2 Tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê đã cho.. 4 Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê đã cho..
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II NĂM 2013– 2014
TRƯỜNG THPT PHÚC THỌ MÔN: TOÁN LỚP 10
A.ĐẠI SỐ :
I Kiến thức cơ bản về phương trình và bpt chứa căn và chứa giá trị tuyệt đối:
*
f (x) 0
f (x) g(x)
f (x) g(x)
f (x) 0
f (x) g(x)
≥
= ⇔ ≤
− =
f (x) g(x)
=
*
f (x) 0
f (x) g(x)
f (x) g(x)
f (x) 0
f (x) g(x)
≥
≤ ⇔ ≤
− ≤
f (x) g(x)
≥
g(x) 0
f (x) g(x)
f (x) g(x)
≥
f (x) 0
f (x) g(x) g(x) 0
f (x) g(x)
g(x) 0
f (x) 0
f (x) g(x)
g(x) 0 f (x) g(x)
≥
≥
< ≥
Chú ý : Có thể lũy thừa hoặc đặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các phương trình sau :
Trang 2Bài 2 : Giải các bất phương trình sau :
3
2 3
2
≤
−
+
−
x
x
1
1 2
>
+
−
x
x
;
1
1 3 2
2
<
+ +
+
−
x x
x x
; 7) x2 + x− 12 < 8 − x; 8) 5 x + 10 > 8 − x ; 9)x2 + 2 x2 − 3x+ 11 ≤ 3x+ 4, 10)
1
x 3 − ≥
1 x+ <
x 4 1
2
x 2 9 3
x
+
II Thống kê:
* Kiến Thức cơ bản:
x1 x2 x N
x
N
+ + +
1
1 N
i
i
N =
bố tần số
Khi đó:
1
m m
i i i
n x n x n x
+ + +
1
m i i
n
=
chia thành m lớp ứng với m đoạn (m khoảng)
Trung điểm của đoạn (khoảng) ứng với lớp thứ i là giá trị đại diện của lớp đó
Giá trị
Trang 3Lớp Giá trị đại diện Tần số
[a1; a2 ]
[a3; a4 ]
[a2m-1; a2m ]
x1
x2 xm
n1
n1
nm
N=
1
m i i
n
=
∑
1
1 m
i i
i
N =
2
;
2
2
2
độ phân tán các số liệu trong mẫu quanh số trung bình Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán càng lớn
* Bài tập:
Bài 1: Cho các số liệu thống kê ghi lại điểm thi của 20 học sinh như sau :
5 5 7 7 5 4 7 9 7 8
2 6 1 3 4 8 9 10 5 4
diện
Tần số
[a1; a2 ) [a2; a3 )
[am; am+1 )
x1
x2 xm
n1
n1
nm
N=
1
m i i
n
=
∑
Trang 41) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất.
2) Tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê đã cho
Bài 2: Số người xem trong 60 buổi chiếu phim của một rạp chiếu phim nhỏ
1) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp : [0 , 10) ; [10 , 20) ; [20 , 30) ; [30 , 40) ; [40 , 50) ; [50 , 60) 2) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất 3) Nêu nhận xét về số người xem trong 60 buổi chiếu phim kể trên 4) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê đã cho Bài 3: Rèn luyện cho hs sử dụng máy tính để tính phương sai và độ lệch chuẩn BT: Có 100 hs tham dự kì thi hs giỏi Toán (thang điểm 20) Kết quả được cho trong bảng sau đây + Tính số trung bình +Tính số trung vị và mốt của mẫu số liệu trên +Tính phương sai và độ lệch chuẩn Bài 4 §iÒu tra 42 häc sinh cña mét líp 10 vÒ sè giê tù häc ë nhµ, ngêi ta cã b¶ng tæng sè sau: Điểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=10 0 4 12 18 23 29 31 37 40 46 52
5 13 19 24 30 32 38 41 47 53
6 14 21 25 32 33 39 42 48 54
9 15 20 26 32 34 32 43 49 55
8 10 21 27 32 35 40 44 50 56
11 17 22 28 30 36 41 45 51 59
Trang 5Lớp ( số giờ tự học) Tần số
N=42
a Tìm số trung bình
b Tìm mốt; số trung vị thuộc đoạn nào
c Tìm phơng sai và độ lệch chuẩn và nêu ý nghĩa
III Cụng thức lượng giỏc
* Kiến Thức cơ bản
I Cỏc hệ thức cơ bản và hệ quả:
cos
a
a =
a
3/ cot g cos
sin
a
a =
2
1
1 tg
cos
+ a =
a
2
1
1 cot g
sin
+ a =
II Cụng thức cộng - trừ:
1/ sin a b( + ) = sina.cosb sinb.cosa + 2/ sin a b( - ) = sina.cosb sinb.cosa
-3/ cos a b( + ) = cosa.cosb sina.sinb - 4/ cos a b( - ) = cosa.cosb sina.sinb +
5/ tg a b( ) tga tgb
1 tga.tgb
+ + =
- 6/ tg a b( ) tga tgb
1 tga.tgb
=
+
7/ cot g a b( ) cot ga.cot gb 1
cot ga cot gb
-+ =
+ 8/ cot g a b( ) cot gacot gb 1
cot ga cot gb
+
- =
-a
{ Cosa
sin
cos
tg cotg
t
Trang 6III Công thức góc nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa = sina cosa + - 1 1 = - sina cosa
-2/ cos2a = cos a sin a 2 - 2 = 2cos a 1 1 2sin a 2 - = - 2
1 tg a
=
- 4/ cot g2a cot g a 12
2cot ga
-=
IV Công thức góc nhân ba:
1/ sin3a = 3sina 4sin a - 3 2/ cos3a = 4cos a 3cosa 3
-3/
3 3
3tga tg a tg3a
1 3tg a
-=
3 2
cot g a 3cot ga cot g3a
3cot g a 1
-=
-V Công thức hạ bậc hai:
1/
2 2
2
1 cos2a tg a sin a
2 1 tg a
2 2
2
1 cos2a cot g a cos a
2 1 cot g a
+
+
3/ tg a2 1 cos2a
1 cos2a
-= + 4/ sinacosa 1sin2a
2
=
VI Công thức hạ bậc ba:
1/ sin a3 1(3sina sin3a)
4
= - 2/ cos a3 1(3cosa cos3a)
4
VII Công thức biểu diễn sinx,cosx,tgx qua t tgx
2
= :
1 t
= + 2/ cosx 1 t22
1 t
-=
1 t
=
- 4)cot gx 1 t2
2t
-=
VIII Công thức biến đổi tích thành tổng:
1/ cosa.cosb 1 cos a b( ) cos a b( )
= êë - + + úû
2/ sina.sinb 1 cos a b( ) cos a b( )
Trang 73/ sina.cosb 1 sin a b( ) sin a b( )
= êë + + - úû
IX Công thức biến đổi tổng thành tích:
1/ cosa cosb 2cosa b.cosa b
=
-3/ sina sinb 2sina b.cosa b
5/ sin a b( )
tga tgb
cosa.cosb
+
tga tgb
cosa.cosb
7/ sin a b( )
cot ga cot gb
sina.sinb
+
cot ga cot gb
sina.sinb
9/ sin a b( )
tga cot gb
cosa.sinb
sin2a
10/ cos a b( )
cot ga tgb
sina.cosb
+
- = 11/ cot ga tga - = 2cot g2a
X Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan đặc biệt:
1/ Góc đối:
( ) ( ) ( ) ( )
sin sin cos cos
cot g cot g
ìï - a = - a ïï
ïï - a = a ïí
ï - a = - a ïï
ï - a = - a ïïî
2/ Góc bù:
sin sin
cot g cot g
ìï p - a = a ïï
ïï p - a = - a ïí
ï p - a = - a ïï
ï p - a = - a ïïî
cot g cot g
ìï p +a = - a ïï
ïï p +a = - a ïí
ï p +a = a ïï
ï p +a = a ïïî
4/ Góc phụ:
2
2
tg cot g 2
cot g t g 2
ï ç - a =÷ a
ï çç ÷
ï çè ÷ø ïï
ï æp ö
ï ç - a =÷ a
ï çç ÷÷
ïí æ ö
ï çp ÷
ï ç - a =÷ a
ï çè ÷ ø ïï
ï æp ö
ï ç - a = ÷ a
ï çç ÷÷
ïî
* Bài tập
Trang 81) )
2
( 5
3
2
3 ( 5
4
2
3 (
18
5 tanα= π<α< π
1) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC;
2
sin 2 sin
4 A B C
3) tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC;
2
tan 2
tan 2
tan 2
tan 2
tan
2
Bài 3: Chứng minh các đẳng thức :
x
x
2
2 2
sin cot
1 cos 2 sin
=
− +
x x
x
2 2
2 2
tan cot
cos
tan sin
=
−
x x x
x
tan 2 cos
sin cot
1 ) cos (sin
=
−
−
5) sin( x y + )sin( x y − ) sin = 2 x − sin2 y
cot
cos x
x cos x
cot
x
x
+ + − =
Bài 4 : Rút gọn các biểu thức :
x
x x
2 2
cot
1 cos
2
=
3)
x x
x x
cot cos
tan sin
−
−
D = cos ×cosπ + ×cosπ −
E
=
F = −x+ − +x −x+ −x
G = −x− −x+ x− − x−
Trang 97) H= sina + sin4a + sin7a
cosa + cos4a + cos7a ; 8)I =
sina + sin3a + sin5a cosa + cos3a + cos5a ; 9)
K = sin cos cos a a 2a cos 4a
sin π cos π cosπ
=
Bài 5 : Cho
5
3
1)
x x
x x
A
cos sin
cos sin
−
+
x x
x x
x x
x x
2 2
cos 2 cos sin sin
cos cos
sin 12 sin
3
− +
+ +
x x
x x
cos sin
cos sin
−
Bài 6 : Chứng minh rằng các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc vào x :
Bài 7: Biến đổi tổng thành tích:
a / 1 cos x sin x; b / 1 cos x sin x; c / sin x sin 2x sin 3x sin 4x
d / cos x cos 2x cos3x cos 4x; e / 1 sin x cos x; f / sin a sin 3a sin 5a sin 7a
Bài 8 : Tìm giá trị của bt
1)
5
2)
IV Phương trình bậc hai và phương trình trùng phương
Bài 1 : Cho phương trình : (2m – 3)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0, với m là tham số 1) Tìm m để phương trình vô nghiệm
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
3) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1 và tính nghiệm kia
4) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
5) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
Bài 2 : Cho hàm số : f(x) = (m – 4)x2 + (m + 1)x + 2m – 1, m là tham số
Trang 101) Tìm m để f(x) ≥0 với mọi x.
2) Tìm m để f(x) < 0 với mọi x
Bài 3 : Cho phương trình : x4 – 2mx2 + 3m – 2 = 0 Xác định m để :
1) Phương trình có 1 nghiệm; 2)Phương trình có 2 nghiệm; 3)Phương trình có 3 nghiệm; 4)Phương trình có 4 nghiệm
B.HÌNH HỌC :
* Kiến thức cơ bản
I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1.Định lý cosin
a2 = b2+ c2 – 2bc cosA b2 = a2 + c2 – 2ac cosB c2 = a2 + b2 – 2ac cosC
Hệ quả
2.Định lý sin
2 sin sin sin
R
3.Độ dài đường trung tuyến của tam giác
4.Các công thức tính diện tích tam giác
2
a b c
p= + +
S = ab C = bc A = ac B ;
4
abc S
R
=
S = pr S = p p a p b p c − − −
II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1.Phương trình tham số
• PTTS của đường thẳng d đi qua M0(x0,y0) và có VTVP ( , )u a br
0
x x at
y y bt
= +
= +
(a +b 2 2 ≠ 0 )
Trang 112.Phương trình tổng quát
a +b ≠ )
• Pt ax +by + c = 0 ( 2 2 0
a +b ≠ ) gọi là PTTQ của đường thẳng nhận ( , )n a br
là VTPT
3.Vị trí tương đối của hai đường thẳng
d2 : a’x + b’y + c’ = 0
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta xét số nghiệm của hệ phương trình
ax by c 0’ ’ ’
a x b y c 0
+ + =
+ + =
4.Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1 : ax +by + c = 0
d2 : a’x + b’y + c’ = 0
1 2 1 2 2 2 '2 '2
1 2
os( , ) os( , )
+
ur uur
ur uur
ur uur
5.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M0(x0,y0) đến đường thẳng ∆ có pt ax + by + c = 0 được tính
a b
+
III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
1.Phương trình đường tròn
Trang 12• Nếu a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax - 2by + c = 0 là phương trình
2.Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
(x0 - a)(x – x0) + (y0 - b)(y – y0) = 0
IV: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG E LÍP
* Bài tập
I Các bài tâp về tam giác và đường thẳng
Bài 1: Cho ∆ABC có a = 2, b = 1 và góc C = 600
Bài 2 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(0 ; 2), B(1 ; -1) và C(3 ; -1).
1) Viết phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng AB
4) Viết phương trình của đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k = -3
5) Tính góc giữa đường thẳng AB và trục Oy
6) Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho MN = 2 với N(2 ; 0)
Bài 3 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2 ; 2), B(-1 ; 6) và C(-5 ; 3).
Trang 132) Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác vuông cân.
Bài 4: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau :
1) Có đường kính AB với A(-2 ; -2) và B(1 ; 2)
2) Có tâm P(-1 ; -2) và đi qua Q(2 ; 2)
4) Đi qua 3 điểm M(5 ; 5), N(6 ; -2), P(- 2 ; 4)
Bài 5 : Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y - 17 = 0.Viết phương trình tiếp tuyến
∆ của (C) trong mỗi trường hợp sau :
1) ∆ tiếp xúc (C) tại M(2 ; 1);
2) ∆ vuông góc với đường thẳng d : 3x – 4y + 1 = 0;
3) ∆ đi qua A(1 ; 3)
Bài 6 : Lập phương trình tiếp tuyến ∆ với đường tròn (C) : x2 + y2 – 4x + 6y + 3 = 0,
Bài 7 : Trong mặt phẳng Oxy, (d1) : 3x + 4y – 6 = 0, (d2) : 4x + 3y – 1 = 0, (d3) : y =
của (d3) và (d1)
1) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A
Bài 8 : Lập phương trình chính tắc của elíp trong các trường hợp sau :
1) Có độ dài trục lớn bằng 6 và độ dài trục nhỏ bằng 4
2) Có độ dài trục nhỏ bằng 6 và tiêu cự bằng 8
4) Đi qua hai điểm M(0 ; 2) và N(3 ; 0)
13
5
Bài 9 : Xác định toạ độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tọa độ các tiêu điểm của
mỗi elip sau :
Trang 141) 1
16
25
2 2
= + y
Bài 10 : Tìm điểm M trên (E) : 1
1 9
2 2
= + y
1) Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của (H)
hai tiêu điểm
Bài 12 :(Dành cho chương trình nâng cao) Lập phương trình chính tắc của parabol
(P) biết :
1) (P) có tiêu điểm F( 1 ; 0)
2) (P) có tham số tiêu p = 5
3) (P) nhận đường thẳng d : x = - 2 làm đường chuẩn
Bài 13 :(Dành cho chương trình nâng cao) Cho hai điểm A(1 ; 1), B(4 ; -3) Tìm
điểm C trên đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng
AB bằng 6
Bài 14 :(Dành cho chương trình nâng cao) Lập phương trình các cạnh của ∆ABC nếu B(2 ; -1), đường cao và đường phân giác trong qua hai đỉnh A và C lầ lượt có phương trình : 3x – 4y + 27 = 0 và x + 2y – 5 = 0
II CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC PHẲNG (Các bài toán trong phần này đều cho trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy)
Bài 1 Cho tam giác ABC có M(-2;2) là trung điểm cạnh BC phương trình cạnh AB là
( ) 1
Bài 2 : Cho tam giác ABC có AB = AC , ∠BAC= 90 o biết M(1;-1) là trung điểm của
3
÷
Bài 3 : Cho hai đường thẳng ( )d1 : 2x y− + = 1 0 và ( )d2 :x+ 2y− = 7 0.Lập phương trình
Bài 4 : Cho A(-1;3) ,B(1;1) đường thẳng( )d :y= 2x
Trang 15a)Tìm C thuộc (d) để tam giác ABC cân
b) Tìm C thuộc (d) để tam giác ABC đều
Bài 5 Tìm điểm C trên đường tròn (Q):( ) (2 )2
và nội tiếp đường tròn (Q) biết A,B là giao điểm của (Q) với đường thẳng
( )d :x− 5y− = 2 0
Bài 6: Xét tam giác ABC vuông tại A , phương trình đường thẳng BC là
3x y− − 3 0 =
Các đỉnhA,B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2.tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác đó.(A.2004)
III Một số bài tập khác về Tứ giác
hình bình hành
Bài2 : Cho 4 điểm A(2;1) ; B(0;1) ; C(3;5) ; D(-3;-1) tính diện tích tứ giác ADBC Bài3 Lập phương trình các cạnh của hình vuông có đỉnh A(-4;5) và một đường chéo
7x y− + = 8 0
Bài4 :Cho A(0;0) , B(2;4) , C(6;0) Xác định tọa độ các điểm M,N,P,Q sao cho
M,Nlần lượt nằm trên các đoạn AB,BC, P,Q nằm trong đoạn AC và MNPQ là một hình vuông
Bài5: Viết phương trình các cạnh của một hình vuông ABCD biết AB,CD lần lượt đi
qua P(2;1)
Q(3;5) còn BC và AD lần lượt đi qua R(0;1) và S(-3;-1) (CBGLT.T3.T269)
Bài6 : Tìm tọa độ các đỉnh của một hình vuông ABCD biết tọa độ đỉnh A(1;1) và M
(4;2) là trung điểm cạnh BC
Bài7: Cho các đỉnh của tam giác A(0;1) , B(-2;5) C(4;9) Lập phương trình các cạnh
của hình thoi nội tiếp trong tam giác nếu một đỉnh của nó là điểm A , các cạnh qua A nắm trên AC , AB , đỉnh đối diện nằm trên BC
Bài8 : Trong mặt phẳng với hệ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;6) , B(8;3) , C(1;-4) ,
ABC (M có tung độ dương ) và có 2MN = NP Tìm tọa độ các điểm M,N,P,Q
IV Các bài toán về đường tròn:
Bài 1: Cho 2 đường tròn ( ) (2 )2 ( ) (2 )2
trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn
Trang 16Bài 2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(6;2) và đường tròn (C) :
Lập phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại 2 điểm A;B sao cho
Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn :
Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : và đường thẳng (D) có phương trình :
Tìm tọa độ điểm T trên (D) sao cho qua T kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại hai điểm A , B và
Bài 5 : Cho đường tròn và đường thẳng
Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn và một điểm