PHẦN 2 LƯỢNG GIÁC

Giá trị lượng giác Câu 1... Phương trình lượng giác bậc nhất Câu 1... Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm: , 2 , Đối chiếu điều kiện: các nghiệm tìm được đều thỏa điều kiện.. Vậy n

PHẦN 2 LƯỢNG GIÁC

2.1 Giá trị lượng giác

Câu 1 Biết cos 4

Lưu ý HS có thể tính sin , suy ra tan , cot  , thay vào A

Câu 2 Cho  là góc mà tan =2 Tính 3 sin 3

1 tan sin cos

sin 3cos tan 3

sin cos 1 sin 1 cos 1

5 25 3

c

Ta có os 2 1 2 sin2

c A

cos sin

cos sin

sin sin

cos cos

sin 2 2

sin sin cos

cos 2 2

cos 2 2

326sin22

6cos22

).

cot 1 (

Câu 12 Cho cota 2 Tính giá trị của biểu thức sin42 cos42

sin cos sin cos sin cos sin cos

Chia tử và mẫu cho 4

sin a, ta được 1 cot44 1 244 17

1 cot 1 2 15

a P

a

Câu 13 Cho sin  2 cos  1 Tính giá trị biểu thức 2

2 sin 2 2 cos 2 sin

Ta có: 1 cos  2 

2 cos 1 2



Câu 15 Cho góc lượng giác , biết tan  2

Tính giá trị biểu thức cos2 -32

      

A cos  sin cos         

Câu 18 Cho tan 1( (0; ))

Thay vào ta có 2 tan2 3 1 2 5 1 1 2

tan 22

Câu 20 Cho góc 3 ; 2

2 2 2 Tính sin 2

9

Câu 22 Cho là góc mà sin 1

4 Tính sin 4 2sin 2 cos

Ta có: sin 4 2sin2 cos cos2 1 2sin2 cos

2 cos 4sin cos 2 2

2 2

8 1 sin sin 8 1

16 4 128

2.2 Phương trình lượng giác bậc nhất

Câu 1 Giải phương trình: cos 2x ( 1  2 cosx)(sinx cosx)  0

0 ) cos )(sin

cos 2 1

Câu 2 Giải phương trình: sin 2x  1 6 sinx cos 2x

sin 2x 1 6sinxcos 2x

 (sin 2x6 sin ) (1 cos 2 )x   x 0

2 sinx cosx  3 2 sin x 0

2 sinxcosx  3 sinx 0

 xk Vậy nghiệm của PT là xk,kZ

Câu 3 Giải phương trình: sin 4x2cos 2x4 sin xcosx 1 cos 4x

2 cos 2 2 cos 2 2 cos

cos

Với cos 2xsinx 1  0 1  2 sin2xsinx 1  0 sinx 1  2 sin2x 1 0

Z m m x

2 1

Câu 5 Giải phương trình: : sin 2xcosxsinx1 (xR)

sin 2xcosxsinx1 (1)

(1)  (sinxcos )(1 sinx  xcos )x  0

Câu 6 Giải phương trình: s inx  cosxcos2x

Ta có: s inx  cosxcos2x 2 2

s inx cosx cos x sin x

2 os( ) 1

4

c x x

44

4 42

2 cos 3 sin cos 1 2 cos 3 0

sin cos 1 2 cos 3 0

2 sin cos 1

Câu 8 Giải phương trình: : 3 os5c x 2sin 3 os2x c x s inx  0

PT 3 os5 1sin 5 s inx sin 5 s inx

2 ,1

6sin

26

Câu 11 Giải phương trình: sin 2x c os2x2 sinx1

Với cos2x = 1 

2 1

sin cos 1 0 sin( )

Câu 12 Giải phương trình: cos 2xcosx sinx  1 0

cos 2x cosx sinx  1 0

cos 2 0

1 sin

Câu 13 Giải phương trình: 2(cosx sin 2 )x   1 4 sin (1 cos 2 )x  x

Phương trình đã cho tương đương với: 2 cosx2 sin 2x 1 4 sin 2 cosx x

PT sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3

sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3

x k2sin x cos x 1

 (1+2sinx)(sinx - cosx +1) = 0

3

22

Câu 18 Giải phương trình: sin 2x 4 8 osc xs inx

Biến đổi phương trình về dạng:

s inx 4 ( ) (s inx-4)(2 cos 1) 0 1

cos

2

vn x

Câu 19 Giải phương trình: 2 sinx  1 cosx sin 2 x

2 sinx 1 cosx 2 sin cos x x

2 6

Câu 20 Giải phương trình: cos x sin 4x cos3x 0  

cos x  sin 4x  cos3x   0 2 sin 2x.sin x  2 sin 2x.cos 2x  0

2

2 sin 2x(s inx cos2x) 0 sin 2x( 2 sin x sin x 1) 0

kπ x 2 π sin 2x 0 x k2π

Câu 21 Giải phương trình: sin 3x cos 2x  1 2 sin cos 2x x

sin 3 cos 2 1 2sin cos 2 sin 3 cos 2 1 sin sin 3

sin 0

6sin

2

526

x k x

Câu 22 Giải phương trình sau: 1 3cos xcos 2x2cos3x4sin sin 2x x

Giải phương trình: 1 3cos xcos 2x2cos3x4sin sin 2x x(1)

(1) 1 3cosxcos 2x2 cos 2 xx4 sin sin 2x x

1 3cos xcos 2x2 cos cos 2 x xsin sin 2x x4 sin sin 2x x

1 3cos xcos 2x2 cos cos 2 x xsin sin 2x x0

1 3cos xcos 2x2 cosx0 1 cos xcos 2x0

 2

2 cos xcosx0 

cos 0

1cos

2

x x

24

3 sin 2 cos 2 4 sin 1 2 3 sin cos 1 cos 2 4 sin 0

2 3 sin cos 2 sin 4 sin 0 2 sin 3 cos sin 2 0

sin 0sin 0

Câu 25 Giải phương trình: cos 2 (4sinx 1)x   3 sin 2x 1

4cos 2 sin cos 2 1 2 3 sin cos 0

1

6sin

26

cos x 0 x k

2



    

sin 2x 3 cos 2x 0 sin 2x 0

Câu 28 Giải phương trình: 2 3 sin x  cos x  sin 2x  3

2 3 sin x  cos x  sin 2x  3  2 3 sin x  cos x  2 sin x cos x  3  0

-5 5

x y

*cos x  3  0: Vô nghiệm

Câu 29 Giải phương trình: sin x 2   1 4 cosx cos x  2

PT sin x 2   1 cos x 2  4 cosx  0

2cos 3(v« nghiÖm)

Câu 31 Giải phương trình: sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2x (1)

Ta có: 1 1sin 3 3cos 3 sin 2

Câu 33 Giải phương trình: 2 cos 5 cos 3x x sinx cos 8x (1)

Ta có: 1 cos 8x cos 2x sinx cos 8x

2

2 sin x sinx 1 0 0

sin 1

1 sin

2

x

x

Câu 34 Giải phương trình: 2 sinx 2cosx 2 sin 2x (1)

Ta có: 1 2 sinx 2 2 cosx 2sin cosx x 2 0

sinx 2 cosx 2 2 2 cosx 2 0

sinx 2 2 cosx 2 0

sinx 2 0 sinx 2: phương trình vô nghiệm

Câu 35 Giải phương trình: sinx 4 cosx 2 sin 2x (1)

Ta có: 1 sinx 4 cosx 2sin cosx x 2 0

sinx 2 2 cosx 1 0

sinx 2 0 sinx 2: phương trình vô nghiệm

Câu 36 Giải phương trình: sin 3x cos 2x sinx 0 (1)

Ta có: 1 2 cos 2 sinx x cos 2x 0 0

cos 2x 2 sinx 1 0

Câu 37 Giải phương trình: 2 cos 2x sinx sin 3x (1)

Ta có: 1 2 cos 2x sinx sin 3x 0

2 cos 2x 2 cos 2 sinx x 0

72

x k

cos2x 3 s in2x+4 sin x sin 3x 1 0

1 2 s in x-2 3 sin x cos x 4 sin x sin 3x 1 0

s inx(2 s in3x-sin x- 3 cos x) 0

sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20 sin ( )

*Biến đổi phương trình đã cho tương đương với

os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0

 sin (1 2 cos )x  x  cos (1 2 cos )x  x  0.

 (sinx cos )(1 2 cos )x  x  0.

2 2

3

k x

Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm: , 2 , ( )

Đối chiếu điều kiện: các nghiệm tìm được đều thỏa điều kiện

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là , 2

2.3 Phương trình bậc hai đối với sin, cos

Câu 1 Giải phương trình: (sinx cosx) 2  1 cosx

Ta có: (s inx cosx) 2  1 cosx   1 2 sin xcosx   1 cosx

6

Câu 2 Giải phương trình: 2

2 os 2c x 3cos 3x 4 cos 2x 3cosx 0 Khi đó , phương trình tương đương với :

Phương trình đã cho tương đương với 3 3sinxcosx2sinx 3sinxcosx0

 3 2sinx 3sinx cosx 0

230

Câu 4 Giải phương trình: 2

sin 2x 2 cos x 3sinx cosx Phương trình đã cho tương đương 2

2 sin x 3sinx  2 2 sin cosx x cosx 0

2 sinx 1 sin x cosx 2 0

 sinx cosx  2 0: Phương trình vô nghiệm



2 6

7 2 6

t = 2

Vậy nghiệm của phương trình là : x = k2 (k  Z)

cos x 3 cosx3sinx3sin x0

x k2 6

Câu 7 Giải phương trình 2

2 3 cos x 6 sin cosx x  3 3

Câu 10 Giải phương trình trình sau trên tập số thực:

sin2x - 2 3cos2x = 0 với x ( ;3 )

Câu 11 Giải phương trình 2

k k

Câu 12 Giải phương trình 2

1 2sinx cosx 1 sinx cosx (1)

Ta có: 1 2 1 sinx sin 2x 1 sinx 0

2.4 Phương trình chứa mẫu

Câu 1 Giải phương trình: 1 cos (2 cos 1) 2 s inx 1

Điều kiện: cosx   1 x k2 , k

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương:

x     x  k k x  k k (thỏa điều kiện)

Câu 2 Giải phương trình:

2

3(2.cos cos 2) (3 2cos ).sin

02cos 1

Pt đã cho tương đương với pt:

Vậy pt có 2 họ nghiệm hoặc

2 sin

4 tan 2 cos 0 sin cos

sinx cosx sin 2x x cos x.cos 2x 0

Câu 4 Giải phương trình: cot tan 2cos 4

sin 2 sin 2 sin 2

3

m

x  m Z