CHUYÊN đề TÍCH PHÂN tự SOẠN

tích phân hàm số hữu tỷ, một số dạng khó đối với hàm phân thức với những cách giải đặc biệt và mới lạ,dù bạn có tìm kiếm trên mạng internet cũng rất khó và thường chỉ nêu ví dụ không đầy đủ, khó để người đọc tự đưa ra cách giải cho các bài tập tương tự, nhưng với chuyên đề này người tham khảo có thể nhìn ra những phương pháp mới hữu dụng hơn, những phương pháp cho học sinh giỏi giải tự luận hay học sinh khá có thể dùng để giải trắc nghiệm (ps: pp này được tìm kiếm rất kĩ và chọn lọc ở sách của một thầy giáo đã viết rất lâu rồi)

CHUYÊN ĐỀ:

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ

Chủ đề 1: Tích phân các hàm số có mẫu số là tam thức bậc hai

A Công thức sử dụng và kỹ năng biến đổi

1 2 2

1 arctan

C

+

∫ 4 du 2 u C

∫

2 2 2

1 ln 2

C

−

∫ 5 2du 2 arcsinu C

a

−

3 2 2

1 ln 2

C

+

∫ 6 du2 lnu u2 p C

±

∫

Kỹ năng biến đổi tam thức bậc hai:

1

2 2 2

2

4 ax

ax + + = ±bx c mx n+ ± p

B Các dạng tích phân

Dạng 1: 1 2

dx I

=

+ +

∫

1 Phương pháp: 2 ( )2 2

1 arctan

C

+

2 ( )2 2

1 ln 2

C

+ −

2 Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm 2 2 3 4

dx I

=

− +

∫

Giải:

2

2

3

I

x

3 4

x

x

 − 

Ví dụ 2: Tính tích phân:

1 2 2

dx I

=

− −

∫

Giải:

( ) ( )

2 2

I

 Chú ý: 1 2

dx I

=

+ +

∫ ∆ = −b2 4ac

* Nếu ∆>0 thì:

( ) ( ) ( ) ( ( 2) ( ) ( 1) )

2

( 1 2) 1 2

.

Do đó:

( )

1

−

* Nếu ∆=0 thì:

2

dx I

π

=

− −

∫

Do đó:

( )

0 0

dx

−

−

∫

* Nếu ∆<0 thì thực hiện phép đổi biến số dạng 2.

Ví dụ 3: Tính tích phân:

1 2

dx I

x

= +

∫

Giải:

Đặt x= 3 tan t 0,

4

∈  

2

3

cos

t

Đổi cận:

• x = 0 thì t = 0

• x = 1 thì t =

6 π

Khi đó :

2

0

1 tan

.

t

t

π

+

Ví dụ 4 : Tính tích phân

1 2

dx I

=

− −

∫

Giải :

Biến đổi :

( ) ( )

2

Khi đó :

( )

1

0 0

∫

Dạng 2 : Dạng tổng quát ( )

f x dx I

=

+ +

∫

1 Phương pháp : Ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1 : Thực hiện phép chia đa thức cho ax 2 + +bx c ta được : ( ) ( )

g x

+

Bước 2 : khi đó :

2 ( ) 2

mx n

+

+ +

Bước 3 : Tính 2

mx n

dx

+ + +

∫

Cách 1 : ( )

2

+ + − ÷

2

.

ax b dx

n

2

∫

dx I

Cách 2 : Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm)

 Nếu mẫu có nghiệm kép x x= 0 tức là 2 ( )2

0

ax + + =bx c a x x− thì ta giả sử :

2 ( )2

x

Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm A, B

0 ln

∫

thì ta giả sử :

2

x

Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm A, B

Với A, B vừa tìm ta có 2mx n dx Aln x x1 Bln x x2 C

+ +

∫

2 Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Tính tích phân 1 ( )

2 0

x

dx

+ + +

∫

Giải :

Biến đổi :

2 ( ) ( ) ( ( ) ) ( )

Đồng nhất hệ số, ta được :

Khi đó :

2

x

Do đó :

0 0

∫

 Nhận xét : Như vậy, ví dụ trên đã minh họa dạng tích phân ở trường hợp ∆>0 Ví dụ tiếp theo vẫn cho trong trường hợp ∆>0 nhưng được mở rộng hơn bằng việc thay tử số bằng một đa thức bậc cao

2

I

=

− +

∫

Giải :

Biến đổi :

2

x

Ta được hằng đẳng thức :

4x− = 1 A x( − + 2) B x( − 3) (1)

Để xác định A, B trong (1) ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1 : (Phương pháp đồng nhất hệ số) : Khai triển vế phải của (1) và

sắp xếp đa thức theo thứ tự bậc lùi dần, ta có :

4x− = 1 (A B x+ ) − 2A− 3B

Đồng nhất hệ số, ta được :

{ 4

A B

+ =

7

A

B=

=−

Cách 2 : (Phương pháp trị số riêng) : Lần lượt thay x= 2,x= 3 vào hai vế

của (1) ta được hệ :

{ 11

7

A B

=

=−

Từ đó, suy ra :

2 3 102 2 16 1 2 11 7

x

Do đó :

∫

Ví dụ 3 (trường hợp ∆=0)

Tính tích phân : I =

2 0

3

x dx

∫

Giải :

( )

2

2 2

0

x

x

+

Ví dụ 4 :Tính tích phân :

1 3 2 2 0

=

+ +

∫

Giải :

Biến đổi :

Khi đó :

1 1

2

x

+

+ +

∫

Chủ đề 2 : Tính tích phân 3 ( ) (m )n

dx I

=

Dạng tổng quát: ( )

( ) ( )

f x dx I

=

Các công thức sử dụng: Áp dụng các công thức như ở chủ đề 1.

1.Phương pháp chung

Ở dạng toán này, phương pháp chung thông thường là sử dụng phương pháp tách

Ta có:

( ) ( ) ( ) 1 ( 2 )2 ( m) 1 ( 2 )2 ( n )

Sau khi tách, ta có thể sử dụng các phương pháp như đồng nhất thức, trị

số riêng, hệ số bất định,…để giải quyết phần còn lại của bài toán

Tuy nhiên cách tách này chỉ đơn giản với m, n như 0, 1, 2 Nếu m, n lớn thì sử dụng phương pháp này sẽ rất khó tính được tích phân

Thật vậy, ta sẽ chia thành nhiều dạng nhỏ khác nhau như sau:

Dạng 1: m=n (với m, n nhỏ)

Tính tích phân ( ) (2 )2

dx I

=

Phương pháp chung

Sử dụng đồng nhất thức:

( ) ( ) 2

1

a b

+ − +

=

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )

( ) (2 ) (2 ) ( ) ( )2

x a x b

( ) (2 )2 ( ( ) ( ) ( ) ( ) )2

( ) (2 )2 ( )2

.

a b x b x a

Ta được:

I

a b

−

( )2 ( ) ( )

a b

Ví dụ 1: Tính tích phân: ( ) (2 )2

dx I

=

∫

Giải:

Sử dụng đồng nhất thức:

( ) ( ) 2

1 2

x+ − +x

=

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )

( ) (2 ) ( ) ( )2

 

( )2 ( ( ) ( ) ( ) ( ) )2

( )2 ( )2

Ta được:

1

I

14 ln 31 ( 23) ( 4 1)

C

Dạng 2: Xét m, n bất kì

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm: I x3 x42 43x 1dx

=

+

∫

Giải:

Ta có:

( ) ( ) ( )

( )

x x

=

+

Đồng nhất đẳng thức, ta được:

 + = −  = −

 + = −  =

Khi đó:

3 42 43 1 13 32 2 1

1

− − − = − − + −

Do đó:

+

∫

 Nhận xét: Ở ví dụ trên, ta xét trường hợp m n≠ , m n, nhỏ, sau đây ta

xét đến phương pháp với m, n lớn hơn.

Một số phương pháp khác để tính tích phân các hàm phân thức hữu tỷ:

Phương pháp 1: phương pháp Ôxtrôgratxki

• Giới thiệu chung về phương pháp Ôxtrôgratxki

( ) ; ( ) ( ),

P x

Q x

=∫ là các đa thức với hệ số thực và bậc của P nhỏ hơn bậc của Q

Nếu Q(x) có nghiệm thực, hay Q x( ) = A x B x( ) ( ) ( k, 2 ≤ ∈k Z) thì có thể biểu diễn tích phân I dưới dạng sau đây:

(*)

Trong đó Q x1( ) =ƯCLN {Q x Q x( ) ( ); ' } và Q x2( ) =Q x Q x( ): 1( ) ; G(x),

R(x) là các đa thức có hệ số chưa xác định với bậc của G bằng bậc của

1 1

Q − ; bậc của R bằng bậc của Q2− 1 Các hệ số của R(x) và G(x) được

xác định bằng cách lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức (*) rồi đồng nhất các hệ số của hai vế nhận được

Ví dụ 3: Tính nguyên hàm 3 ( ) (2 )3

xdx I

=

∫

Giải:

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

+ +

Đạo hàm hai vế ta nhận được:

( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 )

+ − ( 2A B+ − 3C− 2 )D x+ (C B D E− − + )

( ) ( ) 1( ) ( ) 2( ) ( )

0 1/ 8



2

I

+ +

2

2

ln

C

Phương pháp 2: Sử dụng khai triển Taylor

• Đa thức P x n( ) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x=a là:

Khai triển Taylor của P x3 ( ) tại điểm x = 1 là:

(3)

Ví dụ 4: Tính nguyên hàm ( )

3

1 2

x

+ +

=

−

∫

Giải:

P x = + +x x

x

⇒ =

−

∫

( ) 2

n

n

n n

n

C

−

∫