Giải tích cơ bản ôn thi thạc sĩ toán học dãy số và hàm số

Giải tích cơ bản ôn thi thạc sĩ toán học phần dãy số và hàm số

GIẢI TÍCH CƠ BẢN (ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC)

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

PGS TS Lê Hoàn Hóa Ngày 11 tháng 10 năm 2004

1 Giới hạn của dãy số

1.1 Định nghĩa

Cho (xn)n là dãy số thực Ta nói :

• Dãy (xn)n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, ký hiệu lim

n→∞xn = x hay lim xn = x nếu với mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì |xn− x| < 

lim xn= x ⇐⇒ ∀ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn− x| <  ⇐⇒ lim |xn− x| = 0

• Dãy (xn)n tiến ra +∞ (theo tứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn > A (theo thứ tự xn< A)

• Dãy (xn)n phân kỳ nếu không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặc lim xn = −∞

Như vậy với một dãy (xn)nchỉ có hai trường hợp : hoặc (xn)n hội tụ hoặc (xn)nphân kỳ

1.2 Định lý cơ bản

1 Nếu(xn)nlà dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn} thì lim xn= a Nếu (xn)nlà dãy giảm,

bị chặn dưới và b = inf{xn} thì lim xn= b

2 Giới hạn kẹp : Giả sử : an≤ xn ≤ bn, ∀n ≥ n0 và lim an= lim bn= a Khi đó lim xn = a

3 Tiêu chuẩn Cauchy :

(xn)n hội tụ ⇐⇒ ∀ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0, ∀p ∈ N =⇒ |xn+p− xn| < 

1.3 Các giới hạn cơ bản

1 lim 1

nα = 0, ∀α > 0

2 lim qn= 0, ∀q, |q| < 1

3 lim√n

a = 1, ∀a > 0

4 lim√n

np = 1, ∀p ≥ 0

5 lim n

p

(1 + a)n = 0, ∀a > 0, ∀p

6 limn

p

en = 0, ∀p

7 lim(1 + 1

n)

n = e

8 lim(1 − 1

n)

n

= e−1

9 limln

pn

nα = 0, ∀α > 0, ∀p

10 lim √nn

n! = e

1.4 Ví dụ

1.4.1 Ví dụ 1

Với a > 0, cho xn = (1 + a

n)

n, yn = (1 + a

n)

n+1, n ∈ N

1 Chứng minh : (xn)n là dãy tăng, (yn)n là dãy giảm

2 Chứng minh :(xn)n ,(yn)n hội tụ và lim xn = lim yn Đặt lim xn= lim yn= ea

Giải :

1 Trước tiên ta chứng minh : Với α ≥ −1, (1 + α)n ≥ 1 + nα, ∀n ∈ N

Bất đẳng thức đúng với n = 1 Giả sử đúng đến n

Khi đó, do 1 + α ≥ 0 :

(1 + α)n+1= (1 + α)n(1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α) = 1 + (n + 1)α + α2 ≥ 1 + (n + 1)α

Ta có, với mọi n ∈ N :

xn+1

xn =

(1 + a

n + 1)

n+1

(1 + a

n)

n = (1 + a

n + 1)(

1 + a

n + 1

1 + a n

)n= (1 + a

n + 1)(1 −

a (n + 1)(n + a))

n

≥ (1 + a

n + 1)[1 −

na (n + 1)(n + a)] = 1 +

a2 (n + 1)2(n + a) > 1 Vậy (xn)n là dãy tăng

Tương tự :

yn

yn+1 =

(1 + a

n)

n+1

(1 + a

n + 1)

n+2 = (1 + a

n + 1)

−1

[1 + a n(n + 1 + a)]

n+1

≥ (1 − a

n + 1 + a)(1 +

(n + 1)a n(n + 1 + a)) ≥ 1 +

(n + 1)a n(n + 1 + a)2 > 1 Vậy (yn)n là dãy giảm

2 Ta có :

(1 + a) = x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ yn ≤ ≤ y1 = (1 + a)2 Vậy (xn)n là dãy tăng, bị chặn trên ; (yn)n là dãy giảm, bị chặn dưới, chúng hội tụ Đặt lim xn = lim yn = lim(1 + a

n)

n

= ea

1.4.2 Ví dụ 2

Cho (xn)n định bởi : x1 =√

2, xn+1 =√

2 + xn, ∀n ∈ N Chứng minh (xn)n là dãy tăng, bị chặn trên Tính lim xn

Giải :

Ta có : xn≥ 0, ∀n và

xn+1− xn =√

2 + xn− xn= 2 + xn− xn2

√

2 + xn+ xn Tam thức bậc hai 2 + xn− xn2 ≥ 0 ⇐⇒ −2 ≤ xn ≤ 2, ∀n

Bằng quy nạp, ta có : x1 =√

2 < 2 Giả sử xn≤ 2 Khi đó : xn+1=√

2 + xn ≤ 2 Vậy (xn)n là dãy tăng, bị chặn trên nên (xn)n hội tụ

Đặt x = lim xn

Từ đẳng thức xn+1 =√

2 + xn, ∀n ∈ N , cho n → ∞, ta có : x =√

2 + x hay x2− x − 2 = 0 Vậy x = 2

1.4.3 Ví dụ 3

lim3

n+1+ 2n

3n+ 2n = lim3

n+1[1 + (2/3)n+1]

3n[1 + (2/3)n] = 3

1.4.4 Ví dụ 4

Tính lim√n

an+ bn+ cn, a, b, c > 0

Giả sử a = max{a, b, c} Ta có :

a ≤ √n

an+ bn+ cn= an

r

1 + (b

a)

n+ (c

a)

n ≤ a√n

3

Vậy lim√n

an+ bn+ cn= max{a, b, c}

1.4.5 Ví dụ 5

Tính lim√n

n22n+ 3n

Do lim n

2

(3/2)n = 0 nên có n0 ∈ N sao cho n

2

(3/2)n < 1, ∀n ≥ n0 Với n ≥ n0, ta có :

3 ≤ √n

n22n+ 3n = 3n

s

1 + n

2

(3/2)n ≤ 3√n

2

Do định lý giới hạn kẹp lim√n

n22n+ 3n= 3

1.4.6 Ví dụ 6

Tính lim sin(π√

n2+ 1)

0 ≤ | sin(π√

n2+ 1)| = | sin π(√

n2+ 1 − n)| = | sin(√ π

n2+ 1 + n)| ≤

π

√

n2+ 1 + n Vậy lim sin(π√

n2+ 1) = 0

BÀI TẬP Tính các giới hạn sau

1 lim(√

n2+ 5 −√

n2 + 3)

2 limn sin n

n2+ 1

3 lima

n− bn

an+ bn, ∀a, b > 0

4 lim nqn, |q| < 1

5 lim2

n

n!( HD:

2n n! =

2.2 2.2 1.2 (n − 1).n ≤ 4

n)

6 limn

2

n!

7 Chứng minh : 12+ 22+ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6 Tính 1

2 + 22+ + n2

n3

8 Tính lim n(√n

e − 1)

HD : Dùng thí dụ (1) có bất đẳng thức : (1 + 1

n)

n< e < (1 − 1

n − 1)

n, ∀n

9 Cho (xn)n định bởi : x1 =√

a, xn+1=√

a + xn, ∀n(a > 0) Xét tính đơn điệu của (xn)n và tính lim xn (nếu có)

10 Tính lim n

2√n

HD : n

2√n = exp[−√

n ln 2(1 − √ln n

n ln 2)]

Do lim√lnn

n ln 2 = 0 nên lim(ln n −

√

n ln 2) = −∞ Suy ra với mọi A > 0, có n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì n

2√n ≤ e−A Vậy lim n

2√n = 0