Chuyên đề tích phân

Chuyên đề tích phân

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

Bảng công thức tích phân bất định :

1 1

x x

a x a

dx a

1 1

2 2

 x2 a dxx x2 aalnx x2 a C

2 2

Phương pháp biến số phụ :

Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn a; b có nguyên hàm là F (x)

Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  ,  và có miền giá trị là

x e

dx e

e

x

dx x I

1 3

ln 1

Bài làm :

xdx xdx

dt x

1 0

t x

t x

2

1 ln 2

1 2

1 1

2 1

2

1

2 1 2

1 1

2

e t x

e t x

0

2

2 2

e e x

x

c) Đặt dx

x tdt x

t e x

t x

Tích phân lượng giác :

Dạng 1 : 





nxdx mx

cos sin

1 1 cos

1 2 sin

2 tan

t t x

t t x x

x b x a

cos sin

cos sin

Cách làm :

x d x c

x b x a

cos sin

) sin cos ( cos

sin

cos sin

m x b x a

cos sin

cos sin

Cách làm :

n x d x c

m x b x a

sin

) sin cos ( cos

sin

cos sin

Sau đó dùng đồng nhất thức

BÀI TẬP Tính tích phân :

) 1 2 2 ( 3

2 3

2 ln

1

2 1

2 3 1

3  x x dx  t dt t  

I

e

1 0

t x

t x



Vậy :

24

7 3

1 )

1 (sin

1 3 2

1 4 2

0 0

t x

t x

2 5

2 1

1 cos

1

0

1

0 3 5

1 0

1 0

2 4 2

2 2

0

5 2

dt t t dt

t xdx

0 0

t x

t x



Vậy :

4 15

13 3

5

1

1 1 1

tan

4

0 1

0

3 5

4 2

6 4

0

6 3

t t

dt t

t t t

dt t xdx I

.

cos sin



dx x b

x a

x x

3

0 2

2 cos 2 cos



dx x

x I

2 0

b t x

a t x



Nếu a  b

b a a b

b a t

a b

t

dt a b

dx x b x a

x x I

b a

b a

2

1 cos

sin

.

cos sin

2 2 2

2

2 0

2 2 2

2 1

Vậy :

a

x a

xdx a

a

xdx x

dx x b

x a

x x I

2

1 2

cos 4

1 2

sin 2

1

cos sin cos

sin

.

cos sin

0 0

t x

t x

2 3

1 2

3 2

cos 2

cos

t

dt t

dt dx

x

x I



Đặt : t u dt sinudu

2

3 cos

3

2 0





u t

u t

Vậy :

2 4 2

1 2

1

cos 1 2 3

sin 2 3 2

1

2

3 2 1

u

udu t

dt I

4

1



dx x x

2

0 2

5 cos 3 sin 4

6 cos 7 sin



dx x x

x x

x dt

x t

0 0

t x

t x



6

1 2 1

1 5

1

1 3 1

2 4

1 2

1 0

1 0 2 1

0

2

2 2

2 1

t

t t

t

t I

b)Đặt :

5 cos 3 sin 4 5 cos 3 sin 4

sin 3 cos 4 5

cos 3 sin

4

6 cos 7 sin

C x

x

x x

B A x

x

x x

Dùng đồng nhất thức ta được: A 1 , B 1 , C 1

Vậy :

6

1 8

9 ln 2 5

cos 3 sin 4 ln

5 cos 3 sin 4

1 5

cos 3 sin 4

sin 3 cos 4 1 5

cos 3 sin 4

6 cos 7 sin

1 2 0

2 0

x x

dx x x

x x

x x

dx x x

x x

2

0 3

2 sin



x

dx I

2

0

3 3

1 cos

sin

4



dx x

x

2

0 5

3 cos 2 sin

1



dx x x

2

0 6

3 cos 2 sin

1 cos sin



dx x x

x x

I

Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ

a x n a

1

với a,nCN  0 , 1 ta có : Nếu n 1 , aR ta có : x C

a x

, , , ,

2

ac b

R c b a

dx b

a a

dx c bx ax

b ax a

dx c bx ax

b

a b ax a

I

2 2

2

2 2

2 2

2 2

n n

n

t

dt a

a dx c bx ax

dx I

2

1 2

4

x P I

b x b x

b

a x a x

a x

Q

x

P

n n

m m n

Nếu : deg P  deg Q thì ta thực hiện phép chia         

 x Q

x R x A x Q

x P

n

r n

m n

a x

A a

x

A a

x

A a

i

i i

m

a x

A a

x

x P

1 1

Vdụ 1b : ( )(  )( ) 2 x c2

D c

x

C b x

B a x

A c

x b x a x

n n

n m

c bx ax

B x A c

bx ax

B x A c

bx ax

B x A c

bx ax

x P

1 1

2 1 1

n

i i

i n

m

t

c bx ax

B x A x

A c

bx ax x

x P

A c bx ax x

1 1 2

C x B c bx ax

C x B x

A c

bx ax x

1 0

1 2

1 2

dx x

1

0

2 2

2 2

1 1

1 2

3

 x x  OK x

1 1

I b)      

1 0 2 2

2 1

2 4

dx x

a x

dx

I0 2 2 1arctan với a 0

dx x

2 2 1

1 2

1 3 1 3

3

9 2 3

2 3

arctan 3

1 arctan

1 2

1 2

2 4

2

2 2

A C C B x B A x x

C Bx x

A x

2

4 2

0

C B A

C C B B A

2

1

2 2

2 2

1

2 4

dx x

x x

dx x

x

x I

9

4 ln 1 ln 2 ln 2 ln 3 ln 2 1 ln 2 ln

2 x 2x 3

dx I

x x

2 4 3

B x

A x

x

x

b)

3 1

3 2

A x

4 1

4

1 4

1

3

3

x x

x

x x

x

x

d)

2 2

1 1 2

3 2 4

C x

B x

A x

x x

Đẳng thức tích phân :

Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau

* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …

Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng

BÀI TẬP

Chứng minh rằng :        

1 0

1 0

1 0

t x

t x

Vậy :            

0 1

1 0

1

0

1 1

Bài làm :

     1 )

t f dx x

a dx x f dx x f I

x f x

x f dx a

x f dx

a

x

f

x x

x

t t

t f a dt a

t f dx a

x f a dx a

x f

x x

t x

t x



Vậy :               

sin

f

 xdx f xdx f

x

dx x f dx

x f x

0 0

sin 2

sin

sin sin

2

Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau

Nếu hàm số f x liên tục trên a, b và fab xf x Thì ta luôn có :

       

b

a

dx x f b a dx x f

x



0

2

Cho hàm số f x liên tục,xác định , tuần hoàn trên Rvà có chu kì T

Chứng minh rằng :      





T a a

T dx x f dx x f

T a

T a T

x

f

0 0

0Xét   

T t

x 0

dt t f dt T t

0

(đpcm)

Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :

Nếu hàm số f x liên tục,xác định , tuần hoàn trên Rvà có chu kì T , thì ta luôn

2 sin x cosxlnx x 1dx I

cos 4

9

sin

.

dx x

x x

cos 1

sin

dx x

x x I

sin





dx x x

x x

b

uv udv

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :

*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u lnxhay u loga x

2

2 cos



xdx x

e

xdx I

e v dx

e dv

dx du x

u

Vậy : . 1  1 1

0 1

0

1 0 1

dv

xdx du x

u

sin cos

2

2

4 sin

2 cos

.

0

2 0

2 2

0 1

xdx x

x x dx e x

Ta đi tính tích phân 

2 0

sin



xdx x

dv

dx du x

u

cos sin

0 2

0 2

0

2 0 2

x xdx x

Thế vào (1) ta được : . 4 8

2 1

0 1

dv

dx x du x

1

1 1

3      e  e 

e e e

x x x dx x

x xdx I

2 cos



dx x

xdx dv

dx e du e

cos sin

1 e sinxdx e cosx e cosxdx e 1 J 1

dv

dx e du e

sin cos

sin sin

cos

.

Thế vào (1) ta được :

2

1 1



I e

dx du x

u

tan cos

ln 4 tan

tan

4 0

4 0 4

x x dx x

x I

dv

dx x x

du x

u cos ln 1sin ln

Vậy : I  xdx x  x  xdx e  J

e e e

dx x x

du x

u sin ln 1cos ln

1

1 1

3 sin lnx dx x sin lnx cos lnx dx 0 I

I

e e e



I e

1

e

dx x x

I d)     

1 0

2

4 ln x 1 x dx I

I f)   

e

dx x I

I h)   

2 0

7

cos 1

sin 1



dx e x

I ta đi xét dấu f x trên đoạn a, b, khử trị tuyệt đối

Muốn tính      

b a

dx x g x f

I max , ta đi xét dấu f x  g x trên đoạn a, b

Muốn tính      

b a

dx x g x f

I min , ta đi xét dấu f x  g x trên đoạn a, b

2

1 x 2x 3dx I

1

2 4

2

2 1

4

1

2 2

2 2

     

2

5 4 2 8 8 2

1 2 2

0 2 2

dx a x x

1

0

2 3 2

1

1 2

3

a ax

x dx ax x dx a x x

1

0

2 2 3

1 3 2 3

2

3 2 1

3 2 0

1

0

2 3 2

1

1 2

3

a ax

x dx ax x dx

a x x

I a

Tính : a)   

2 0

2

1 min 1 ,x dx

I   

3 0

2

2 max x ,x dx I

, 1

2 0

3 2

1 1

0 2 2

2 ,

max

3 1

3 1 0

2 3

1 2 1

0 3

3 3

3

2 1

3 2 1

0

3 2

x

x

I

2 max sin , cos



dx x x

4 3

0

3 sin cos



dx x x

1

4 x 2 x 1 x 2 x 1 dx

Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :

Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel

Dạng 1: Rx, ax2 bxcdx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ

b ax a c bx ax

a

R

b ax t

2

2 ax b

a c bx ax

a

R

b ax t

bx ax x

2 2

a t

x a c bx ax

c bx ax x

x t c bx ax

c c xt c bx ax

b ax

b ax

Bài làm :

dt x

udu u

du u I

tan 3 tan

2

cos 3

1 1 tan 3 3

1 tan 3

C x x

x C

t

t C

2 3

1 1

3

1 sin

3

1

2 2

x x

dx I

2

1 3 2

1

4

3 2 1

t

dt t

t x

xdx x

x

xdx

C x

x x

x

x

C t

t t

dt t

t I

1 ln 2

1 1

1 ln

2

1 1 2

3 1

1 3

2

1

2 2

2 2

t t

dt x

2 1

2

C

x C

1 1

2 3 5

1 1 6

6 1

dt t x

x

dx I

C x

x x

x

C t

t t t

2

1 ln 6 6 3 2

6 6

3

2 3

x dx

x

x x x

2

1 2

1 1

1 1

2 1

 1

1 2

1 2

1

dx x

x x

t

x x

x

2 2

1

2 1

1 1

1 2

t x t

x

2 2

2

2

9 2

x

C t t

t dt

t t t

dt t

t dt

t

t t

t t

t I

4 2

4 4

5 3

5

2 4 2

2 2 2

2

2 1

9 4

6561 9

ln 162 4

9 16

1

4

6561 ln

162 4 16

1 6561

162 16

1

81 16

1 4

9 2

9

2 9

t

t dx t

t x t

x

2 2

2

2

4 2

x

C t t

t dt t t

t

dt t

t dt t

t t

t t

4 2

4 4

5 3

5

2 4 2

2 2 2

2

2

4

64 4

ln 36 4

4

64 ln 36 4

256 36

16 4

4 2

4

2 1

dx x

0 2

1



t x

t x

1 2

cos 1 8

1 cos

2 3

t x

t x

2 2 8

3

2

1

2 1

2

dt t

t

tdt dx

x x

dx I

4

x

dx I

1 1

1 1

1

2 6

Nếu f x g x x a b f x dx g x dx

b a

1 ln 1

1 ln

3 2

2 1

1 1

1 1

1

0

1 0

1

1

2 2 2

x

x x

f

x

x x

f f

Vậy :

 

2

1 1

5 2

2

1 1

5 2

2 , 1 2

1 1 5

2

2

1 2

2

1

2

1 2 2

1 2

x

dx dx

x

x dx

x x

x

Áp dụng Bunhicopxki ta có :

 0 , 1 

2 1

1 1 1 1

1 x x dx (đpcm)

Chứng minh rằng :

e

dx x

x

e x

12 1

sin

3

1 2

1

1 1

sin

dx x

e

dx x

sin

.

2 2

x

e x

4 1





t x

t x

4

3 3 6

x

4 6

3

6

3 2

0

.g x dx f x dx g x dx x

2)Tính thể tích :

Nếu diện tích S x của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ ,

là hàm số liên tục trên đoạn a, b thì thể tích vật thể được tính :

 x dx f V

b x

b a



Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy

3)Tính giới hạn :

  x f x dx f

b a

n

i

i i

i i x i i

x x x

n

i f n

1

n

i f n

n i n

4)Tính độ dài cung đường cong trơn:

Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh y  f x thì độ dài đường cung nó được tính như sau :

 y dx l

b

a

  

 1 2 với a, b là hoành độ các điểm đầu cung

4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton

Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuốicùng là tính tích phân

Hình1a hình1b

hình1c hình1d

BÀI TẬPTính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R

Bài làm : (hình 1a)

Phương trình đường tròn có dạng :

2 2 2



t R x

t x



t R x

t x

Vậy :

dvdt

R t

x R

dt t R

tdt R t R

S

2 2 0 2

2 0 2 2

0

2 2

2 sin 2

1 2

2 cos 1 2 cos sin

1

4 2 3 4

1

1 2 2

1 2 1 2 2 1

2

2 3 2

2

1 2

x k x x x x x

x

x k x

k x dx x x

k S

x x

4 4

.

2 1 2 2 2 2 2 2 1 2

k k x x x x x x k x x k x x

Thế vào   * ta được :

 4 16

16 4 6

1

4 2

1 4 4 3

1 16 4

2 2

2 2

k k

k k k

Vậy : minS  4 3 khi k  2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

x ay

y ax

Bài làm : (hình 1c)

2 2

a x ay

a y x y x a

n a x a

x ay a ax x a

0 0

0

2 2 2 2

2 2

x y ax y

a

x ay

y ax

Vậy diện tích cần tính là :

dvtt

a a

x x a

dx a

x x a dx

a

x ax S

a

a a

2 0

3 2 3

0

2 2 1 0

2

3

1 3

0 1

3

x

y x

y x

b) 





 4

2

y

x y

x y

0 2

y x

d)

hình a hình b

hình c hình d

Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :

5 5

.

1

3 2 1

n n

Ta lập phân hoạch đều trên 0 , 1 với các điểm chia :

1

0 x0 x1 x2  x n1 x n  và chiều dài phân hoạch lx i  x i1 n1

Chọn i x i n i ta có    

5 1

x

i

n i

i i i

6

1 lim

lim

1 0

1 1 1

Tính limn Sn.

Bài làm :

1 3

1 1 2

1 1

n n

Ta lập phân hoạch đều trên 0 , 1 với các điểm chia :

1

0 x0 x1 x2  x n1 x n  và chiều dài phân hoạch

n x x

1 lim

1 1

1

n

i n f

x

i

n i

i i i

2 ln 1 ln 1 lim

1 0 0