Một số đặc trưng của đường cong trực đạc trong không gian lorentz minkowski 3 chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHĐẶNG HỒNG QUÂN MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG CONG TRỰC ĐẠC TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI 3 CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẶNG HỒNG QUÂN

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG CONG TRỰC ĐẠC

TRONG KHÔNG GIAN

LORENTZ - MINKOWSKI 3 CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẶNG HỒNG QUÂN

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG CONG TRỰC ĐẠC

TRONG KHÔNG GIAN

LORENTZ - MINKOWSKI 3 CHIỀU

LỜI CẢM ƠNTác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn đến các Thầy giáo, Cô giáokhoa Sư phạm Toán học, khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh đãgiúp đỡ tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học vàluận văn.

Đặc biệt tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS.Nguyễn Duy Bình đã tận tình giúp đỡ, dày công hướng dẫn, đóng góp

ý kiến giúp tác giả hoàn thành bài luận văn

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ chuyênngành Hình học - Tôpô đã dành nhiều tâm huyết truyền đạt những kiếnthức quý báu, cảm ơn tập thể học viên khóa 20 chuyên ngành Hình học

- Tôpô đã tạo mọi điều kiện giúp tác giả trong suốt quá trình học tập

và hoàn thành bài luận văn này

Nghệ An, tháng 10 năm 2014

Tác giả luận văn

2.1 Trường mục tiêu Frenet và các độ cong dọc đường cong

trong không gian E13 82.2 Một số đặc trưng của đường cong trực đạc có vận tốc đơn

vị là đường cong kiểu không gian hoặc thời gian trong

không gian E13 122.3 Một số đặc trưng của đường cong trực đạc có gia tốc đơn

vị là đường cong kiểu ánh sáng trong không gian E13 24

Lời nói đầu

Trong không gian Ơclit 3 chiều E3, với mỗi đường cong có vận tốcđơn vịα : I → E3, có thể có 3 trường vectơ đơn vị trực giao với nhau T,

N và B, tương ứng được gọi là trường vectơ tiếp xúc, pháp tuyến chính

và trùng pháp tuyến Không gian được sinh bởi trường vectơ {T, N },

{T, B} và {N, B}, tương ứng được gọi là không gian mật tiếp, khônggian trực đạc và không gian pháp Trong gian ơclit đường cong có vectơ

vị trí luôn nằm trong mặt phẳng trực đạc, được gọi là đường cong trựcđạc

Trong những năm gần đây thì đã có rất nhiều sự nghiên cứu về tínhchất của đường cong trực đạc trong không gian Ơclit , một trong nhữngđặc trưng quan trọng nhất của đường cong trực đạc là tỷ số của độ xoắn

và độ cong là hàm tuyến tuyến tính không hằng của tham số hóa độ dàicung s

Đường cong trực đạc trong không gian Minkowski 3 chiềuE13 có nhữngđặc trưng tương tự trong không gian Ơclit, nhằm mong muốn tìm hiểumột số đặc trưng của đường cong trực đạc trong không gian Minkowski

3 chiều E13 và dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Duy Bình chúng tôichọn đề tài luận văn là : " Một số đặc trưng của đường cong trựcđạc trong không gian Minkowski 3 chiều E13

Luận văn được trình bày trong 2 chương :

Chương I : Kiến thức cơ sở

Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa, các kiến thức cơbản của không gian Minkowski, tích Lorentz của các vectơ trong khônggian Minkowski, đặc trưng của không gian con và của đường cong trong

trong không gianE13

Chương II : Đường cong trực đạc trong không gian E13

Trong chương này chúng tôi trình bày về trường mục tiêu Frenet vàcác độ cong dọc đường , định nghĩa và ví dụ về đường cong trực đạc,một số đặc trưng của đường cong trực đạc trong không gian E13, cụ thểtrình bày một số đặc trưng của đường cong trực đạc có vận tốc đơn

vị là đường cong kiểu không gian hoặc thời gian và một số đặc trưngcủa đường cong trực đạc có vận tốc đơn vị là đường cong kiểu ánh sángtrong không gian E13

Vì kiến thức còn nhiều hạn chế và thời gian có hạn nên luận văn còn

có nhiều thiếu sót trong cả nội dung lẫn hình thức, chúng tôi rất mongnhận được sự chỉ bảo, góp ý của các Thầy Cô giáo và các bạn đọc đểluận văn được hoàn thiện hơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn !

Nghệ An, tháng 10 năm 2014

Đặng Hồng Quân

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Không gian Minkowski 3 chiều E31

Cho R3 là không gian véctơ thực với cấu trúc thông thường Gọi B ={E1, E2, E3} là cơ sở thông thường, với E1 = (1, 0, 0), E2 = (1, 0, 0),

ta thường gọi không gian Lorentz – Minkowski là không gian Minkowski

và tích vô hướng h, i cũng được gọi là tích vô hướng Minkowski

1.1.2 Định nghĩa Cho véctơ u ∈ E13 Khi đó số p|hu, ui| được gọi là

mô đun hay chuẩn của véctơ u Ký hiệu |u| Nếu |u| = 1 thì u được gọi

u2 u3

v2 v3

,

u3 u1

v3 v1

Trong không gian R3, ta có công thức mối liên hệ giữa tích có hướng

và tích vô hướng như sau:

(u × v)(x × y) =

ux uy

vx vy

Tương tự ta cũng xây dựng được mối liên hệ giữa tích và tích vôhướng trong không gian E13

(u × v)(x × y) = −

hu, xi hu, yi

hv, xi hv, yi

...

2.2 Một số đặc trưng đường cong trực đạc có

vận tốc đơn vị đường cong kiểu khơng gian thời gian không gian E13< /sup>

2.2.1 Định nghĩa Trong không. .. data-page="12">

Chương 2

ĐƯỜNG CONG TRỰC ĐẠC TRONG KHÔNG GIAN E 1 3< /sup>

2.1 Trường mục tiêu Frenet độ cong dọc

đường cong không gian E13< /sup>...

1.2 Đặc trưng không gian đường< /h3>

cong không gian Minkowski< /h3>

1.2.1 Định nghĩa (xem [3] )

Cho U không gian vectơ khơng gian E13< /sup>,