Các xác định công thức dãy số

Nhân vào pt thứ hai với và cộng hai pt vào ta được Tiếp theo ta xác định sao cho .Nếu hai pt này có nghiệm khi đó ta có Từ đây chúng ta xác định được cttq của các dãy đã cho dễ dạng tìm

Một số cách xác định công thức tổng quát

của một số dạng dãy số cơ bản

Kết quả 1: Dãy có số hạng tổng quát là

Cm: Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

*n=1 ta thấy (1) đúng

Ta xét phương trình đặc trưng: (*)

-Nếu (*) có hai nghiệm thì:

-Nếu (*) có nghiệm kép thì :

Kết quả 3: Với dãy được xác định bởi :

, biết

-Nếu (**) có ba nghiệm thì:

-Nếu (**) có 1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép thì: thì:

-Nếu (**) có nghiệm bội ba thì:

Kết quả 4: Với dãy được xác định:

Cách 1: Đưa vào tham số phụ Nhân vào pt thứ hai với và cộng hai

pt vào ta được

Tiếp theo ta xác định sao cho Nếu hai pt này có nghiệm khi đó ta có

Từ đây chúng ta xác định được cttq của các dãy đã cho

dễ dạng tìm được cttq của dãy theo kết quả 2

Kết quả 5:Với dãy số : với mọi n 1 Đối với dạng này ta có hai cách làm như sau:

Cách 1: Xét hai dãy số được xác định như sau: ;

Theo kết quả 4 ta xác định được dãy và khi đó

dãy :

Cách 2:Ta đưa vào các tham số x,y như sau:

Tiếp theo ta xác định x,y sao cho:

Ta được theo kết quả 1 ta xác định được dãy nên ta tìm được

Sau đây là các ví dụ:

tổng quát của dãy

Lời giải: Bài này chúng ta có thể giải theo các cách sau:

Cách 1: Xét pt đặc trưng: pt này có hai nghiệm

suy ra lấy tổng hai vế ta có

Ví dụ 2: Cho dãy số xác định bởi:

a)Tìm công thức tổng quát của dãy

b)Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố thì chia hết cho p

Lời giải :

Xét pt đặc trưng: pt này có ba nghiệm

gồm ba pt sau:

giải hệ ba pt này ta có nghiệm

Vậy

b)Ta có 1 1 (mod p)

Vì p là số nguyên tố nên theo định lí nhỏ Fecma ta có:

Ví dụ 3: Cho dãy

a) Tính

b) Tìm phần nguyên:

Lời giải:

Ta có:

Áp dụng kết quả 1 ta có:

a) Theo trên ta có:

b) Ta có:

Mặt khác:

Ví dụ 4:Cho hai dãy được xác định như sau:

Tìm công thức tổng quát của hai dãy

Lời giải:

Do đó ta có hệ:

Suy ra:

n>=2 Cmr

Lời giải: Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh

Dãy số đã cho gần giống với dạng ở kết quả 2, nhưng vì có hệ số tự do 1975 nên ta chưa áp dụng được kết quả 2.Chúng ta có thể chuyển về dạng ở kết quả 1 bằng cách đặt Khi đó

, đến đây ta chọn a,b sao cho 22a-8b=0, chọn a=4, b=11

Suy ra

Phương trình đặc trưng có hai nghiệm x=-1 và x=-5 nên

Do 1997 là số nguyên tố nên theo định lí nhỏ Féc ma ta có:

(vì (4;1997)=1) đpcm

Chú ý: Theo chứng minh ở trên ta có bài toán tổng quát hơn là :Cmr

với mọi số nguyên tố p

Ví dụ 6: Cho hai dãy được xác định như sau: và

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho : không chia hết cho p

Lời giải:

Ta có:

Mặt khác: Đặt

Thay vào (1) ta có:

mãn

Vậy p=3,5 là những số cần tìm

Các bài tập

1) Cho dãy được xác định bởi Xác định công thức tổng quát của dãy ?

là số chính phương

3) Cho dãy

a) Xác định công thức tổng quát của dãy

b)Đặt Tìm để dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó

4)Cho hai dãy được xác định như sau:

Cmr:

5) Cho dãy

a) Tìm số nguyên dương h bé nhất để: với mọi n b) Cmr tồn tại ít nhất một số của dãy chia hết cho 1996