Đường phân giác của góc BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C.. Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với CO.. Đường thẳng d lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E
Trang 1MÃ KÍ HIỆU
[ *****] ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9 – Năm học 2015-2016
MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm 05 bài 01 trang)
Bài 1 (2,0 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau:
1.2. B= 35 2 7+ −3 5 2 7−
Bài 2 (2,0 điểm)
2.1 Cho ba số x, y, z thoả mãn điều kiện: 2x2 +2xy 2x y+ + 2 + + =z2 y 2yz
Chứng minh rằng: 1 y− ≤ − 2z 1≤
2.2 Giải hệ phương trình sau:
x 3y
x y
y 3x
x y
+
Bài 3 (2,0 điểm)
3.1 Tìm số dư trong phép chia số nguyên S a= b +bacho 5, trong đó a 22 2= gồm 2015 chữ số 2, b 33 3= gồm 2016 chữ số 3 (viết trong hệ thập phân)
3.2 Cho ba thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2 2
ab bc ca
C a b c
a b b c c a
Bài 4 (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD với ·BAD< 900 Đường phân giác của góc BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CO Đường thẳng (d) lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E và F
4.1 Chứng minh ∆OBE = ∆OCD
4.2 Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac CEF
4.3 Gọi giao điểm của OC và BD là I Chứng minh: IB.BE.EI = ID.DF.FI
Bài 5 ( 1,0 điểm) Cho một tứ giác có diện tích bằng 1cm2 Lấy 2012 điểm thuộc miền trong của tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta được 2016 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 điểm lấy từ 2016 điểm đã cho có diện tích không vượt quá 1 2
cm
4026 .
Trang 2MÃ KÍ HIỆU
[ *****] ĐÁP ÁNĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9 – Năm học 2015-2016
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm …… trang)
1
1.2 ( 1,0 điểm)
2
(2,0 2.1 ( 1,0 điểm)
2x 2xy 2x y z y 2yz
2x 2 y 1 x y 2yz z y 0 (*)
'= - y + 2 2yz 2z- +1
Vì x, y z thoả mãn điều kiện đề bài cho nên phương trình (*) có nghiệm
' 0 - 1 y- 2z 1
2.2 ( 1,0 điểm)
Điều kiện x2 + y2 ¹ 0
Với x = 0 tìm được y = 1
Với y = 0, hệ phương trình vô nghiệm 0,25điểm Xét x ≠ 0, y ≠ 0 Hệ phương trình đã cho trở thành:
2
2 2
xy 3x
x y
x y
−
3y 3 x
2y 4y 5y 9 0 (*)
−
=
⇔
Với y = 1 thì x = 0 (loại)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) là: (0; 1), (3; - 1)
3 3.1 ( 1,0 điểm)
HS chứng minh được S a= b +ba và 2b + 3acùng số dư khi chia cho 5 0,25 điểm
Có b 33 3= = 4k + 1; 24 = 16 chia cho 5 dư 1 nên 2b =2.24kchia 5 dư 2 0,25 điểm Tương tự có 3a =3 32 4q chia 5 dư 4 (k,q N*)
Suy ra 2b + 3a chia 5 dư 2 + 4 = 6 0,25 điểm
Trang 3(3,0
điểm)
3.2 ( 1,0 điểm)
Có
3 a b c a b c a b c
a b c a b a c b c b a c a c b
Lại có
a + ab ³ 2a b; b + bc ³ 2b c; c + ca ³ 2c a
Suy ra được a2 + b2 + c2 ³ a b b c c a2 + 2 + 2 0,25 điểm
9 a b c
ab bc ca
+ +
³
Đặt x=a2 + b2+ c2, chứng minh được x ≥ 3
Từ đó P x 9 x 1 2.3 3 1 4
2+ 2x+ 2- 2 2+ 2- 2=
0,25 điểm Tìm được: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 0,25 điểm
4
(3,0
điểm)
4.1 (1,5 điểm)
Có được: ·BCO=DCO· Þ OB=OD 0,25điểm
EBO=ODC(cùng bù với ·ODF) 0,25 điểm
∆CEF cân tại C => ·CEF=CFE· 0,25 điểm
Trang 4Suy ra ∆ABE cân tại B => BE = BA = CD 0,25điểm
4.2 (0,5 điểm)
Có được OE = OC (∆OBE = ∆OCD)
OE = OF (OC là trung trực của AB)
=> OE = OF = OC => O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF 0,5 điểm
4.3 (1,0 điểm)
Có được: BC = DF
∆BCD có CI là đường phân giác nên IB CB DF IB.BE ID.DF
ID= CD= BE Þ =
0,5 điểm
Có được IE = IF
5
(1,0
điểm)
Xét tứ giác ABCD có diện tích bằng 1 cm2
Với điểm thứ nhất M, ta có 4 tam giác chung đỉnh M đôi một không có
điểm trong chung
Với điểm thứ hai N phải là điểm nằm trong của một trong 4 tam giác trên
Nối N với 3 điểm của tam giác đó tạo nên 3 tam giác chung đỉnh N,
nhưng số tam giác không có điểm trong chung với các tam giác chỉ tang
thêm 2 do mất đi một tam giác chứa điểm N Số tam giác không có điểm
trong chung lúc này là 4 + 2
Tương tư với 2010 điểm còn lại, cuối cùng số tam giác đôi một không có
điểm trong chung là 4 + 2 + 2010.2 = 4026
Tổng diện tích của 4026 tam giác đó bằng 1 cm2, nên tồn tại ít nhất một
tam giác có diện tích không vượt quá 1 2
cm