Cho đường tròn tâm O đường kính AB.. Lấy điểm D trên đoạn OB.. Đường trung trực của đoạn AD cắt O tại C và cắt AD tại H.. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E.Chứng minh rằng: a AC song
Trang 1SỞ GD&ĐT TỈNH HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG 2
Năm học 2011 - 2012 Thời gian làm bài: 150 phút
Ninh Giang, ngày 15 tháng 12 năm 2011
Câu 1: (3.0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
A
− +
2
B
4 4
1
x x
+ − − + + + −
=
− + (với x >2)
Câu 2 (2.0điểm).
1) Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 2x + 5y + 3xy = 8
2) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
0
b c c a a b 2
+ +
Câu 3 (2,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) (4x− 1) x2 + = 1 2x2 + 2x+ 1 b)
2
2
2
2 2 2
y z
z x
= +
= +
= +
Câu 4 (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm D trên đoạn OB.
Đường trung trực của đoạn AD cắt (O) tại C và cắt AD tại H Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E.Chứng minh rằng:
a) AC song song với DE
b) HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho tam giác ABC có BAC=105· 0 Đường trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt nhau tại K sao cho KB = KC Kẻ đường cao AH (H∈ BC) Chứng minh HA = HB
-Hết -Cán bộ coi thi không cần giải thích thêm.
Họ và tên thí sinh : Số báo danh : Chữ ký giám thị 1 : Chữ ký giám thị 2 :
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG 2
MÔN TOÁN
* Học sinh làm cách khác đúng phải cho điểm tối đa
* Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm
ĐIỂM
1
2 5
4 2
5
4
+
−
−
=
A
+
−
−
= +
−
−
=
2 5
1 2 5
1 2 2 5
2 2 5 2
1
4 2 2 5 2 5
2 5 2 5
+
−
+
− +
=
2 2
x
− − − + + − + − +
=
− +
B
2
2 2
2
2 2 2
2
−
+
− +
−
−
=
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
−
+
− +
−
−
=
−
+
− +
−
−
=
Nếu x≥ 6
A
−
Nếu x < 6
2
4 2
2 2 2
2
−
=
−
+
− +
−
−
=
x x x
x
x x
A
0,25đ
0,25đ 0,5đ
0,25đ 0.25đ
0.5đ
0.5đ 0.5đ
Ta có : 2x + 5y + 3xy = 7 => 6x + 15y + 9xy = 24
=> (3x+5)(3y+2) = 34
Xét các trường hợp và kết luận đúng pt đã cho vô nghiệm nguyên
dương
2) Do a,b,c > 0
áp dụng BĐT cô-si cho hai số dương ta có
0,5đ 0.5đ
Trang 3
Tương tự
Cộng từng vế (1),(2) và (3 ) ta được
a b c a b c a a b
a b c
+ + + + +
b c c a a b 2
+ +
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
0,25
0.25đ
0.25đ
0.25đ
(4x− 1) x + = 1 2x + 2x+ 1 (*)
Đặt x2 + = => ≥ 1 a a 1
(*) => (4x-1).a = 2a2 + 2x - 1
(2a 1)(a 2x 1) 0
⇔ − − + =
0,5 ( )
2 1(1)
=
⇒ = −
(1)=> x2 + = 1 2x− 1 => 2 2
0( ) 0,5
4
3
x Loai x
x
=
≥
⇒
+ = − + =
Thử lại (*) có x = 4
3 là nghiệm 2)
2
2
2
2 2 2
y z
z x
= +
= +
= +
Do vai trò x, y, z như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử:
x y z≥ ≥ ⇒x − ≥y − ≥ −z
Kết hợp với hệ đã cho suy ra: y z x≥ ≥
=> x = y = z
=> x = y = z = -1 hoặc x = y = z =2 Thử lại đúng
0,25đ
0,25đ 0.25đ 0.25đ
0.5đ 0.25đ
Trang 42 1 1
1
K
E C
D
H
K
A
Vậy hệ có hai nghiệm (x,y,z) = {(-1; -1; -1);(2; 2; 2)} 0.25đ
4
Vẽ hình đúng theo yêu cầu chung của đề bài
a) Ta có ·ACB = DEB =90· 0 nên AC// DE
b) Gọi K là trung điểm của CE, I là trung điểm của BD
Có HK là đường trung bình của hình thang ACED
=> HK vuông góc với CE
=> ∆CHE cân tại H
=> E =Cµ µ1 1 Có E =B¶2 µ1 và µ µ 0
1 C 1 90
B + =
=> µ ¶ 0
1 2
E +E = 90 => HEI 90· = 0
Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD
0,25đ
0,75đ
0,5đ 0,25đ
0.25đ
5
Ta có MA = MH = MC => MHC MCH· =· = 2BCK·
Mà BK = CK => ·BCK =KBC· ⇒MHC· = 2KBC·
Lại có ·MHC KBC KMH=· +·
=> ∆BHM cân tại H => HM = HB
Giả sử HA > HB (1) Ta có:
·ABH > ·BAH =>BAH· < 45 0 =>HAC· > 60 0
60
=> < => < => < (Mâu thuẫn với (1))
Tương tự chứng minh được AH <HB không xảy ra
Vậy AH = HB
0.25đ
0.5đ 0.25đ