bài giảng tich phan mat

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶTTS.. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP... Ví dụ S trong đó S mặt phía trong của phần mặt trụ... Cho S là

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP HCM — 2011

Tích phân mặt loại I là tích phân có dạng

Z Z

S

f (x, y , z)dS ,

S là mặt cong lấy tích phân, f (x, y , z) gọi là hàm lấy tích phân

Nếu mặt cong S có phương trình z = z(x , y ), Dxy

là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy Khi đó

Z Z

S

f (x , y , z)dS =

=

Z Z

D xy

f (x , y , z(x , y ))

s

1 +  ∂z

∂x

 2

+  ∂z

∂x

 2

dxdy

Nếu mặt cong S có phương trình y = y (x, z), Dxz

là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxz Khi đó

Z Z

S

f (x , y , z)dS =

=

Z Z

D xz

f (x , y (x , z), z)

s

1 +  ∂y

∂x

 2

+  ∂y

∂z

 2

dxdz

Nếu mặt cong S có phương trình x = x (y , z), Dyz

là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oyz Khi đó

Z Z

S

f (x , y , z)dS =

=

Z Z

D yz

f (x (y , z), y , z)

s

1 +  ∂x

∂y

 2

+  ∂x

∂z

 2

dydz

Ví dụ

S

xyzdS , trong đó S là phần mặt phẳng x + y + z = 1 nằm trong góc

x > 0, y > 0, z > 0

Ví dụ

S

1

mặt xung quanh của tứ diện

x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0

Ví dụ

S

|xyz|dS , trong đó S là phần

z = 0, z = 1

Ví dụ

S

x

x 6 0, y 6 0, z 6 0

Ví dụ

S

(x + y + z)dS , trong đó S là phần mặt phẳng 2x + 2y + z = 2 trong góc

x > 0, y > 0, z > 0

Ví dụ

S

(xy + yz + zx)dS , trong đó S là

Cho những hàm P(x, y , z), Q(x , y , z), R(x, y , z) xác định trên mặt định hướng S Pháp véctơ của

mặt loại một

I =

Z Z

S

(P cos α + Q cos β + R cos γ)dS

trên mặt cong S và được ký hiệu

I =

Z Z

S

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy

I =

Z Z

S

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =

=

Z Z

S

Pdydz+

Z Z

S

Qdzdx+

Z Z

S

Tính I3

Oxy Khi đó

RR

S

Dxy

R(x, y , z(x, y ))dxdy

của tia Oz 1 góc nhọn

của tia Oz 1 góc tù

Ví dụ

S

zdxdy , trong đó S mặt phía

2

2

2

Ví dụ

S

trong đó S mặt phía ngoài của nửa mặt cầu

Ví dụ

S

trong đó S mặt phía ngoài của mặt

x > 0, y > 0, z > 0

Ví dụ

S

trong đó S mặt phía trong của phần mặt trụ

Cho S là mặt kín, lấy hướng ra phía ngoài V là vật thể được bao quanh bởi S Nếu các hàm

P(x, y , z), Q(x, y , z), R(x, y , z) và các đạo hàm

Z Z

S

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =

=

Z Z Z

V

 ∂P

∂Q

∂R

∂z

 dxdydz

Ví dụ

Dùng công thức Ostrogratxki - Gauss tính tích phân

RR

S

(y − x)dydz + (z − y )dzdx + (x − z)dxdy , trong đó S là mặt phía ngoài hình lập phương

−1 6 x 6 1, −1 6 y 6 1, −1 6 z 6 1

Ví dụ

Dùng công thức Ostrogratxki - Gauss tính tích

S

ydydz + xydzdx − zdxdy , trong đó S là mặt biên phía trong của miền cho bởi

C

P(x, y , z)dx + Q(x, y , z)dy + R(x, y , z)dz =

=

Z Z

S

 ∂R

∂z



∂x

 dzdx+

∂y

 dxdy

Ví dụ

Dùng công thức Stokes tính tích phân

R

C

3ydx + 3xdy + zdz, trong đó C là đường giao

ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương của trục Oz

THANK YOU FOR ATTENTION