giải tích chuyên đề tích phân và ứng dụng

Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 và 4 phần... Hình dưới là các trường hợp chia thành 8 và 12 phần.. n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác... Chia S thành 4 miền, và chọn

Nội dung -

2 – Tích phân xác định

3 – Tích phân suy rộng

4 – Ứng dụng của tích phân

I Tích phân xác định Bài toán

Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong: , trục hoành, hai đường thẳng x = a và x = b y  f x( )

Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con: S1, S2, …, Sn

Xấp xỉ mỗi miền con S1, S2, …, Sn bằng các hình chữ nhật

Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 và 4 phần

Hình dưới là các trường hợp chia thành 8 và 12 phần

n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác

Trên mỗi miền S1, S2, …, Sn lấy tùy ý một điểm

i i x

Ví dụ

Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong: , trục hoành, hai đường thẳng x = 0 và x = 1 2

Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên trái

Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên phải

8 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)

10 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)

30 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)

50 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)

Bảng thống kê một vài giá trị của Ln và Rn

( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dx  F x  F b  F a



Công thức Newton - Leibnitz

Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x)

'

x a

Công thức Đạo hàm theo cận trên

Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x)

' ( )

'

x a

Hai phương pháp tính tích phân xác định

'

( ) ( ( )) ( )

t b

Hai phương pháp tính tích phân xác định

Ví dụ Tích phân nào lớn hơn

Ví dụ Tính giới hạn của dãy 5 5 5

6

1 2

n

n S

n

n

k

k f

0

1lim

n n

x S

Chia [0,1] ra thành n phần bằng nhau, có độ dài 1/n

Trên mỗi đoạn con chọn điểm k 1, k

1

1lim

n

n

k

k f

dx x





Ví dụ Tính

2

0 0

coslim

x x

0

' 0

coslim

x x

Ví dụ Tính

sin

0 tan 0

0

tanlim

sin

x

x x

tdt I

sin

x

tdt I

tan(sin ) coslim

'

(arctan )lim

1

x x

t dt I

I Tính các tích phân sau

3 7



4

2 7

2)

9

dx x





ln 3 0

3)

1

x

dx e





1

cos(ln )4)

x



1 1

3 2ln

4  7

2 1 ln

cos 27)

cos8)

cos9)

7 cos 2

x

dx x







6 / 2

0

sin10)

-1 18





10 ln

9

2 12



4



/ 4

6 0

/ 4

3 0

ln(1 )17)

(1 )

x dx x



0

25)

d

t dt dx

