Tọa độ không gian

• Một đường thẳng ∆ hồn tồn được xác định khi biết một điểm thuộc nĩ và một VTCP của nĩ.. Cặp VTCP của mặt phẳng: Cho mặt phẳng α xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b.. Gọi ar

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ

II Các cơng thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :

+Định lý 1: Nếu A x y z( ; ; ) và B(x ; ; )A A A B y z B B thì

uuurAB=(x B−x y A; B−y z A B; −z A)

+Định lý 2: Nếu ar=( ; ; ) và a a a1 2 3 br=( ; ; )b b b1 2 3 thì

*

1 1

2 2

3 3

a

b

=





= ⇔  =

 =



* a br r+ =(a b a1+ 1 2; +b a2; 3+b3)

* a br r− =(a b a1− 1 2; −b a2; 3−b3)

* k a.r=( ;ka ka ka1 2; 3) (k∈¡ )

III Sự cùng phương của hai véc tơ:

Cho hai véc tơ ar và với br br≠0r

ar cùng phương br ⇔ ∃ ∈ !k ¡ sao cho a k br= r

Nếu ar≠0r thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:

k > 0 khi ar cùng hướng br

k < 0 khi ar ngược hướng br

a

k b

=

r r

+ Định lý 4 : A B C, , thẳng hàng ⇔ ABuuur cùng phương ACuuur

+ Định lý 5: Cho hai véc tơ ar=( ; ; ) và a a a1 2 3 br=( ; ; )b b b1 2 3 ta cĩ :

1 1

2 2 1 2 3 1 2 3

3 3

a

kb

=





 =



IV Tích vơ hướng của hai véc tơ:

Nhắc lại:

a b a br r = r r .cos( , )a br r

ar2 = ar2

a br⊥r ⇔ a br r=0

+ Cho hai véc tơ ar=( ; ; ) và a a a1 2 2 br=( ; ; )b b b1 2 3 ta cĩ :

a b a b a br r = 1 1+ 2 2+a b3 3

Cho hai véc tơ ar=( ; ; ) a a a1 2 3 ta cĩ :

ar = a12+a22+a32

+ Nếu A x y z( ; ; ) và B(x ; ; )A A A B y z B B thì

AB= (x B−x A)2+(y B−y A)2 +(z B−z A)2

+ Cho hai véc tơ ar=( ; ; ) và a a a1 2 3 br=( ; ; )b b b1 2 3 ta cĩ :

a br⊥r ⇔ a1 1b a b+ 2 2+a b3 3 =0

+ Cho hai véc tơ ar=( ; ; ) và a a a1 2 3 br=( ; ; )b b b1 2 3 ta cĩ :

= = + +

r r

r r

cos( , )

a b

a b

V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:

Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠1 ) nếu như :

MA k MBuuur= uuur

• • •

+ Định lý 11 : Nếu A x y z( ; ; ) , B(x ; ; )A A A B y z B B và MA k MBuuur= .uuur ( k ≠1 ) thì

1 1 1

M

M

M

x

k

y

k

z

k

−

 =



−

 =



−

 =



Đặc biệt : M là trung điểm của AB ⇔

2 2 2

M

M

M

x

y

z

+

 =



 =





+

 =



Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A x y z( ; ; ) , B(x ; ; ), C(x ; ; )A A A B y z B B C y z C C

G là trọng tâm tam giác ABC ⇔

3 3 3

+ +

 =





+ +

 =





+ +

 =



G

G

G

x

y

z

VI Tích cĩ hướng của hai véc tơ:

1 Định nghĩa: Tích cĩ hướng của hai véc tơ ar=( ; ; ) và a a a1 2 3 br=( ; ; )b b b1 2 3 là một véc

tơ được

ký hiệu : a br r;  cĩ tọa độ là :

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a b

r r

Cách nhớ:

1 2 3

1 2 3

( ; ; )

( ; ; )

=

=

r

2 Tính chất:

• a br r; ⊥ar và ;a br r⊥br

2

ABC

S∆ = uuur uurAB ACs 

• SYABCD = AB AD; 

uuur uuur

ABCD A B C D

uuur uuur uuur

6

ABCD

V = uuur uuur uuurAB AC AD

• ar cùng phương br ⇔ ;a br r=0r

• a b cr r r, , đồng phẳng ⇔ , a b cr r r =0

• A, B, C, D đồng phẳng ⇔AB,AC,ADuuur uuur uuur đồng phẳng ⇔AB,AC AD 0uuur uuur uuur =

1 2 3

A

A

B

C D

A

B C

B C D

'

A B' C'

'

D

MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN

I Các định nghĩa:

1 Véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:

a

r

là VTCP của đường thẳng (∆) ⇔đn  ≠a có giá song song hoặc trùng với ( )a 0



∆



r

Chú ý:

• Một đường thẳng cĩ vơ số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau

• Một đường thẳng (∆) hồn tồn được xác định khi biết một điểm thuộc nĩ và một VTCP của nĩ

2 Cặp VTCP của mặt phẳng:

Cho mặt phẳng α xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b Gọi ar là VTCP của đường

thẳng a và br là VTVP của đường thẳng b Khi đĩ :

Cặp ( , )a buruur được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng α

Chú ý :

• Một mặt phẳng α hồn tồn được xác định khi biết một điểm thuộc nĩ và một cặp VTCP của nĩ

3 Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :

nr là VTPT của mặt phẳng α đn

⇔ n có giá vuông góc với mpn 0 α

 ≠







r

Chú ý :

• Một mặt phẳng cĩ vơ số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau

• Một mặt phẳng hồn tồn được xác định khi biết một điểm thuộc nĩ và một cặp VTPT của nĩ

4 Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nĩ: Định lý: Giả sử mặt phẳng α cĩ cặp VTCP là : 1 2 3

1 2 3

( ; ; ) ( ; ; )

 =





=



r

r thì mpα cĩ một VTPT

2 3 3 1 1 2

 

α

α

a

a (∆)

a

b a

b

n

α

] ,

[ b a

n  =  

a

b

II Phương trình của mặt phẳng :

Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng α đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0

và có một

VTPT nr=( ; ; )A B C là:

M x;y;z( ) • A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0) 0=

Định lý 2: Trong Kg(Oxyz) Phương trình dạng :

A x+B y+C z D+ =0 với A2+B2+C2 ≠0

là phương trình tổng quát của một mặt phẳng

Chú ý :

• Nếu ( ) :α A x+B y+C z+ =D 0 thì ( )α có một VTPT là nr=( ; ; )A B C

• M x y z0( ; ; ) ( ) :0 0 0 ∈ α Ax By Cz D+ + + =0 ⇔ Ax0 +By0+Cz0+ =D 0

Các trường hợp đặc biệt:

1 Phương trình các mặt phẳng tọa độ:

• (Oxy):z = 0

• (Oyz):x = 0

• (Oxz):y = 0

2 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

• Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại

( ;0;0) (0; ;0) (a,b,c 0) (0;0; )

A a

B b





là: x y z 1

a b c+ + =

III Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

1 Một số quy ước và ký hiệu:

Hai bộ n số : 1 2

1 2

( , , , ) ( , , , )

n n





 được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số t≠0 sao cho

1 1

2 2

=



 =









=



Ký hiệu: a a1: : :2 a n =b b1: : :2 b n hoặc 1 2

1 2

n n

a

α

)

;

; ( A B C

n  =

)

;

;

0 x y z M

0

M

α

x

y

z n=(A;B;C)

)

(Oxz

)

(Oxy

)

(Oyz z

y x

O

A

B

C

c O

2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α β, xác định bởi phương trình :

1 1 1 1 1 1 1 1

α β

uur uur

1 1 1 2 2 2

A

A A

( ) // ( )

A A ( ) ( )

A

Đặc biệt: α β⊥ ⇔ A1 2A +B B1 2+C C1 2 =0

b a

1

n

2

n

b a

2

n

1

n

b a

1

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I Phương trình của đường thẳng:

1.Phương trình tham số của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số của đường thẳng ( )∆ đi qua điểm

0( ; ; )0 0 0

M x y z

và nhận ar=( ; ; )a a a1 2 3 làm VTCP là :

0 1

0 2

0 3

= +





 = +



¡

2 Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình chính tắc của đường thẳng ( )∆ đi qua điểm

0( ; ; )0 0 0

M x y z

và nhận ar=( ; ; )a a a1 2 3 làm VTCP là :

0 0 0

II Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho :

đường thẳng 0 0 0

∆ = = có VTCP ar=( ; ; )a a a1 2 3 và qua

0( ; ; )0 0 0

M x y z

và mặt phẳng ( ) :α Ax By Cz D+ + + =0 có VTPT nr=( ; ; )A B C

Khi đó :

( ) // ( )

0

( ) ( )

0

α α α









Đặc biệt: ( ) ( ) ∆ ⊥ α ⇔ a : :1 a a2 3 =A B C: :

O

z

y x

) ( ∆ 0

M M(x,y,z)

a

a

n M

)

( ∆ a

a

n

a

n

a

a

n

Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của (∆) và (α) ta giải hệ phương trình : ( )

( )

pt

ptα

∆





 tìm x,y,z

Suy ra: M(x,y,z)

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

' ' ' ' ' ' ' '

r ur

 

 

 



ur uuuuuuur r

ur uuuuuuur r

0 0

' ' '

( ) và ( ) đồng phẳng , 0

( ) cắt ( )

( ) // ( ) : :

u u M M

u u M M

a b c a b c

 

 

ur uuuuuuur r

( ) ( ) : : : : ( ) : ( ) : ( )

( ) và ( ) chéo nhau , 0

u u M M

Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của ( ) và ( )∆1 ∆2 ta giải hệ phương trình : 1

2

( ) ( )

pt pt

∆



 ∆

 tìm x,y,z

Suy ra: M(x,y,z)

0

M

'

0

1

∆

2

∆

b

0

'

u

1

∆ 2

∆ '

0

M

0

0

1

u

'

u

0

M

' 0

M

1

∆

2

∆

III Góc trong không gian:

1 Góc giữa hai mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α β, xác định bởi phương trình :

1 1 1 1

A x B y C z D

A x B y C z D

α β

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( )α β ta có công thức:

2 1 22 21 2 2 1 22 2

1 1 1 2 2 2

cos

2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ( ) :∆ x x− 0 = y y− 0 = z z− 0

và mặt phẳng ( ) :α Ax By Cz D+ + + =0

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( )∆ α ta có công thức:

sin 2 2 2 2 2 2

Aa Bb Cc

3.Góc giữa hai đường thẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

1

( ) : ( ) :

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( )∆1 ∆2 ta có công thức:

' ' '

2 2 2 '2 '2 '2

cos

aa bb cc

b a

)

;

;

2 A B C

n =

)

;

;

1 A B C

n =

0

0 90

0 ≤ϕ≤

a

)

;

; (A B C

n =

) (∆

)

;

; (a b c

a =

0

0 90

0 ≤ϕ≤

)

;

; (

1 a b c

a = 1

∆ 2

∆ ( ;' ;' ')

2 a b c

a = 0

0 90

0 ≤ϕ≤

IV Khoảng cách:

1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) :α Ax By Cz D+ + + =0 và điểm

0( ; ; )0 0 0

M x y z

Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( )α được tính bởi cơng thức:

d M( 0; ) Ax0 2By0 2Cz02 D

∆ =

+ +

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (∆) đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và cĩ VTCP

ur=( ; ; )a b c Khi đĩ khoảng cách từ điểm M1 đến ( )∆ được tính bởi cơng thức:

1 0 1;

d M

u

∆ =

uuuuuur r r

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :

1 ' ' ' ' 0 '0 '0 0' '

( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

r ur

Khi đĩ khoảng cách giữa ( ) và ( )∆1 ∆2 được tính bởi cơng thức

'

0 0

1 2

, ' ( , )

; '

 

 

∆ ∆ =

 

 

uuuuuuur

r ur

r ur

u u M M d

u u

a

)

;

;

0 x y z M

H

H

u

)

;

; ( 0 0 0

0 x y z

M

1

M

) (∆

0

M

' 0

M

u

'

u

1

∆

2

∆

MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN

I Phương trình mặt cầu:

1 Phương trình chính tắc:

Định lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình của mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán

kính R là :

( ) :(S x a− )2+ − (y b)2+ − (z c)2=R2 (1)

Phương trình (1) được gọi là phương trình

chính tắc của mặt cầu

Đặc biệt: Khi I ≡O thì ( ) :C x2+y2+z2=R2

2 Phương trình tổng quát:

Định lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình :

x2+y2+z2 2− ax−2by−2cz d+ =0

với a2+b2+c2− >d 0 là phương trình của mặt cầu (S) cĩ

tâm I(a;b;c), bán kính R= a2+b2+c2−d.

II Giao của mặt cầu và mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( )α và mặt cầu (S) cĩ phương trình :

α + + + =

Ax By Cz D

Gọi d(I;α) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng α

Ta cĩ :

⇔

⇔

⇔

1 ( ) cắt mặt cầu (S) d(I; ) < R

2 ( ) tiếp xúc mặt cầu (S) d(I; ) =R

3 ( ) không cắt mặt cầu (S) d(I; ) > R

Chú ý:

Khi α cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường trịn (C) Đường trịn (C) nầy cĩ:

• Tâm là hình chiếu vuơng gĩc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng α

• Bán kính r= R2−d I2( , )α

I

H

R

M

H M

R

I

I

R

M

)

(S

)

(S

)

(S

)

(C

z

y x

O

R

)

; ( y z M

)

(S I