Day thêm PT lượng giác( hay và đầy đủ)

CHUYÊN ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCA.CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I.. Hàm số lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : 1.. Công thức lượng giác: 1.. Các hệ th

CHUYÊN ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A.CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

Đó là các cung :

1 Cung đối nhau :  và - (tổng bằng 0) (Vd: & 6

6





 ,…)

2 Cung bù nhau :  và -  ( tổng bằng  ) (Vd: &56

6





,…)

3 Cung phụ nhau : và 2   ( tổng bằng 2 ) (Vd: 6 & 3





,…)

4 Cung hơn kém 2 : và 2



  (Vd: &23

6





,…)

5 Cung hơn kém  :  và  (Vd: &76

6





,…)

1 Cung đối nhau: 2 Cung bù nhau :

cos( ) cos

sin( ) sin

( )

cot ( ) cot

 

 

 

cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot

 

 

3 Cung phụ nhau : 4 Cung hơn kém 2

cos( ) sin

2

sin( ) cos

2

( )

2

cot ( ) t

2









 

cos( ) sin 2

sin( ) cos 2

( ) 2

cot ( ) t 2









 

 

5 Cung hơn kém  :

cos( ) cos

sin( ) sin

( )

cot ( ) cot

 

 

 

VI Công thức lượng giác:

1 Các hệ thức cơ bản:

Cos đối Sin bù

Phụ chéo Hơn kém 2

sin bằng cos cos bằng trừ sin

Hơn kém 

tang , cotang

     

cos sin 1; tg = ; cotg =

1 tg = ; 1 cotg = ; tg cotg = 1

2 Công thức cộng :





cos( ) cos cos sin sin ; cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos sin cos ; sin( ) sin cos sin cos

tg( + ) = ; tg( ) =

3 Công thức nhân đôi:







2

cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sin cos sin

2 sin 2 2sin cos ; 2

1

tg tg

tg

5 Công thức hạ bậc:















2 cos 1

2 cos 1

; 2

2 cos 1 sin

; 2

2 cos 1













6.Công thức tính sin ,cos ,tg    theo t tg   2

sin 2 2; cos 1 22; 2 2

tg

7 Công thức biến đổi tích thành tổng :

1 cos cos cos( ) cos( )

2 1 sin sin cos( ) cos( )

2 1 sin cos sin( ) sin( )

2

8 Công thức biến đổi tổng thành tích :

 



cos cos 2 cos cos ; cos cos 2sin sin ;

sin sin 2sin cos ; sin sin 2 cos sin ;

sin( ) ; s cos cos

 

 in( ) cos cos

9 Các công thức thường dùng khác

cos sin 2 cos( ) 2 sin( ); cos sin 2 cos( ) 2 sin( )

B.PHU ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẠNG I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A.CƠNG THỨC NGHIỆM CẦN NHỚ

Cơng thức nghiệm Các trường hợp đặc biệt

u = v+k2 sinu=sinv

u = -v+k2

u = v+k2 cosu=cosv

u = -v+k2 tgu=tgv u = v+k (u;v )

2 cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )

k











 





 



( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k  Z)

sin 1 x = 2

2 sinx = 0 x = k sin 1 x = 2

2 cos 1 x = 2 cosx = 0 x = + k

2 cos 1 x = 2





















B.

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SAU

a) sin 2 1

2

x b) cos( ) 2

x   c) ) 3 0

6 2 sin(

2 x    d) ) 3 0

3 cos(

2 x  

1)

2sin(3x-6



)- 3  0 2) cos 



























5

2 cos 3

2   3) 7 tan 5 2 21 0

6 x



4) cot 5 2 cot 3

    5) tan cot 2 2

















4

7 3





x

6) sin3x 270  sin540  x 7) sin 2 cos3 0



  8) sin 2x 3 cosx 0

Bài 2: Tìm nghiệm của phương trình trên các khoảng cho trước

tan(2x 15 ) 1  , với x  180 ;900 0

c) sin(2x - 10o) = 1

2 víi -120

o < x < 90o d) cos(2x + 1) = 2

2 víi -  < x < 

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A.LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

2

2

2

2

a b c R a, ,  ; 0

Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)

Ta được phương trình : at2bt c  (1)0 Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x

Chú ý : Nếu tsin ,x tcosx thì điều kiện

1 t 1

  

B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Giải các phương trình sau

1) 3 sin 2x 2 sinx 1  0 2)3tan2x 4 3 tanx 3 0 3)2 cos 2 2 cos 2 0





x





 x

x 5) cos 2 sin 2 2 cos 1 0







7) cos 2xsin2 x2cosx 1 0 8) 3cos 2x2(1 2 sin )sin x x 3 2 0

9) cos (32 ) cos (3 ) 3cos(2 3 ) 2 0

3 3cot 3 sin x  x

Bài 2: Giải các phương trình sau

d) 2 cos cos2x x 1 cos2xcos3x e) sin4xcos4 xsin2x 12

2 cos(

) cos (sin







x  g) sin4 cos4 1 2sin

   h) sin 4 cos 4 sin cos 0





x

Bài 3: Tìm nghiệm của phương trình trên các khoảng cho trước

sin x sin x23  3  , 0 2 4

3 3

x   ; 

 

D

ẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

sin os (1) ( a;b 0)

Chú ý:

-Phương trình cĩ nghiệm  a2b2 c2

-Trong trường hợp phương trình cho dưới

dạng: ac x bos  sinx c (1) , với cách đặt

như bên, phương trình được đưa về dạng











2 2

2 2

c cosx.cos + sin sin =

a c

cos(x- ) = (3)

a

x

b

b

Vậy tùy theo dạng của phương trình, khi

áp dụng cơng thức cộng ta sẽ đưa về các

phương trình cơ bản khác nhau.

-Ngồi ra ta cịn cĩ thể đặt

b sin và os

a

Chia hai vế của phương trình cho a2b2 thì pt

(1) a sinx b c xos c

Đặt 2 2 cos và 2b 2 sin

a

a

a b   b   với 0;2thì :











2 2

2 2

c (2) sinx.cos + cos sin =

a c

sin(x+ ) = (3)

a

x

b

b

Pt (3) có dạng 1 Giải pt (3) tìm x

B.BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) 3sin 3 cos 3

2

x x 2) 3 cos9xsin 9x 2 3 3cos3x + sin3x = 2; 4) 4sinx – 3cosx = 5; 5) 3sin2x + 2cos2x = 3;

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1) 2 2(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x 2) 3sin 2x4cos(32 ) 5x 

3) cos 7 cos5x x 3 sin 2x 1 sin 7 sin 5x x 4) 1  3 sin x1 3 cos x1

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

sin sin cos cos (4) (a;c 0)





    thay vào phương

Chú ý

- Nếu a = d thì

2

x k là nghiệm của phuơng trình (4),ngược lại nó không là nghiệm

- Ngoài cách giải đưa về phương trình bậc 2 theo tanx,

ta còn có thể dùng các công thức

-Hạ bậc: sin2 1 os2

2

2

-Nhân đôi: sin cos 1sin 2

2

Đưa phương trình (4) về dạng (3) : phương trình bậc 1

theo sin2x và cos2x

trình, nếu thõa mãn thì

2

x k là nghiệm của phương trình ngược lại không là nghiệm của phương trình

Th 2: Xét cos 0

2

x  x k , chia 2 vế của phương trình cho cos x ta được2

a tan2 tan 2

cos

d

x

1 tan

 

2

a tan tan 1 tan

(*) là phương trình bậc 2 theo tanx đã biết cách giải

KL: Hợp nghiệm của 2 trường hợp.

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Giái các phương trình sau

2 1) 2 3 cos x6sin cosx x 3 3 ; ,

x k x k k Z;

2)sin 2x4sin cos cos 2x x x3cos 2x 3 0 ; ,

3)3sin (3 ) 2sin( )cos( ) 5sin ( ) 0

; arctan( ) ,

1 4) 3 sin cos

cos

x

3

x k x   k k Z

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) 5sin 22 x 3sin 2 cos 2x x 2cos 22 x , b) 0 5sin2 x10sin cosx x4cos2x 0

2sin 3x 5sin 3 cos3x x cos 3x , d) 2 3sin2x 3 cos2 x (3 3)sin cosx x , 0

e) 2 2

cos x sin x 3 sin 2x f) 1 sin4 x cos4x 3sin cosx x 0

g) 1

4cos 6sin

sinx  x x, i)

4sin x3cos x sinx sin xcosx 0 h) cos3x 4sin3x 3cos sinx 2xsinx k) 0 cos3x sin3xsinx cosx

Bài 3: Giải các phương trình sau: (***)

1) 4sin x sin xcosx 3sinx3cos x0 ; ,

x k x   k k Z

2)cos x sin xsinx cosx ,

4

x k k Z

3 3)cos3x2sin x3cosx 3sinx0 ,

4

x k k Z

3 4)sin sin 2x xsin3x2cos xcos3x3cosx ; arctan 2 ,

3

; arctan( ) ,

3 1 6) 2sin 2 3 cos

cos sin

x  k x  k k Z DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

Dạng phương trình

1) (sin3) sin cos )cos sin cossin cos 00 2) (sin4) sin cos )cos sin cossin cos 00

Phương pháp giải

1) (sina xcos )x bsin cosx x c 0

Đặt sin cos 2 cos( )

4

Điều kiện:  2 t 2

2

sin cos (sin cos ) 1 2sin cos

1 sin cos

2

t



pt

2

2 1

2

t

Giải ra t ( chú ý chọn nghiệm t thỏa mãn điều kiện )  giải

ra x

Chú ý:

-Nghiệm t chon được phải thõa mãn điều kiện

2) (sina x cos )x bsin cosx x c 0 Đặt sin cos 2 sin( )

4

 Giải tương tự như dạng 1 3) sina xcosx b sin cosx x c 0 Đặt

sin cos 2 cos( )

4

ĐK: 0 t 2  Giải tương tự như dạng 1 4) sina x cosx b sin cosx x c 0

Đặt sin cos 2 sin( )

4

ĐK: 0 t 2  Giải tương tự như dạng 1

B.BÀI TẬP ÁP DỤNG

1)sin cos 2sin cos 1 0

2)(1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2

3) 2cos( ) sin cos 1

4

4)sin 2 2 sin( ) 1

4 5)1 tan 2 2 sin





6) sin cos 4sin 2 1

2 7)(1 sin cos )(sin cos )

2 8)sin cos 1 3sin cos 9) 2(sin cos ) 2 cos 2

5 10)sin( )sin(2005 ) 2sin 2sin( ) 2

ĐÁP ÁN:

2

3

2 2 3) arccos( ) 2 ,









Z

Z Z

Z Z

6) , 2

3 1 7) 2 ; arccos( ) 2 ,

2

4

2

k













Z

Z Z

Z

Z

GIÁO ÁN CÓ SỬ DỤNG TÀI LIỆU CỦA CÁC ĐỒNG NGHIÊP.