Chuyên Đề Tích Phân LTĐH

Tóm tắt các phương pháp tính tích phân. Giải các dạng bài tập từ cơ bản đến năng cao

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa

2 Định lý: Nếu ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ( ; ) a b thì:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số ( )G x =F x( )+ cũng là một nguyên hàm của hàm số C

2

a b= a b− + a b+

14) sin sin [cos( ) cos( )]

2

a b= a b− − a b+

15) sin cosa b= [sin(a b− ) sin(+ a b+ )]

∫

16) cos(ax b dx) sin(ax b) C

1 Tính nguyên hàm bằng phương pháp phân tích:

Để tìm nguyên hàm ∫f x dx( ) hoặc tính tích phân b ( )

Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dt u x dx= '( )

Bước 3: Biểu thị ( ) f x dx theo t và dt giả sử ( ) f x dx g t dt= ( )

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa

Một số cách đổi biến số thường gặp:

• Biểu thức có chứa lũy thừa u x n( ) ta đặt t u x= ( )

• Biểu thức có chứa căn n u x( ) ta đặt t=n u x( )

• Biểu thức có chứa ẩn ở mẫu ta đặt t = mẫu

3 Tính nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần:

Nếu ( )u x và ( ) v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

Tích phân sau ∫u x v x dx'( ) ( ) phải đơn giản hơn tích phân cần tính ∫u x v x dx( ) '( )

Nhận xét: Trong dạng bài tập tích phân từng phần có chứa ln( ( ))u x thường xuất hiện phân số

nên ta cần chọn v=∫dv F x= ( )+C với C là hằng số thích hợp ta có thể đơn giản được phân

số để cho bước tích phân tiếp theo đơn giản hơn

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa Nhận xét: đối với nguyên hàm cần tìm có dạng

2

dxI

=

+

∫ ta đặt 2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN:

1 Tính nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp phân tích:

= ∫ −

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa

2 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến:

a) Phương pháp đổi biến số: t u x= ( )

Quy trình giải: b ( ) b ( ( )) '( )

a f x dx= a g u x u x dx

Bước 1: Đặt t u x= ( ), với ( )u x có đạo hàm liên tục trên [ ; ] a b

Bước 2: Biểu thị ( ) f x dx theo t và dt; giả sử ( ) f x dx g t dt= ( )

Bước 3: Đổi cận: α =u a( ),β =u b( )

Bước 4: Tính: I g t dt( )

β α

Bước 2: Đổi cận: ta cần tìm α và β sao cho a u= ( ),α b u= ( )β

Bước 3: Biểu thị ( ) f x dx theo t và dt; giả sử ( ) f x dx g t dt= ( )

Bước 4: Tính: I g t dt( )

β α

=∫

Một số cách đổi biến số

• Đối với nguyên hàm có dạng ∫ f x g x dx n( ) ( ) ta thử đặt t= f x( ) Khi đó ( ).g x dx có thể

phân tích thành '( ).k f x dx , với k ∈ ℝ hoặc k f m( ) '( ).x f x dx

• Đối với nguyên hàm có dạng ∫n f x g x dx( ) ( ) ta thường đặt t= n f x( )⇒t n = f x( ) Khi đó ( )

g x dx có thể phân tích thành '( ) k f x dx , với k ∈ ℝ hoặc k f m( ) '( ).x f x dx

• Đối với nguyên hàm có chứa ẩn ở mẫu thì ta thử đặt ẩn mới là biểu thức dưới mẫu

• Tìm nguyên hàm dạng: 1 dx

f (x)± g(x)

∫ trong đó f (x) g(x) k− = ∈ ℝ Ta nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp để đưa về dạng:

Dạng 2: I 2P(x) dx

ax bx c

=

∫ với a 0≠ , P(x) là một đa thức của x

Trường hợp 1: Tam thức bậc hai f (x) ax= 2 +bx c+ có hai nghiệm x , x Khi đó ta có: 1 22

+ + với Q(x) là một đa thức

• Đặc biệt đối với nguyên hàm dạng: 1 dx

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa Trường hợp 2: Tam thức bậc hai f (x) ax= 2+bx c+ có nghiệm kép x 0

Tính tích phân hàm số lượng giác

Dạng 1: I=∫sin nx.cos mxdx;I=∫sin nx.sin mxdx;I=∫cos nx.cos mxdx

Phương pháp:

• Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

1cos x.cos y [cos(x y) cos(x y)]

Dạng 2: I=∫sin x.cos xdxn m với m, n là các số tự nhiên

Trường hợp 1: có ít nhất 1 số là số lẻ (giả sử n là số lẻ; khi đó: n 2k 1, k= + ∈ ℕ )

• Ta phân tích: I=∫sin x.cos xdxn m =∫sin2k 1 + x.cos xdxm =∫sin x.cos x.sin xdx2k m

• Thay sin x 1 cos x2 = − 2 hoặc cos x 1 sin x2 = − 2

• Đặt t cos x= hoặc t sin x=

Ta dử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản

• Nếu ( sin ,cos )R − x x = −R(sin ,cos )x x thì đặt t =cosx

• Nếu (sin , cos )R x − x = −R(sin ,cos )x x thì đặt t =sinx

• Nếu ( sin , cos )R − x − x = −R(sin ,cos )x x thì đặt t=tanx hoặc t =cotx

sin cos

dx I

=∫

Một số dấu hiệu đổi biến số thường gặp:

• Biểu thức có chứa ẩn ở mẫu ta đặt t = mẫu

3 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:

Nếu ( )u x và ( ) v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ] a b thì:

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa

• Khi sử dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần hay tích phân từng phần việc lựa

chọn u và dv phải thỏa mãn hai điều kiện sau:

du x dx x

Nhận xét: Trong dạng bài tập tích phân từng phần có chứa ln( ( ))u x thường xuất hiện phân số nên

ta cần chọn v=∫dv F x= ( )+C với C là hằng số thích hợp ta có thể đơn giản được phân số để cho bước tích phân tiếp theo đơn giản hơn

Ví dụ: Tính

3 2 2

∫

( )

1 0 0

dx13) I

x

= +

∫

63

3 0

18)

dx I

0

sin(x )dx

4 20) I

sin 2x 2(1 sin x cos x)

=

∫Đặt t= 2x+ + ⇒ − 1 2 (t 2)dt dx=

1 1

2

e t x

e t x

dx e

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa

2 2

1 1

18)

dx I

−

= +

=

2 3

1 6

dx I

06) I x.sin 2xdx

1 sin 2)

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa

1

3 0

4) I =∫(2x 1) ln(x − + 1)dx

Nhận xét: Trong dạng bài tập tích phân từng phần có chứa ln( ( ))u x thường xuất hiện phân số

nên ta cần chọn v=∫dv F x= ( )+C với C là hằng số thích hợp ta có thể đơn giản được phân

số để cho bước tích phân tiếp theo đơn giản hơn

4

2 0

• Để giảm bậc của mẫu thì 1 2

( sinx x+ cos )x phải nằm trong thành phần dv; để tìm được theo biến xsinx+ cosx ta cần có d x( sinx+ cos )x = −xcosxdx

( sin cos ) ( sin cos )

v

=

+

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa

0 0

x= ⇒ =t x= ⇒ = t π

0 0

5cos 4sin(sin cos )

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa

Nếu f(x) liên tục và f a b x( + − )= f x( ) hoặc f a b x( + − )= −f x( ) thì đặt: t a b x = + −

Đặc biệt, nếu a b + = π thì đặt t = π − ; nếu x a b + = π thì đặt 2 t = π − 2 x

Đặt t = π − ⇒x dt = − dx

0

Ứng Dụng Của Tích Phân Để Tích Diện Tích Hình Phẳng Dạng 1: Nếu hàm số y f (x)= liên tục trên đoạn [ ]a;b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số y f (x)= , trục hoành và hai đường thẳng x a; x b= = là:

- Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất”, định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét

dấu các biểu thức f(x); đôi khi phải giải các bất phương trình f x( )≥0;f x( )≤ trên đoạn 0[ ]a;b

- Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y f (x)= trên đoạn [a;b] để suy ra dấu của f (x) trên

2π

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa

ln xe) x 1; x e; y 0; y

x 2

=

+ và đường thẳng y 0=

Dạng 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y f x , y g x= ( ) = ( ) (liên tục trên đoạn [ ]a;b )

và hai đường thẳng x a, x b= = có diện tích S là:

b

a

S=∫f x −g x dx 2

Lưu ý: Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm

số x f y= ( )và x g y= ( ) (liên tục trên đoạn [ ]a;b ), hai đường thẳng y a, y b= = và trục tung” Khi đó công thức tính diện tích là: b ( ) ( )

a

S=∫f y −g y dy Bài tập:

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

Dạng 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ba hàm số y f x , y g x , y h x= ( ) = ( ) = ( )

Bước 1: Giải các phương trình: f x( ) ( )−g x =0;f x( )−h x( )=0;h x( )−g x( )= 0

Bước 2: Vẽ hình để thiết lập công thức tính diện tích

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: y= −x2+4x 3− và hai tiếp tuyến tại các điểm A 0; 3 ,B 3;0( − ) ( )

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: y x , y 4x 4= 2 = − và y= −4x 4−

Ứng Dụng Của Tích Phân Để Tích Thể Tích Vật Thể

Cho một vật thể trong không gian tọa độ Oxyz Gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a x b< < ) Giả sử S(x) là một hàm

số liên tục Khi đó thể tích của vật thể được tính bởi công thức:

1 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

x 2

y xe= ,

y 0; x 0; x 1= = = quay quanh trục Ox

2 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y tan x= , trục hoành và hai đường thẳng

b) Tính thể tích của hình phẳng (H) khi quay quanh trục Ox

3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Oy của hình phẳng giới hạn bởi Parabol ( )P : y x2