Đường cong đơn thức trong không gian afin

Tôi lựa chọn đề tài này thuộc lĩnh vực Hìnhhọc đại số với ý tưởng tìm hiểu một số kiến thức chuyên sâu của đa tạp và nghiên cứu sâu sắc về đa tạp đại số, đường cong đơn thức trong cáckhô

hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC

! Bạn muốn đọc nhanh những thông tin cần thiết ?

! H∙y đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước khi

đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào mỗi đề mục để đọc toàn bộ dòng bị che khuất )

!Chọn đề mục muốn đọc và nháy chuột vào đó

! Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ trang báo cáo trên màn hình ?

! Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích th Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích thưưưước ớc

có sẵn trên thanh Menu

, hoặc

! Mở View trên thanh Menu, Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to Mở View trên thanh Menu, Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to Chọn Zoom to

! Chọn tỷ lệ có sẵn trong hộp kích th Chọn tỷ lệ có sẵn trong hộp kích thưưưước ớc hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn,

hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn, Nhấn OK , , Nhấn OK Nhấn OK

Chúc bạn hài lòng với những thông tin đ với những thông tin đưưưược cung cấp ợc cung cấp

Lời cảm ơn

Trước hết em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Trần MạnhHùng- Người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để em hoàn thànhkhóa luận của mình

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học QuảngBình, sự giúp đỡ về mọi mặt của quý thầy cô ở khoa Khoa học tự nhiên

đã cung cấp cho em những kiến thức quý báu trong thời gian học tậpcũng như trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Lời cuối em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, các bạn sinhviên ở lớp Đại học sư phạm Toán K53 đã giúp đỡ động viên, chia sẻkhó khăn cùng em

Mục lục

1.1 Nhóm 7

1.2 Vành 12

1.3 Trường 15

1.4 Iđêan 17

1.5 Không gian afin 20

2 Đường cong đơn thức trong không gian afin 23 2.1 Đa tạp afin 23

2.1.1 Tập đại số 23

2.1.2 Tôpô Zariski 29

2.1.3 Tập đại số bất khả quy 302.1.4 Đa tạp afin 302.2 Đường cong đơn thức trong không gian afin 32

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Một trong những vấn đề quan trọng của Toán học trong suốt ba thế

kỉ qua là việc nghiên cứu và tìm lời giải cho bài toán Fermat Đây làmột bài toán thuộc về lĩnh vực Lý thuyết số nhưng đã thu hút được

sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà khoa học Điều thú vị làtrong quá trình tìm kiếm lời giải cho giả thuyết Fermat thì người ta đãphải sử dụng tới rất nhiều kiến thức và kĩ thuật cũng như phương phápnghiên cứu của rất nhiều ngành khác nhau như Lý thuyết số, Đại sốgiao hoán, Giải tích và đặc biệt trong số đó có sự đóng góp rất quantrọng của ngành Hình học đại số Lý thuyết về các đa tạp, các đườngcong đại số và các kết quả nghiên cứu liên quan là những tiệm cậncủa lời giải Định lí Fermat Tôi lựa chọn đề tài này thuộc lĩnh vực Hìnhhọc đại số với ý tưởng tìm hiểu một số kiến thức chuyên sâu của đa tạp

và nghiên cứu sâu sắc về đa tạp đại số, đường cong đơn thức trong cáckhông gian nhất là trong không gian afin

2 Mục đích nghiên cứu

Thực hiện đề tài “Đường cong đơn thức trong không gian afin”, tôihướng đến mục đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiêncứu một vấn đề Toán học còn khá mới đối với bản thân Từ đó, hìnhthành khả năng trình bày một khái niệm toán học trừu tượng một cáchlôgic và có hệ thống Trình bày các kiến thức liên quan đến đề tài Tổnghợp các kiến thức bổ trợ cho đề tài: Nhóm, vành, trường, iđêan cũngnhư không gian afin và đa tạp afin Nghiên cứu sâu hơn đường cong

đơn thức trong không gian afin.

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Củng cố lại các kiên thức liên quan như nhóm, vành, trường, iđêan

- Các kiến thức về không gian afin như ánh xạ afin, ảnh và tạo ảnhqua ánh xạ afin

- Các kiến thức liên quan đến đa tạp afin như tập đại số, tập đại sốbất khả quy, đa tạp afin và đường cong đơn thức trong không gian afin

4 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu đề tài:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc, phân tích, tổng hợp tài liệulàm rõ nội dung lý thuyết Sau đó trình bày lại các tính chất theo một

hệ thống có lôgic

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Xemina, lấy ý kiến của giảngviên hướng dẫn để hoàn thành về mặt nội dung cũng như hình thức đềtài nghiên cứu

- Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp các tài liệu của các nhà khoa học

đã nghiên cứu về vấn Hình học đại số trước đây

- Nghiên cứu về đa tạp afin một cách chuyên sâu qua đó mở ra vấn

đề đường cong đơn thức trong không gian afin

5 Bố cục khóa luận

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo, nộidung khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương này là hệ thống gồm một số kiến thức về nhóm, vành, trường,đặc số của trường, iđêan, tập sinh của iđêan, không gian afin và ánh xạafin

Chương 2: Đường cong đơn thức trong không gian afinChương này sẽ hệ thống hóa các kiến thức liên quan đa tạp afin nhưtập đại số, tập đại số bất khả quy Cũng như nghiên cứu sâu hơn vềđường cong đơn thức trong không gian afin

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Chương này là hệ thống gồm một số kiến thức về nhóm, vành, trường,đặc số của trường, iđêan, tập sinh của iđêan, không gian afin và ánh xạafin

Định nghĩa 1.1.1 Phép toán hai ngôi (gọi tắt là phép toán) trên tậphợp X là một ánh xạ

f : X × X −→ X(x, y) 7−→ f (x, y)

Ta dùng kí hiệu xf y thay cho f (x, y) Như vậy, ứng với các phép toán

∗, ◦, +, ta có các kí hiệu x ∗ y, x ◦ y, x + y, Khi kí hiệu phép toán là ta gọi đây là phép nhân và thường viết xy thay cho x.y mà ta gọi đây

là tích của x và y Còn khi kí hiệu phép toán là + ta gọi đây là phéptoán cộng và x + y là tổng của x và y

N, Z, Q, R, C là các phép toán hai ngôi Phép trừ thông thường là phéptoán trên các tập hợp Z, Q, R, C nhưng không là phép toán trên N.

2 Phép cộng và phép nhân ma trận là các phép toán trên M (n, R)gồm các ma trận vuông cấp n với hệ số thực

Định nghĩa 1.1.2 Cho phép toán ∗ trên tập hợp X

Ta nói phép toán ∗:

(i) Giao hoán nếu với mọi x, y ∈ X, x ∗ y = y ∗ x

(ii) Kết hợp nếu với mọi x, y, z ∈ X, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

(iii) Có phần tử trung hòa trái (phân tử trung hòa phải) là e nếu

e ∈ X và với mọi x ∈ X, e ∗ x = x (tương ứng x ∗ e = x) Nếu e vừa

là phần tử trung hòa trái vừa là phần tử trung hòa phải thì ta nói e làphần tử trung hòa của phép toán ∗

Mệnh đề 1.1.3 Một phép toán có nhiều nhất một phần tử trung hòa.Định nghĩa 1.1.4 Cho ∗ là một phép toán trên tập hợp X có phần

tử trung hòa e và x là một phần tử tùy ý của X Ta gọi x là khả đốixứng trái (tương ứng là khả đối xứng phải) nếu tồn tại x0 ∈ X sao cho

x0 ∗ x = e (tương ứng x ∗ x0 = e) Khi đó x0 được gọi là phần tử đốixứng trái (tương ứng là phần tử đối xứng phải) của x Trường hợp xvừa là khả đối xứng trái, vừa khả đối xứng phải thì ta nói x là khả đốixứng và phần tử x0 ∈ X thỏa mãn x ∗ x0 = x0 ∗ x = e được gọi là phần

tử đối xứng của x

Chú ý:

1 Đối với phép toán cộng: Phần tử trung hòa được gọi là phần tửkhông và được kí hiệu là 0, phần tử đối xứng của x được gọi là phần

tử đối của x và kí hiệu là −x

2 Đối với phép toán nhân: Phần tử trung hòa được gọi là phần tửđơn vị và được kí hiệu là e hoặc 1, phần tử đối xứng của x được gọi làphần tử nghịch đảo của x và kí hiệu là x−1

Định nghĩa 1.1.5 Cho tập hợp X với phép toán nhân Ta nói (X, )( gọi tắt là X) là:

(i) Một nửa nhóm nếu phép toán nhân kết hợp trên X

(ii) Một vị nhóm nếu phép toán nhân kết hợp trên X và có phần tửtrung hòa trên X

Một nửa nhóm được gọi là giao hoán nếu phép toán tương ứng giaohoán

Ví dụ 1 Với phép cộng thông thường, các tập hợp N, Z, Q, R, C trởthành các vị nhóm giao hoán

2 Với phép cộng thông thường, tập hợp N∗ trở thành một nửa nhómgiao hoán nhưng không là vị nhóm

Kí hiệu: Trong nửa nhóm (X, ) do phép toán nhân kết hợp nên vớimọi x, y, z

(xy)z = x(yz)

Giá trị chung của hai vế trong đẳng thức trên được kí hiệu là xyz

định nghĩa tích của n phần tử x1, x2, , xn như sau:

Định nghĩa 1.1.8 Nhóm là một vị nhóm mà mọi phần tử đều có phần

tử đối xứng Nói cách khác, tập hợp G khác rỗng với phép toán nhânđược gọi là một nhóm nếu các tính chất sau được thỏa mãn:

(i) ∀x, y, z ∈ G, (xy)z = x(yz)

(ii) ∃e ∈ G sao cho ∀x ∈ G, ex = xe = x

(iii) ∀x ∈ G, ∃x−1 ∈ G sao cho xx−1 = x−1x = e

Nếu phép toán trên G là phép cộng thì các tính chất trên trở thành:(i) ∀x, y, z ∈ G, (x + y) + z = x + (y + z)

(ii) ∃0 ∈ G sao cho ∀x ∈ G, 0 + x = x + 0 = x

(iii) ∀x ∈ G, ∃ − x ∈ G sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0

Nếu phép toán trên nhóm G giao hoán thì ta nói G là nhóm giaohoán hay nhóm Abel Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn khi tập hợp

G hữu hạn Khi đó số phần tử của G được gọi là cấp của nhóm G Nếunhóm G không hữu hạn thì ta nói G là nhóm vô hạn

Ví dụ 1 Tập hợp các số nguyên Z cùng với phép cộng thông thường

là một nhóm giao hoán mà ta thường gọi là nhóm cộng các số nguyên

2 Tập hợp các số hữu tỉ khác không Q∗ cùng với phép nhân thôngthường là một nhóm giao hoán mà ta thường gọi là nhóm nhân các sốhữu tỉ khác không

(i) Phần tử đơn vị e là duy nhất

(ii) Phần tử nghịch đảo x−1 của x là duy nhất và (x−1)−1 = x

(iii) xy = e khi và chỉ khi yx = e Hơn nữa khi đó y = x−1

(iv) (x1 xn)−1 = x−1n x−11 Đặc biệt (xn)−1 = (x−1)n ∀n là số nguyêndương

(v) Phép toán nhân có tính giản ước, nghĩa là ∀x, y, z ∈ G từ đẳngthức xy = xz hay yx = zx đều dẫn đến y = x

Định lí 1.1.10 Cho (G, ) là một nửa nhóm khác rỗng Khi đó cácmệnh đề sau là tương đương:

Phần tử trung hòa của phép cộng được gọi là phần tử không kí hiệu

là 0, phần tử đối xứng của phần tử x ∈ R là phần tử đối của x, kí hiệu

là −x Nếu phép nhân giao hoán thì ta nói vành R giao hoán, nếu phép

toán nhân có phần tử đơn vị thì vành R được gọi là vành có đơn vị.Phần tử đơn vị được kí hiệu là e hay 1.

Nhận xét: Cho R là vành có đơn vị e Phần tử x ∈ R được gọi làkhả nghịch nếu x khả đối xứng đối xứng với phép nhân, nghĩa là tồntại y ∈ R sao cho xy = yx = e Kí hiệu:

R∗ = {x ∈ R|x khả nghịch } Khi đó, R∗ là một nhóm đối với phépnhân, gọi là nhóm các phần tử khả nghịch của R

Ví dụ 1 Tập hợp các số nguyên Z với phép cộng và phép nhân thôngthường là vành giao hoán, có đơn vị, gọi là vành các số nguyên Tương

tự ta cũng có vành các số hữu tỉ Q, vành các số thực R, vành các sốphức C

2 Trên nhóm cộng Zn các số nguyên modulo n, ta định nghĩa phéptoán nhân như sau: ∀x, y ∈ Zn, xy = xy Khi đó Zn trở thành vành giaohoán có đơn vị 1

3 Tập M (n, R) các ma trận vuông cấp n với hệ số thực cùng vớiphép cộng và nhân ma trận thông thường là vành có đơn vị Vành nàykhông giao hoán nếu n ≥ 2

4 Cho (G, +) là nhóm Abel Tập hợp End(G) các tự đồng cấu củanhóm G là vành có đơn vị với phép cộng được xác định bởi:

(f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀f, g ∈ End(G), ∀x ∈ G,

và phép nhân là phép hợp nối ánh xạ Vành này không giao hoán nếu

|G| ≥ 2

5 Giả sử R1, R2, , Rn là các vành Khi đó tích Descartes

n

X

i=1

Ri = {(x1, x2, , xn)|x1 ∈ R1, x2 ∈ R2, , xn ∈ Rn},cùng với phép cộng (xi) + (yi) = (xi+ yi) và phép nhân (xi)(yi) = (xiyi)

là một vành, gọi là vành tích trực tiếp của R1, R2, , Rn Hiển nhiênnếu mọi vành Ri đều giao hoán (tương ứng có đơn vị) thì vành tích trựctiếp cũng giao hoán (tương ứng có đơn vị)

Mệnh đề 1.2.2 Cho R là một vành Khi đó với mọi x, y, z ∈ R và

n ∈ Z ta có:

(i) x(y − z) = xy − xz và (y − z)x = yx − zx

(ii) 0x = x0 = 0

(iii) x(−y) = (−x)y = −(xy) và (−x)(−y) = xy

(iv) (nx)y = x(ny) = n(xy) Đặc biệt, nếu R có đơn vị e thì

f là đơn cấu nếu ánh xạ f là đơn ánh

f là toàn cấu nếu ánh xạ f toàn ánh

f là đẳng cấu nếu ánh xạ f là song ánh.

Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu

Ví dụ 1 Ánh xạ đồng nhất idR của vành R là một tự đẳng cấu gọi là

tự đẳng cấu đồng nhất của R

2 Giả sử A là vành con của vành R Khi đó ánh xạ bao hàm:

iA : A → R xác định bởi iA(x) = x là một đơn cấu, gọi là đơn cấu chínhtắc

3 Giả sử I là iđêan của vành R Khi đó ánh xạ π : R → R/I xácđịnh bởi π(x) = x là một toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc

4 Giả sử R, R0 là hai vành Khi đó ánh xạ f : R → R0 xác địnhbởi f (x) = 0R0 (0R0 là phần tử không của vành R0) là một đồng cấu, gọi

là đồng cấu tầm thường

Tính chất (i) Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành.(ii) Giả sử f : X → Y là đồng cấu vành Khi đó:

ii1 f là một toàn cấu khi và chỉ khi Imf = Y

ii2 f là một đơn cấu khi và chi khi Kerf = {0}

Định nghĩa 1.3.1 Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn mộtphần tử trong đó mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch được gọi là mộttrường

Nhận xét: (R, +, ) là một trường khi và chỉ khi các tính chất sau đâyđược thỏa mãn:

(i) (R, +) là nhóm Abel

(ii) R {0} là nhóm Abel

(iii) Phép nhân phân phối với phép cộng

Ví dụ 1 Tập hợp các số hữu tỷ Q với phép cộng và nhân thông thường

là trường Ta gọi là trường các số hữu tỷ Q Tương tự, ta có trường các

Cho F là một trường Một đồng cấu (đẳng cấu) trường từ F vào Fgọi là một tự đồng cấu (tự đẳng cấu) trường Tập tất cả các tự đẳngcấu trường với phép toán tích các ánh xạ tạo thành một nhóm, kí hiệu

là Aut(F)

Nhận xét: Mọi đồng cấu trường đều là đơn cấu

Định nghĩa 1.3.2 Một vành con A chứa phần tử 1 của trường F đượcgọi là trường con nếu A ổn định với phép lấy phần tử nghịch đảo

Nhận xét:

(i) Một trường con của F là một trường với các phép toán cảm sinh

(ii) Giao của một họ khác rỗng các trường con là một trường con.Cho F là một trường Xét ánh xạ

ϕ : Z → F

m 7→ m1F

Dễ dàng chứng minh rằng ϕ là một đồng cấu vành Xét Ker(ϕ) ta cócác trường hợp sau:

• Ker (ϕ) 6= 0 Do Z là miền nguyên chính, ta có Ker(ϕ) = (p) với

p > 0 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa p1F = 0 Rõ ràng p là một sốnguyên tố Suy ra ϕ cảm sinh một đơn cấu từ Zp vào F, do đó F chứamột trường con đẳng cấu với Zp Trường con này chứa trong tất cả cáctrường con của F Số nguyên tố p được gọi là đặc số của trường F

• Ker(ϕ) = 0, tức là 0 là số nguyên duy nhất để m1F = 0 Khi đó ϕ

mở rộng duy nhất thành một đồng cấu trường từ Q vào F xác định bởim/n 7→ ϕ(m)ϕ(n−1) Do đó F chứa một trường con đẳng cấu với Q vàtrường con này chứa trong tất cả các trường con của F Khi đó ta nói

F là trường có đặc số 0

Định nghĩa 1.4.1 Cho R là một vành

Tập con A khác rỗng của R được gọi là một vành con của R nếu A

ổn định đối với hai phép toán trong vành R (nghĩa là x + y ∈ R và

xy ∈ R) và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một vành

Định lí 1.4.2 Cho A là một tập con khác rỗng của vành R Các mệnh

đề sau là tương đương

(i) A là một vành con của R

Định lí 1.4.4 Cho I là một tập con khác rỗng của vành R Các mệnh

đề sau đây tương đương:

(i) I là một iđêan của R

4 Với I, J là hai iđêan của R, đặt:

Ví dụ 1 I là iđêan của Z ⇔ I có dạng nZ với n ∈ Z

2 M (n, Z) là vành con của M (n, Q) nhưng không là iđêan

Định nghĩa 1.4.5 Cho S là một tập con khác rỗng của vành R Ta

có định nghĩa: Giao của tất cả các iđêan của R có chứa S là iđêan sinhbởi S Kí hiệu hSi

Từ định nghĩa ta thấy iđêan của R sinh bởi tập hợp S chính là iđêannhỏ nhất của R có chứa S Đặc biệt {0} là vành con cũng là iđêan sinhbởi tập rỗng Định lí sau đây miêu tả iđêan sinh bởi các tập hợp khácrỗng

Định lí 1.4.6 Cho S là một tập con khác rỗng của vành R Khi đó

(i) Nếu R là vành có đơn vị thì iđêan sinh bởi S là tập hợp

Nhận xét: Nếu vành R giao hoán, có đơn vị thì iđêan chính sinh bởi

a là:

hai = {xa|x ∈ R}

Ta còn kí hiệu tập hợp trên là Ra

1.5 Không gian afin

Định nghĩa 1.5.1 Cho K- không gian vectơ V , tập A khác rỗng vàánh xạ

K- không gian afin(A, f, V ) còn được gọi là không gian afin A liênkết với không gian vectơ V hoặc vắn tắt là không gian afin A.

Không gian afin A gọi là n chiều nếu dim V = n, kí hiệu dim A = n.Tính chất (i) Với mọi điểm M của A thì −−→

A0A1, −−−→

A0A2, −−−→

A0Am, là độc lậptuyến tính Hệ một điểm bất kì luôn được xem là độc lập

Định nghĩa 1.5.3 Cho hai K- không gian afin A và A0 liên kết lầnlượt với các không gian vectơ V và V0

Ánh xạ f : A → A0 được gọi là ánh xạ afin giữa các không gian afin

A và A0 nếu có ánh xạ tuyến tính g : V → V0 sao cho với mọi điểm

M , N của A và các ảnh của chúng M0 = f (M ), N0 = f (N ) thì ta có

−−−→

M0N0 = g(−−→

M N )

Ánh xạ tuyến tính g được gọi là liên kết với ánh xạ afin f

Tính chất (i) Mỗi ánh xạ afin f : A → A0 chỉ có một ánh xạ tuyếntính liên kết duy nhất g: V → V0

(ii) Ứng với mỗi ánh xạ tuyến tính g: V → V0 và mỗi cặp điểm Icủa A và I0 của A0 có duy nhất một ánh xạ afin f : A → A0 mà ánh xạ

tuyến tính liên kết với nó là g và f (I) = I.0

(iii) Nếu f : A → A0 , f0: A0 → A00 là những ánh xạ afin có các ánh

xạ tuyến tính liên kết lần lượt là g : V → V0 và g0 : V0 → V00 thì g0.g :

V → V00 là ánh xạ tuyến tính liên kết với ánh xạ afin f0.f : A → A00.(iv) Cho n+1 điểm độc lập M0, M1, , Mn trong đó K- không gianafin n chiều A và cho n+1 điểm tùy ý M00, M10, , Mn0 trong đó K- khônggian afin A0 Khi đó có một và chỉ một ánh xạ afin f : A → A0 sao cho