Từ hàm đơn điệu một biến thực đến toán tử đơn điệu trong không gian hilbert

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2TRẦN THỊ NGOAN TỪ HÀM ĐƠN ĐIỆU MỘT BIẾN THỰC ĐẾN TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ NGOAN

TỪ HÀM ĐƠN ĐIỆU MỘT BIẾN THỰC

ĐẾN TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ NGOAN

TỪ HÀM ĐƠN ĐIỆU MỘT BIẾN THỰC

ĐẾN TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Lê Dũng Mưu Sự giúp đỡ vàhướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận vănnày đã giúp tôi rất nhiều trong cách tiếp cận một vần đề mới Tôi xinbày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tôi cũng trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạođiều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

và hoàn thành luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, nhữngngười luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 07 năm 2016Tác giả luận văn

Trần Thị Ngoan

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Lê Dũng Mưu

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Các kết quả tríchdẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 07 năm 2016Tác giả luận văn

Trần Thị Ngoan

Danh mục kí hiệu thường dùng

R Tập hợp số thực

R+ Tập hợp các số thực không âm

2R Tập hợp tất cả các tập con của R

Rn Không gian Euclid n chiều

H Không gian Hilbert

2H Tập hợp tất cả các tập con của không gian Hh., i Tích vô hướng

k.k Chuẩn

|x| Giá trị tuyệt đối của x

NC Nón pháp tuyến (ngoài) của tập C tại điểm xepif Trên đồ thị của hàm f

domf Miền hữu dụng của hàm f

∂f (x) Dưới vi phân của hàm f tại điểm x

gphT Đồ thị của ánh xạ T

ri(C) Tập hợp các điểm trong tương đối của C

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Danh mục kí hiệu thường dùng iii

Mục lục i

Mở đầu 1 1 Hàm đơn điệu một biến và đơn điệu bậc cao 3 1.1 Hàm đơn điệu và các tính chất liên quan 3

1.1.1 Hàm đơn điệu 3

1.1.2 Các tính chất của hàm đơn điệu 4

1.2 Hàm đơn điệu bậc cao 14

2 Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đại 19 2.1 Không gian Hilbert 19

2.2 Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đai 24

2.2.1 Tập lồi và hàm lồi 24

2.2.2 Dưới vi phân 26

2.2.3 Toán tử đa trị đơn điệu 28

2.3 Tổng của các toán tử đơn điệu cực đại 43

3 Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu

3.1 Giới thiệu bài toán và các trường hợp riêng quan trọng 453.2 Thuật toán và sự hội tụ 483.2.1 Thuật toán điểm gần kề 483.2.2 Sự hội tụ 49

Mở đầu

Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực cơ bản và quantrọng của giải tích hiện đại đã và đang được nhiều nhà toán học hàngđầu giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể đến như E F Browder, T R.Rockfellar, J G Minty Bên cạnh các kết quả đạt được có ý nghĩaquan trọng về mặt lí thuyết, toán tử đơn điệu còn là công cụ được sửdụng nhiều và hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụng chẳng hạn nhưbất đẳng thức biến phân, cân bằng, tối ưu hóa Nó giúp ích cho việcchứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho rất nhiều các lớp bàitoán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng.Nội dung của luận văn là trình bày các kiến thức cơ bản nhất vềhàm số đơn điệu một biến thực đến toán tử đơn điệu, đơn điệu cựcđại trong không gian Hilbert Xét ứng dụng của toán tử đơn điệu cựcđại trong phương pháp điểm gần kề để giải bao hàm thức

Mục đích chính của luận văn là bước đầu giúp em làm quen vớicông việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về hàm đơn điệumột biến thực, toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert và phươngpháp điểm gần kề giải bao hàm thức với toán tử đơn điệu Qua đóthấy được sự phát triển của lí thuyết toán tử đơn điệu và một ứngdụng quan trọng trong việc giải bao hàm thức, cụ thể là:

Nghiên cứu về các điều kiện cần và đủ cho hàm đơn điệu một biếnthực cùng với các tính chất cơ bản của chúng Tiếp đến mở rộng racho toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert

Sau đó nghiên cứu về tính đơn điệu cực đại của tổng hai toán tửđơn điệu cực đại

Phần cuối của luận văn dành để giới thiệu phương pháp điểm gần

kề giải bao hàm thức với toán tử đơn điệu cực đại

Những nội dung trên được tổng hợp từ các nguồn tài liệu khácnhau về hàm đơn điệu một biến thực và toán tử đơn điệu trong khônggian Hilbert

Với nội dung này, hi vọng bản luận văn: “Từ hàm đơn điệu mộtbiến thực đến toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert” sẽ là mộttài liệu tham khảo cho những ai quan tâm đến đề tài này

và các điều kiện liên quan đến đạo hàm cấp 1 và cấp 2 Các khái niệm

và kết quả được tham khảo từ tài liệu [2], [3]

Đặc biệt, khi ứng với mỗi cặp x1, x2 ∈ I(a, b) và x1 < x2, ta đều có

f (x1) < f (x2) thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu tăng thực sựtrên I(a, b)

Ngược lại, nếu với mọi x1, x2 ∈ I(a, b) và x1 < x2, ta đều có

f (x1) ≥ f (x2) thì ta nói rằng f (x) là hàm đơn điệu giảm trên I(a, b)

Đặc biệt, khi ứng với mỗi cặp x1, x2 ∈ I(a, b) và x1 < x2, ta đều có

f (x1) > f (x2) thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm thực sựtrên I(a, b)

Ví dụ 1.1 Hàm y = f (x) = x2 là hàm đơn điệu giảm thực sự trên(−∞, 0] và là hàm đơn điệu tăng thực sự trên [0, +∞)

Định nghĩa 1.2 Giả sử f (x), g(x) là các hàm trên [a, b] và khả vitrên (a, b) Khi đó:

i) f (x), g(x) và được gọi là cùng tính đơn điệu nếu f0(x) · g0(x) > 0.ii) f (x), g(x) và được gọi là khác tính đơn điệu nếu f0(x)·g0(x) < 0.1.1.2 Các tính chất của hàm đơn điệu

Định lý 1.1 Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b)

a) Nếu f0(x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a, b) ⇔ hàm số y = f (x) đơn điệutăng trên khoảng đó

b) Nếu f0(x) ≤ 0 với mọi x ∈ (a, b) ⇔ hàm số y = f (x) đơn điệugiảm trên khoảng đó

Chứng minh Lấy hai điểm x1, x2 (x1 < x2) trên khoảng (a, b) Vì

f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b) nên f (x) liên tục trên [a, b] và cóđạo hàm trong khoảng (x1, x2) Áp dụng định lí Lagrange cho hàm số

y = f (x) trên [x1, x2], khi đó tồn tại c ∈ (x1, x2) sao cho:

f (x2) − f (x1) = f0(c)(x2 − x1)

a) Nếu f0(x) > 0 trên (a, b) thì f0(c) > 0, mặt khác x2 − x1 > 0nên f (x2) − f (x1) > 0 hay f (x2) > f (x1), suy ra hàm số f (x) đơnđiệu tăng trên khoảng đó

b) Nếu f0(x) < 0 trên (a, b) thì f0(c) < 0, mặt khác x2− x1 > 0 nên

f (x2) − f (x1) < 0 hay f (x2) < f (x1), suy ra hàm số f (x) đơn điệugiảm trên khoảng đó

Định lý 1.2 Hàm f (x) xác định trên R+ là một hàm đơn điệu tăngkhi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a1, a2, , an và x1, x2, , xn, tađều có:

Lấy tổng theo j (j = 1, 2, , n), từ (1.2) ta thu được (1.1)

Ngược lại, với n=2, từ (1.1) ta có:

được thỏa mãn với mọi bộ số dương x1, x2, , xn, điều kiện cần và đủ

là hàm g (x) := f (x)x là đơn điệu tăng trên R+

Chứng minh Nhận xét rằng, ta có hàm số f (x) = xg(x) và (1.4) sẽ

max g(x) ≤ 2 min g(x)

ta dễ dàng chứng minh rằng (1.5) được thỏa mãn Chẳng hạn, ta thấyhàm số

g(x) = 3 + sin x, x ∈ R+thỏa mãn điều kiện trên và vì vậy nó thỏa mãn điều kiện (1.5) Tuynhiên hàm g(x) không phải là hàm đơn điệu tăng trên R+ Nếu bổ xungthêm điều kiện g (x) := f (x)x là hàm đồng biến trên R+ và x1, x2, , xn,

là bộ số gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu được bất đẳng thức thực sự:

Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơnđiệu giảm

Định lý 1.4 Hàm f (x) xác định trên R+ là một hàm đơn điệu giảmkhi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a1, a2, , an và x1, x2, , xn, tađều có:

a < 0) trong mỗi khoảng tùy ý cho trước Các định lí tiếp theo sẽ cho

ta thấy rõ hơn về đặc trưng (bất đẳng thức hàm) của hàm tuyến tính.Định lý 1.6 Giả thiết rằng với mọi cặp bộ số dương

f (x)

x ≥ f (y)

y , ∀x, y ∈ R+

Lấy tổng theo k, ta thu được (1.7), chính là điều phải chứng minh.

Định lý 1.8 Giả thiết rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên(0, +∞) và dãy {ak} là một dãy tăng trong (0, +∞) Khi đó, ta luôncó

Lấy tổng theo k, ta thu được (1.8), chính là điều phải chứng minh.

Định lý 1.9 Giả thiết rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên[0, +∞) và f (0) = 0 Gọi f−1(x) là hàm ngược của f (x) Khi đó taluôn có

ab ≤

Z a 0

f (x)dx +

Z b 0

f−1(x)dx, ∀a, b ≥ 0

Chứng minh Bất đẳng thức được suy trực tiếp bằng cách so sánh diệntích tạo bởi đường cong y = f (x) và x = g(y) với diện tích hình chữnhật tạo bởi x = 0, x = a; y = 0, y = b

Hệ quả 1.2 Giả thiết rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên[0, +∞) và f (0) = 0 Gọi f−1(x) là hàm ngược của f (x) Khi đó taluôn có

f (x)dx +

Z b

f (α)

f−1(x)dx > ab − αf (α)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (a) = b

Chứng minh Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn x = α, x =a; y = 0, y = f (x) thì

S1 =

Z a α

f (x)dx

Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = f (α), x = b; y =

Gọi S0 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = 0, x = α; y =

0, y = f (α), thì S0 = αf (α) Trong cả hai trường hợp f (a) ≤ b hoặc

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (a) = b

Định lý 1.11 Cho hàm số y = f (x) liên tục và đơn điệu giảm trên[0, b], ∀a ∈ [0, b] Khi đó ta luôn có

b

Z a 0

f (x)dx ≥ a

Z b 0

f (x)dx ≤ a

Z b 0

f (x)dx ≤ f (a)

Z b a

dx = (b − a)f (a)

Vậy nên

f (a) ≥ 1

b − a

Z b a

Mặt khác, khi 0 < x ≤ a, thì f (x) ≥ f (a) Suy ra

Z a 0

f (x)dx ≥

Z a 0

f (a)dx = af (a)

hay

1a

Z a 0

Từ (1.10) và (1.11), suy ra

1a

Z a 0

f (x)dx ≥ f (a) ≥ 1

b − a

Z b a

f (x)dxhay

1a

Z a 0

f (x)dx ≥ 1

b − a

Z b a

Do đó

(b − a)

Z a 0

f (x)dx ≥ a

Z b a

f (x)dx

hay

(b − a)

Z a 0

f (x)dx ≥ a

Z 0 a

f (x)dx +

Z b 0

f (x)dx ≥ a

Z b 0

Ta chứng minh rằng, dấu đẳng thức xảy ra khi a = b hoặc a = 0

Thật vậy, nếu tồn tại c ∈ (0, b) sao cho

b

Z c 0

f (x)dx = c

Z b 0

f (x)dx

thì

1c

Z c 0

f (x)dx = 1

b

Z b 0

f (x)dx = 1

b − c

Z b c

f (x)dx

Vậy

1c

Z c 0

f (x)dx = 1

b − c

Z b c

f (x)dx > a

Z 1 0

f (x)dx

Nếu b = 1 và f (x) liên tục và đồng biến trên [0, 1] thì ∀a ∈ [0, 1], tađều có

Z a 0

f (x)dx ≤ a

Z 1 0

Khi đó với mọi bộ trọng (pj):

Chứng minh Theo giả thiết thì

0 ≤ [f (xk) − f (xj)] [g(xk) − g(xj)] hay

1.2 Hàm đơn điệu bậc cao

Định nghĩa 1.3 Hàm số f (x) có đạo hàm cấp n, (n ∈ N∗) khôngđổi dấu trong khoảng (a, b) được gọi là đơn điệu ngặt (thực sự bậc n).Nếu f(n)(x) > 0, ∀x ∈ (a, b) thì ta nói hàm số f (x) đơn điệu tăng bậc

n trong khoảng đó

Định nghĩa 1.4 Hàm số f (x) có đạo hàm cấp n, (n ∈ N∗) không đổidấu trong khoảng (a, b) được gọi là đơn điệu ngặt (thực sự bậc n) Nếu f(n)(x) < 0, ∀x ∈ (a, b) thì ta nói hàm số f (x) đơn điệu giảmbậc n trong khoảng đó

Định nghĩa 1.5 Nếu hàm số f (x) đồng thời có đạo hàm bậc nhất

và bậc hai dương trong I(a, b) thì ta nói hàm số f (x) đơn điệu tăngliên tiếp bậc (1, 2) trong I(a, b)

Định nghĩa 1.6 Nếu hàm số f (x) đồng thời có đạo hàm bậc nhất

và bậc hai âm trong I(a, b) thì ta nói hàm số f (x) đơn điệu giảm liêntiếp bậc (1, 2) trong I(a, b)

Ví dụ 1.2 Hàm f (x) = x4 là hàm đơn điệu tăng bậc 2 trên (0, +∞)

và là hàm đơn điệu giảm bậc 2 trên (−∞, 0)

Định lý 1.13 Với mọi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2n+1,

n ∈ N∗ và f2n+1(x) 6= 0 với mọi x ∈ (a, b), đều tồn tại đa thức P2n(x)bậc không quá 2n sao cho hàm số

h(x) := f (x) − P2n(x)đơn điệu trong khoảng (a,b)

Định lý 1.14 Với mọi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2n,

n ∈ N∗ và f2n+1(x) 6= 0 với mọi x ∈ (a, b), đều tồn tại đa thức P2n(x)bậc không quá 2n − 1 sao cho hàm số

h (x) := f (x) − P2n−1(x)

lồi hoặc lõm trong khoảng (a,b).

Nhận xét 1.1 Nếu hàm số f (x) đơn điệu tăng (giảm) liên tiếp bậc(1, 2) trong I(a, b) thì với mọi v ∈ uf0(x), ∀x ∈ I(a, b), phương trình

f0(x) = v luôn có nghiệm duy nhất, kí hiệu f−10 (x) = v thuộc I(a, b) Nhận xét 1.2 Nếu hàm số f (x) lồi (lõm) và có đạo hàm bậc nhất làcác hàm số âm (dương) trên I(a, b) thì với mọi v ∈ uf0(x), ∀x ∈ I(a, b),phương trình f0(x) = v luôn có nghiệm duy nhất, kí hiệu f−10 (x) = vthuộc I(a, b)

Định lý 1.15 Giả sử n ∈ N∗ là một số chẵn và hai dãy số

fk(xk) = fk(yk) + f

0

k(yk)1! (xk − yk) + + f

n−1

k (yk)(n − 1)! (xk − yk)n−1

+f

n

k (yk)n! (xk − yk)n (1.17)

Trong đó, yk nằm trong khoảng min {xk, yk}, max {xk, yk} Theogiả thiết các hàm fk(t) có fkn−1(yk) > 0, k = 1, 2, , n và đồng biếnbậc n trên I(a,b) nên ta có

fk(xk) = fk(yk) + f

0

k(yk)1! (xk − yk) + + f

n−1

k (yk)(n − 1)! (xk − yk)n−1

+f

n

k (yk)n! (xk − yk)n (1.18)

x1 + x2 + + xn = y1 + y2 + + yn, xk 6= yk, k = 1, 2, , n.Dấu đẳng thức sảy ra khi xk = yk, k = 1, 2, 3 n

Định lý 1.16 Giả sử n ∈ N∗ là một số lẻ và hai dãy số

{xk, yk ∈ I (a, b) , k = 1, 2, , n}

thỏa mãn các điều kiện

x1 + x2 + + xn = y1 + y2 + + yn, xk 6= yk, k = 1, 2, , nKhi đó, ứng với mọi hàm f1(t) , f2(t) , , fn(t) đồng nhất bậc n

trên I(a,b) sao cho f1n−1(yk) > 0, k = 1, 2, , n, ta đều có

{xk, yk ∈ I (a, b) , k = 1, 2, , n}

thỏa mãn điều kiện

x1 + x2 + + xn = y1 + y2 + + yn, xk 6= yk, k = 1, 2, , n.Khi đó, ứng với mọi hàm f1(t) , f2(t) , , fn(t) đồng nhất bậc n

trên I(a,b) sao cho f1n−1(yk) < 0, k = 1, 2, , n, ta đều có

Định nghĩa 2.1 Cho H là không gian vectơ trên R, tích vô hướngxác định trong H là một ánh xạ h., i : H × H −→ R thỏa mãn cácđiều kiện sau đây:

Số hx, yi gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y ;

Các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 2.2 Cặp (H, h., i), trong đó H là một không gian tuyếntính trên R, h., i là tích vô hướng trên H được gọi là không gian tiềnHilbert thực

Ví dụ 2.1 Rn là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng

|hx, yi|2 ≤ hx, xi · hy, yi (2.1)

Chứng minh Với y = 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Giả sử y 6= 0, khi đó với mọi số λ ∈ R ta đều có

hx + λy, x + λyi ≥ 0

tức là

hx, xi + λhy, xi + λhx, yi + |λ|2hy, yi ≥ 0chọn

Định lí được chứng minh.

Định lý 2.2 Mọi không gian tiền Hilbert H là không gian tuyến tínhđịnh chuẩn, với chuẩn được xác định bởi công thức

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng

Chứng minh Với mọi số thực λ ta có:

0 ≤ hx − λy, x − λyi = hx, xi − 2λhx, yi + λ2hy, yi

cho nên tam thức bậc hai theo λ có biệt thức ∆ ≤ 0 :

|hx, yi|2 − hx, xi · hy, yi ≤ 0hay

Ví dụ 2.2 Rk là không gian Hilbert với tích vô hướng của hai vectơ

x(t)y(t)dt, ∀x(t), y(t) ∈ C [a, b] Khi đó

• Không gian C[a, b] với chuẩn

kxk = max

a≤t≤b|x(t)|

là không gian Hilbert

• Nhưng không gian C[a.b] với chuẩn

kxk =

Z b a

|x(t)|2dt

1 2

lại không phải là không gian Hilbert

Định lý 2.4 Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H ta luôn cóđẳng thức hình bình hành sau

kx + yk2 + kx − yk2 = 2

kxk2 + kyk2

2.2 Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đai

b) Các hình vuông hay các hình elip đều là các tập lồi

Định nghĩa 2.4 • Một tập C ⊆ H được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu

∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C

• C được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu C − x0 là nón có đỉnh tại 0

• Nón C có đỉnh tại x0 được gọi là nón lồi nếu C là một tập lồi Từđây suy ra

∀x ∈ C, λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C

Định nghĩa 2.5 Cho C ⊂ H, khi đó ta có các định nghĩa

• Tập C được gọi là tập affine nếu

• Phần trong tương đối của C ⊂ H là phần trong của C trong affC

và được kí hiệu là riC, một cách tương đương ta có

riC := {x ∈ affC : ∃ ε > 0, (x + εB)∩ affC ⊂ C.}

trong đó B là hình cầu đơn vị mở trong H.

Định nghĩa 2.8 Hàm f : H → (−∞, +∞] được gọi là

• Lồi trên C nếu