Chuyên Đề tích phân

17 Chứng minh rằng a Tập hợp các đa thức có hệ số hữu tỉ là đếm được.. X gọi là một không gian Banach nếu nó là một không gian định chuẩn và mọi dãy Cauchy của nó đều tách được.. Chứng m

CHƯƠNG I Tích phân Lebesgue

1.1 Tập hợp đếm được-Tập có độ đo không

Định nghĩa Tập A gọi là đếm được nếu có một song ánh từ f : A → IN.

Mệnh đề 1.1.

a) Nếu A1, A2, , A n , là các tập đếm được thì∞

n=1A n cũng đếm được

b) Nếu A1, , A n là đếm được thì A1× × A n cũng đếm được

c) Tập hợp con của một tập hợp đếm được thì đếm được hay hữu hạn

Định nghĩa Một tập P = I1× I2 × × I k , với I j (1 ≤ j ≤ k) là các khỏang bị chặn trong IR gọi là một ô trong IR k Đại luợng

|P | = |I1|.|I2| |I k |

gọi là thể tích của ô P , với |I j | là độ dài của khỏang I j

Định nghĩa Một tập A ⊆ IR k gọi là có độ đo không, ký hiệu |A| = 0, nếu với mọi  > 0 ta luôn tìm đuợc một dãy ô (P n ) ⊆ IR k sao cho

A ⊆ ∞

n=1

P n và ∞

n=1|P n | < .

Mệnh đề 1.2 Cho A, B, (A n ) là các tập trong IR k Ta có

a) Nếu A ⊆ B và |B| = 0 thì |A| = 0.

b) Nếu |A n | = 0 với mọi n = 1, 2, thì |∞

n=1A n | = 0.

Một tính chất P (x) : x ∈ Ω ⊆ IR k gọi là đúng hầu hết khắp nơi trên Ω (ký hiệu là

hkn) nếu tồn tại A với |A| = 0 và P(x) đúng với mọi x ∈ Ω\A.

1.2 Hàm bậc thang

Định nghĩa Cho Q1, , Q m là các ô trong IR k và α1, , α m là các số thực (hayphức) Khi đó hàm số

s (x) = m

j=1

α j χ Q j ,

gọi là một hàm bậc thang

Chúng ta nhắc lại định nghĩa của hàm đặc trưng χ A của một tập hợp A là hàm số

với P i ∩ P j = ∅ nếu 1 ≤ i, j ≤ r, i = j Dạng biểu diễn này gọi là dạng chính tắc.

Dùng Mệnh đề 1.3 ta có thể chứng minh

Mệnh đề 1.4 Gọi SF (IR k ) là tập hợp các hàm bậc thang xác định trên IR k.

a) Nếu f, g ∈ SF (IR k ) thì f + g, f.g ∈ IR k

b) Cho ϕ : IR → C / thỏa ϕ(0) = 0 Nếu f ∈ SF (IR k ) thì ϕ(f) ∈ SF (IR k)

c) Với s1, , s n ∈ SF (IR k ) ta có max{s1, , s n }, min{s1 , , s n } ∈ SF (IR k)

1.3 Hàm đo được-Tập đo được

Định nghĩa Hàm f : IR k → C / gọi là hàm đo được (theo nghĩa Lebesgue) nếu có

một dãy hàm bậc thang s n ∈ SF (IR k) sao cho

s n → f, hầu khắp nơi.

Tập hợp Ω ⊆ IR k gọi là đo được nếu χΩ đo được

Kí hiệu M(IR k) là tập hợp các hàm đo được Ta có

Mệnh đề 1.5.

a) Nếu f, g ∈ M(IR k ) thì f + g, f.g ∈ M(IR k)

b) Cho ϕ : IR → C / liên tục Khi đó, nếu f ∈ M(IR k ) thì ϕ ◦ f ∈ M(IR k)

c) Cho (f n ) ⊆ M(IR k ) Khi đó lim sup f n , lim inf f n ∈ M(IR k)

d) Nếu f liên tục hầu khắp nơi trên IR k thì f ∈ M(IR k)

Mệnh đề 1.6 Cho A và (A n ) là các tập đo được trong IR k Khi đó

là đo được

Hệ quả Các tập mở và các tập đóng trong IR k là đo được

Định nghĩa Hàm u : IR k → IR gọi là thuộc lớp C1 nếu tồn tại một dãy hàm bậc

thang (s n ), s n : IR k → IR, s n u hkn và IR k s n < M

Khi đó ta nói tích phân của u trên IR k là đại lượng



IR k u= limn →∞

IR k s n .

Định nghĩa Hàm f : IR k → IR gọi là khả tích Lebesgue nếu tồn tại hai hàm u, v

thuộc lớp C1 sao cho f = u − v Ta định nghĩa



IR k f =

IR k u −

IR k v.

Hàm f : IR k → C / , f = f1 + if2 với f1, f2 : IR k → IR gọi là khả tích Lebesgue nếu

f1, f2 khả tích Lebesgue và ta định nghĩa



IR k f =

IR k f1+ i

IR k f2.

Mệnh đề 1.8 Cho f, g : IR k → C / là hai hàm khả tích Lebesgue Khi đó

f, g < ∞ hkn và f + αg (α ∈ C / ), |f| là các hàm khả tích Lebesgue và

1.5 Các định lý căn bản

Định lý 1.9 (Hội tụ đơn điệu) Cho (f n ) là một dãy các hàm khả tích trên IR k,

f n : IR k → IR Nếu (f n ) tăng hkn (nghĩa là f n (x) ≤ f n+1(x) hầu khắp nơi) và có M

Định lý 1.10 (Hội tụ bị chận) Cho dãy (f n ) các hàm khả tích f n : IR k → C / và

cho hàm g khả tích Nếu

Hệ quả Nếu f đo được trên IR k và g khả tích trên IR k sao cho |f| ≤ g thì f khả tích trên IR k.

Định lý 1.11 (Fubini) Cho f đo được trên IR k × IR l

a) Nếu f khả tích trên IR k × IR l, thì các hàm

ϕ (x) =

IR l f (x, y)dy, ψ(y) =

IR k f (x, y)dx khả tích trên IR k và trên IR l tương ứng Ngoài ra

khả tích trên IR k thì f khả tích trên IR k × IR l

Định lý 1.12 Cho T là một song ánh khả vi liên tục từ tập mở U ⊆ IR k vào tập

mở W ⊆ IR k và T −1 khả vi liên tục Nếu f khả tích Lebesgue trên V và



W

f (y)dy =

T (w) f (T (x))|Jac T (x)|dx với Jac T (x)là ma trận Jacôbi ánh xạ T

Nếu f x i liên tục thì (f ∗ g) x i liên tục

Ta xét hàm ϕ(x) ≥ 0 ∀x ∈ IR k ϕ (x) = 0 với |x| ≥ 1 và IR k ϕ (x)dx = 1 Đặt

ϕ  =  −k ϕ(x

 ) Dãy(ϕ ) gọi là dãy chỉnh hóa

Mệnh đề 1.14 Cho f khả tích trênIR k

a) Nếu ϕ khả vi liên tục tới bậc m thì ϕ  ∗ f khả vi liên tục tới bậc m.

b) Nếu có tập mở ω sao cho f(x) = 0 với x /∈ ω và nếu f có đạo hàm tới bậc m trên ω sao cho D α f (|α| ≤ m) khả tích thì

6) Chứng minh mệnh đề 1.2.

7) Dùng mệnh đề 1.3, chứng minh mệnh đề 1.4

8) Chứng minh mệnh đề 1.5, từ đó suy ra mệnh đề 1.6

9) Chứng minh hệ quả của mệnh đề 1.6

10) Chứng minh mệnh đề 1.8

11) Cho A1, A2 ⊆ IR k, chứng minh

χ A1∩A2 = χ A1.χ A2.

Nếu A1∩ A2 = ∅ chứng minh rằng

χ A1∪A2 = χ A1 + χ A2.

12) Cho hàm g : IR l → C / là một hàm đo được, chứng minh rằng hàm f : IR k ×IR l →

C / xác định bởi f(x, y) = g(y) là đo được.

13) a) Cho B có độ đo không trong IR k Chứng minh rằng có một họ các ô mở

(Q nm ) sao cho B ⊆∞

m=1Q nm với mọi n và B1 = ∞

n=1(∞

m=1Q nm) có độ đo không

b) Cho u : IR k → IR k → IR k xác định bởi u(x, y) = x − y Dùng định lý Fubini chứng tỉ rằng u −1 (B1) có độ đo không Suy ra u −1 (B) có độ đo không.

c) Suy ra rằng nếu f, g đo được trên IR k thì h(x, y) = f(x − y)g(y) đo được trên IR k

14) Cho hàm f : IR k → IR đo được.

Đặt f+= max{f, 0}, f − = − min{f, 0} Chứng tỏ rằng f++f − = |f|, f+−f − = f Ngòai ra |f| p (p ≥ 1) khả tích khi và chỉ khi |f+| p , |f − | p khả tích Kết quả này còn

đúng không nếu 0 ≤ p ≤ 1.

15) Cho f : IR k → C / khả tích và cho ϕ : IR k → C / là hàm bị chận và có đạo hàmbậc nhất bị chận Đặt

ϕ ∗ f = 

IR k ϕ (x − y)f(y)dy.

Chứng tỏ rằng ϕ ∗ f khả vi và có đạo hàm bị chận trên IR k

16) Cho f đo được và f ≥ 0 hkn, chứng minh rằng có một dãy (s n) các hàm bậc

thang sao cho s n ≥ 0 và s n → f hkn.

17) Chứng minh rằng

a) Tập hợp các đa thức có hệ số hữu tỉ là đếm được

b) Tập hợp các hàm bậc thang s = α n χ Q n với α n hữu tỉ và Q n là các ”ô hữu tỉ”

trong IR k là đếm được (”ô hữu tỉ ” Q = I1× × I k có các khỏang I k có hai đầu múthữu tỉ)

19) Cho hàm số g liên tục trên IR và |g(x)| ≤ C

x2 khi |x| > 1 Xét hàm

khả tích và |g p | ≤ G với mọi p = 1, 2,

b) Chứng tỏ rằng g, g p khả tích và g p → g hkn khi n → ∞.

c) Dùng định lý hội tụ bị chận suy ra

24) Cho A = (x n ) là một dãy trong IR k Chứng minh |A| = 0.

25) Cho C = {(x(t), y(t)) : t ∈ [a, b], x, y ∈ C1([a, b], IR)} Ta gọi C là đường cong khả vi liên tục Chứng minh rằng |C| = 0 Suy ra đường thẳng d : ax + by + c = 0 có độ đo 0 trên IR2

26) Chứng minh rằng trong IR k, tập hợp

A = {(x1, , x k ) : a1x1+ + a k x k = d},

ở đây a1, , a k là càc hằng số thỏa a2

1+ + a2

k = 0, có độ đo không.

27) Cho tập hợp Ω ⊆ IR k Chứng minh hàm χΩ liên tục tại mọi điểm không thuộc

∂ Ω Từ đó suy ra nếu P là một ô trong IR k thì χ P liên tục hkn

CHƯƠNG II

2.1 Không gian Banach

Một không gian vectơ tuyến tính X trên C / gọi là một không gian định chuẩn nếu

tồn tại ánh xạ ||.|| : X → IR thỏa

(i) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X, ||x|| = 0 ⇔ x = 0,

(ii) ||λx|| = |λ||x||, ∀λ ∈ C / , x ∈ X,

(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X.

Định nghĩa Dãy (x n ) trong X gọi là dãy Cauchy nếu với mọi  > 0, tồn tại n 

Định nghĩa Tập hợp A gọi là trù mật trong X nếu với mỗi x ∈ X, tồn tại một

dãy (x n ), x n ∈ A sao cho x n → x Nếu tập hợp A đếm được ta nói X là không gian

tách được

Định nghĩa X gọi là một không gian Banach nếu nó là một không gian định

chuẩn và mọi dãy Cauchy của nó đều tách được

Mệnh đề 2.1 Trong một không gian định chuẩn X.

a) Dãy hội tụ thì có tính chất Cauchy

b) Dãy Cauchy có dãy con hội tụ thì hội tụ

Chứng minh

Ta chứng minh kết quả b)

Giả sử (x n ) ⊆ X có dãy con (x n j ) hội tụ về x ∈ X Vì (x n ) là Cauchy, đã cho  > 0, tồn tại n  sao cho

Ta nói tập B là một cơ sở trù mật của X nếu

< B > = {λ1x1+ λ2x2+ + λ n x n : n ∈ IN, x1, , x n ∈ B, λ1 , , λ n ∈ IR}

là một tập trù mật của X.

Mệnh đề 2.2 Cho B là một cơ sở trù mật của X Không gian véctơ A ⊆ X trù

mật trong X khi và chỉ khi: với mỗi x ∈ B, tồn tại (x n ) ⊆ A sao cho x n → x (n → ∞).

Chứng minh Ta chứng minh chiều đảo

Lấy z ∈ X, vì < B > = X nên với  > 0, tồn tại z1, , z m ∈ B và 0 = λ1 , , λ m ∈ IR

Trong suốt chương này ta kí hiệu Ω là một tập đo được trong IR k Ta quy ước rằng

hai hàm đo được f, g là bằng nhau nếu f = g hkn.

Định nghĩa Cho f đo được trên Ω, nếu |f| p (1 ≤ p < ∞) khả tích trên Ω ta định

Tập hợp tất cả các hàm f thỏa |f| p khả tích trên Ω gọi là L p(Ω)

Định nghĩa Tập hợp tất cả các hàm bị chận hkn trên Ω gọi là L ∞(Ω) Trên

Định lý 2.1 ||.|| p là chuẩn trong L p (Ω), (1 ≤ p ≤ ∞) Vậy L p (Ω), (1 ≤ p ≤ ∞) là

không gian định chuẩn

Chứng minh định lý này trong trường hợp 1 ≤ p < ∞ dựa vào định lý quan trọng

Áp dụng mệnh đề 2.1 b) ta suy ra rằng ||f n − f|| p → 0.

Trường hợp p = ∞ xem nhu bài tập.

2.3 Tính trù mật trong L p (Ω), 1 ≤ p < ∞

Định lý 2.5 Với mọi f ∈ L p (Ω), 1 ≤ p < ∞ thì có một dãy (s n) các hàm bậc

thang sao cho s n → f trong L p)(Ω)

Chứng minh định lý này xem như bài tập

Định nghĩa Cho A là một tập con của IR k , ta ký hiệu C(A) là tập các hàm liên tục trên A.

Định nghĩa Cho tập mở Ω ⊆ IR k , ta kí hiệu C m(Ω) là tập hợp các hàm khả

vi liên tục đến bậc m trên Ω Ta quy ước C0(Ω) = C(Ω) (như định nghĩa trước) và

Định lý 2.6 Cho Ω mở ⊆ IR k Khi đó C ∞

c (Ω) trù mật trong L p (Ω), 1 ≤ p < ∞.

Chứng minh định lý này xem như bài tập

2.4 Tích chập trong IR k

Định nghĩa Cho α ∈ IR k , hàm g đo được trên IR k Ta định nghĩa

g α (x) = g(x − α).

Hiển nhiên nếu g ∈ L p (IR k ) thì g α ∈ L p (IR k)

Định nghĩa Cho hàm f ∈ L1(IR k ), 1 ≤ p ≤ ∞ Đặt

f ∗ g(x) =

IR k f (x − y)g(y)dy.

Ta nói f ∗ g là tích chập của hai hàm f và g Nhận xét rằng f ∗ g = g ∗ f.

Định lý 2.7 Xét 1 ≤ p < ∞, g ∈ L p (IR k ), f ∈ L1(IR k)

i) g α → g trong L p (IR k ) khi α → 0 trong IR k

Ta chứng minh iii), các phần i) và ii) xem như bài tập

Dùng phép đổi biến thích hợp, ta có

Từ kết quả này ta suy ra được C(Ω) là trù mật trong L p(Ω).

2.5 Một số bất đẳng thức hàm

Từ bất đẳng thức Holder chúng ta có thể suy ra một số bất đẳng thức sau thườngđược sử dụng trong giải tích

Định lý 2.8 (Bất đẳng thức nội suy) Cho 1 < p0 ≤ p1 < ∞ Nếu φ là một hàm

trong L p0(Ω) L p1(Ω) thì φ ∈ L r (Ω) với mọi p0 ≤ r ≤ p1 Hơn nữa

Lưu ý rằng định lý trên cũng đúng cho trường hợp p1 = ∞ Khi đó với mọi

p0 < r < ∞ ta có bất đẳng thức

||φ|| r

r ≤ ||φ|| r −p0

∞ ||φ|| p0

p0.

Định lý 2.9 Cho p ≥ 1.

a) Nếu 1 ≤ p < k và 1

p ∗ = 1

p − 1

k thì tồn tại hằng số C = C(p, k) sao cho

||u|| p ∗ ≤ C||∇u|| p ∀u ∈ C ∞

c) Nếu p > k thì tồn tại C = C(p, k) sao cho

|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y| θ ||∇u|| p ∀u ∈ C ∞

(xem bài tập 14)

a) Chọn t sao cho tk

k −1 = q(t − 1) ta có a) Chi tiết dành cho độc giả.

b) Với p = k ta có

||u|| k tk/ (k−1) ≤ t||u|| t −1

c) Chứng minh cho trường hợp tổng quát.

d) Cho f n → f trong L p (Ω), g n → g trong L q (Ω) thì f n g n → fg trong L1(Ω).2) Dùng đẳng thức

(a + b) p = a(a + b) p −1 + b(a + b) p −1

và bất đẳng thức Holder để chứng minh bất đẳng thức Minkowski sau

||f + g|| p ≤ ||f|| p + ||g|| p

3) Chứng minh ||.|| ∞ là một chuẩn và L ∞(Ω) là một không gian Banach với Ω đo

được ⊆ IR k

4) Chứng tỏ rằng nếu Ω đo được, bị chận thì

||f||1 ≤ |Ω| 1/q ||f|| p , f ∈ L p (Ω).

suy ra L r (Ω) ⊆ L s (Ω) nếu Ω bị chận và 1 ≤ s ≤ r ≤ ∞ Nếu Ω không bị chận thì bao

hàm thức trên còn đúng không?

7) Chứng minh tập hợp các hàm bậc thang trù mật trong L p (Ω), 1 ≤ p < ∞, theo

các bước sau

a) Xét trường hợp hàm f ≥ 0 Theo giả thiết có hai hàm u, v thuộc lớp C1 sao

cho χΩ p = u − v Khi đó có hai dãy hàm (s n ), (t n) là các hàm bậc thang sao cho

s n u, t n v Đặt φ n = max{s n − t n , 0} 1/p Dùng định lý hội tụ bị chận chứng tỏ

Hướng dẫn:trước hết chứng minh với φ là hàm đặc trưng của một khoảng.

9) Đặt f α (x) = f(x − α), x, α ∈ IR k Chứng minh rằng nếu f ∈ L p (IR k ) (1 ≤ p < ∞)

thì

||f α − f|| p → 0 khi α → 0.

Hướng dẫn: Trước hết xét trường hợp f là hàm đặc trưng của một ô (sử dụng định

lý hội tụ bị chận)

10) Chứng minh tập hợp các hàm bậc thang có giá chứa trong Ω là trù mật trong

L p (Ω), (Ω là tập mở ⊆ IR k)

11) Lấy một hàm ϕ : IR k → IR, ϕ ≥ 0, ϕ ∈ C ∞

c (IR k ) và suppg ⊆ {x : |x| < 1} Đặt

c)Dùng hai câu a) và b) để chứng minh rằng tập C ∞

c (Ω) trù mật trong L p(Ω)

d) Chứng minh rằng có thể chọn ϕ(x) = e − 1−|x|21 nếu |x| < 1 và ϕ(x) = 0 nếu

|x| ≥ 1.

12) Cho f ∈ L1(IR k ), g ∈ L p (IR k ), 1 ≤ p ≤ ∞ Chứng tỏ

||f ∗ g|| p ≤ ||f||1||g|| p

Suy ra nếu f n → f trong L1(IR k ), g n → g trong L p (IR k ) thì f n ∗g n → f ∗g trong L p (IR k)

13) Xây dựng một dãy hàm ϕ n ∈ C ∞

c (IR) sao cho

và 0 ≤ ϕ n (x) ≤ 1 với mọi x ∈ IR Chứng tỏ rằng

φ n → χ (a,b) trong L p (IR), p ≥ 1.

14 a) Đặt ˆx1 = (x2, , x k ), ˆx k = (x1, , x k −1 ) và ˆx i = (x1, , x i −1 , x i+1, , x k) Cho

c) Đặt v = u|u| t −1 với t ≥ 1, u ∈ C ∞

c (IR k ) Chứng tỏ (với p, q > 1, 1

p + 1

q = 1)

||u|| t tk/ (k−1) ≤ t||u|| t −1

15) Chứng minh chi tiết định lý 2.7 và định lý 2.8

16) Cho X là không gian Banach Cho A là một không gian vectơ con trù mật trong

X Giả sử T : A → C / là một ánh xạ tuyến tính, nghĩa là T thỏa

T (x + λy) = T (x) + λT (y), ∀x, y ∈ A, λ ∈ C / ,

và giả sử tồn tại M > 0 sao cho

|T x| ≤ M||x|| ∀x ∈ A.

Chứng minh rằng tồn tại ánh xạ tuyến tính duy nhất T : X → C / sao choT| A = T và

| T x | ≤ M||x|| ∀x ∈ X.

17) Hàm f gọi là thuộc lớp L p

loc (Ω) nếu ta có f ∈ L p (ω) với mọi tập ω thỏa ω ⊆ Ω và ω bị chận Chứng minh rằng nếu f ∈ L1

loc(Ω) và



Ωf ϕ = 0, ∀ϕ ∈ C ∞

c (Ω), thì f = 0 hkn.

18) Cho p ≥ 1 Chứng minh rằng L p

CHƯƠNG III

3.1 Không gian Hilbert

Định nghĩa Trên một không gian véctơ tuyến tính H, nếu ta có ánh xạ (x, y) →<

x, y > với mọi x, y ∈ H thỏa

a) < x, x >≥ 0 và < x, x >= 0 nếu và chỉ nếu x = 0,

(i) | < x, y > | ≤ ||x||.||y|| với mọi x, y ∈ H.

(ii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ H.

Do đó ||.|| là một chuẩn trong H.

Định nghĩa Không gian H xác định như trên gọi là không gian Hilbert nếu mọi

dãy Cauchy đều hội tụ

Định nghĩa Cho M ⊆ H, ta ký hiệu

M ⊥ = {x ∈ H : < x, y >= 0 với mọi y ∈ M}.

Hai phần tử x, y ∈ H gọi là trực giao với nhau nếu < x, y >= 0.

Định lý 3.2 Cho M là không gian véctơ con đóng của không gian Hilbert H.

Với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất x ∈ M, x” ∈ M ⊥ sao cho x = x + x” Lúc đó

c n= < x, e n >

||e n ||2 , x m ” ∈ V ⊥

m

3.2 Khai triển Fourier trên L2(−π, π)

Trên L2(−π, π) xét họ hàm {1, cos nx, sin nx}, n = 1, 2, Ta có thể kiểm tra trực

tiếp họ trên là trực giao Đặt

Từ đây ta có định lý sau

Định lý 3.5 Cho t0 ∈ [−π, π] Cho hàm f ∈ L1(−π, π) thỏa

a) f+(t0) = limt →t+

0 f (t) và f − (t0) = limt →t −

0 f (t) tồn tại b) Tồn tại δ, M > 0 sao cho

sin (u/2) nếu − π < u < 0.

Theo điều kiện của f ta có g ∈ L1(−π, π) Vậy theo bổ đề Riemann-Lebesgue ta có

lim

n →∞ |S n (f)(t0) − f+(t0) + f2 − (t0)| = 0.

Bây giờ ta chứng minh ||S n (f) − f|| L2 → 0 khi n → ∞ với mọi f ∈ L2(−π, π) Trước hết, nếu f ∈ C ∞

lim

n→∞ ||S n (f) − f|| L2 = 0.

Bây giờ ta chứng minh rằng {1, cos nx, sin nx} đầy đủ trong L2(−π, π) Cho f ∈

L2(−π, π) Khi đó với mọi  > 0 tồn tại φ ∈ C ∞

3.3 Khai triển sin Fourier và khai triển cos Fourier trên L2(0, π)

Cho hàm f ∈ L2(0, π) Đặt

và ta có khai triển

Khai triển này gọi là khai triển cos Fourier

3.4 Khai triển Fourier trên (−l, l) và (0, l)

Xem L2(−l, l) như là không gian Hilbert phức với hàm trong L(− l, l) được mở rộng

tuần hoàn với chu kỳ 2π Vì họ {1, cos nx, sinnx} là trực giao đầy đủ trong L2(−π, π)

ta có thể chứng tỏ được họ (e iπnx

l ) là họ cơ sở trực giao trong L2(−l, l) Vậy áp dụng

3.6 Khai triển Fourier trên L2(−1, 1)

Trong trường hợp này người ta dùng một hệ đa thức đặc biệt gọi là đa thức Legendre

Các tính toán này xem như bài tập Để chứng minh (P n) là cơ sở trực giao ta cần

chứng tỏ tập hợp các đa thức là trù mật trong L2(−1, 1).

Định lý 3.8 (Weierstrass) Với mọi hàm f liên tục trên [a, b] đều có một dãy các

đa thức (Q n ) sao cho (Q n ) hội tụ đều đến f trong C[a, b].

Có rất nhiều phương pháp chứng minh định lý này Trong bài tập ta sẽ cung cấpmột phương pháp để chứng minh

3.7 Khai triển Fourier trên L2(IR)

Ta dùng một hệ đa thức đặc biệt gọi là đa thức Hermite

Mệnh đề 3.10 Ta có < e −x2

2 H n (x), e −x22 H m (x) >= 0 nếu n = m và ||e −x22 H n (x)||2

3) Chứng minh bổ đề Abel: Chuỗi ∞

k=0α k A k hội tụ nếu thỏa hai điều sau

a) α k ≥ α k+1 và limk →∞ α k = 0,

b) |n

k=0A k | ≤ M với M là một hằng số.

Áp dụng vào chuỗi lượng giác

Hãy chứng tỏ (với x = 2kπ)

a) nếu (a n) giảm và limn→∞ a n = 0 thì chuỗi côsin hội tụ

b) nếu dãy (b n) giảm và limn →∞ b n = 0 thì chuỗi sin hội tụ

4) Chứng minh rằng nếu [a, b] không chứa 2kπ và nếu dãy (a n) giảm với limn ∞ a n = 0thì chuỗi

hội tụ đều trên [a, b].

5) Tìm các giá trị của x để các chuỗi sau hội tụ

6) Tìm khai triển Fourier của a)

7) Tìm chuỗi sin và chuỗi cosin của các hàm sau (0 < x < π)

a) f(x) = π − x Lưu ý trường hợp x = 0 trong chuỗi cosin.

2 4 + 1

3 4 +

8) Tìm chuỗi Fourier của

a) f(x) = cos ax, −π < xπ, a /∈ ZZ Suy ra

b) f(x) = sin ax, −π < xπ, a /∈ ZZ Suy ra

11) Cho g giải tích trên C / ngọai trừ tại một số hữu hạn điểm cực và g không có kì

dị thực Giả sử có số m > 0, k > 0, R > 0 sao cho

Áp dụng công thức trên chứng tỏ (0 < t < 2π)

nghiệm nguyên Chứng minh rằng

Áp dụng các công thức trên, hãy chứng tỏ

15) Cho f lieân tuïc treân (−π, π).