăng

1

n n

u u

+

1 1

n n

u u

+ >

Ví dụ. Xét tính tăng, giảm của dãy số un = 2n – 1.

Giải

Cách 1. Với mọi n∈N*, ta có

H = un+1 – un = [2(n + 1) – 1] – (2n - 1) = 2 > 0

Do đó un+1 > un Vậy dãy số (un) là dãy số tăng

Cách 2. Vì un > 0 với mọi n ∈ N* nên ta xét tỉ số

u u

+

Vậy dãy số (un) là dãy số tăng

 Chú ý

• Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm

• Ví dụ Dãy số (un) với un = (-1)n, tức là dãy số

-1, 1, -1, 1, …không tăng cũng không giảm

Câu hỏi 1 Dãy số (un) với 1

C Là dãy số không tăng cũng không giảm

Câu hỏi 2 Cho dãy số (un) được xác định bởi

u1 = 2 và un = un-1 + 3

A Dãy số (un) là dãy số tăng

B Dãy số (un) là dãy số giảm

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2

Trả lời phiếu học tập số 2

* 1

1 1

0, 1

Cho các dãy số sau :

m ≤ un ≤ M, với mọi n ∈ N*.

Cho dãy số (un) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?

a) Nếu dãy số (un) bị chặn trên bởi số M thì cũng bị chặn trên bởi số M + 1

b) Nếu dãy số (un) bị chặn dưới và

n

u

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3

c) Đúng Vì dãy số (un) bị chặn nên tồn tại các số M,

m sao cho m ≤ un ≤ M, với mọi n∈N*

Do đó –M ≤ - un ≤ -m Vậy dãy số (- un) bị chặn

Ví dụ 1. Chứng minh dãy số (un) với un = 2n2 – 1 bị chặn dưới.

Giải

Với mọi n ∈ N* , tức n ≥ 1 ta có

un = 2n2 -1 ≥ 2.12 – 1 = 1

Vậy dãy số (un ) bị chặn dưới bởi 1

Chú ý. Dãy số (un) với un = 2n2 -1 không bị chặn trên.

Thật vậy, nếu (un) bị chặn trên bởi số M thì với mọi

n∈N* ta có un = 2n2 -1≤ M,

hay (vô lí)

12

M

Ví dụ 2. Chứng minh dãy số (un) với

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4

Câu hỏi 2 II và III

Dãy số (un) với un = n là dãy số tăng nhưng không