Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian hilbert

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC LỢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC

những thông tin cần thiết ?

! H∙y đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước khi

đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào mỗi đề mục để đọc toàn bộ dòng bị che khuất )

!Chọn đề mục muốn đọc và nháy chuột vào đó

trang báo cáo trên màn hình ?

! Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích th Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích thưưưước ớc

có sẵn trên thanh Menu

, hoặc

! Mở View trên thanh Menu, Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to Mở View trên thanh Menu, Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to Chọn Zoom to

! Chọn tỷ lệ có sẵn trong hộp kích th Chọn tỷ lệ có sẵn trong hộp kích thưưưước ớc hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn,

hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn, Nhấn OK , , Nhấn OK Nhấn OK

Chúc bạn hài lòng với những thông tin đ với những thông tin đưưưược cung cấp ợc cung cấp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN ĐỨC LỢI

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN ĐỨC LỢI

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Mục lục

Lời cảm ơn ii

Bảng ký hiệu iii

Mở đầu 1

1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 3 1.1 Không gian Hilbert thực 3

1.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 11

2 Phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 15 2.1 Mô tả phương pháp 18

2.2 Sự hội tụ mạnh 19

Kết luận 30

Tài liệu tham khảo 32

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Thu Thủy.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn về sự tận tâm và nhiệt tình của Côtrong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo

sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thôngtin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, trường Đại họcKhoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các Thầy Cô trongĐại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thứcphục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân Tác giả xinbày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo,Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đãquan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường.Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn

vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốtnhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu

Tác giả

Nguyễn Đức Lợi

BẢNG KÝ HIỆU

R trường số thực

Rn không gian Euclide n-chiều

|x| giá trị tuyệt đối của x

||x|| chuẩn của véctơ x

hx, yi tích vô hướng của hai phần tử x và yB(x, ρ) hình cầu mở tâm x, bán kính ρ > 0B(x, ρ) hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ > 0int C phần trong của tập hợp C

∂C biên của tập hợp C

D(F ) miền xác định của ánh xạ F

Mở đầu

Bất đẳng thức biến phân được Stampacchia [7] đưa ra nghiên cứuvào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứu bài toán biêncủa phương trình đạo hàm riêng Kể từ đó bất đẳng thức biến phân

và phương pháp giải bài toán này luôn là một đề tài thời sự, đượcnhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert H đượcphát biểu như sau:

Tìm phần tử u∗ ∈ C sao cho : hF (u∗), v − u∗i ≥ 0, ∀v ∈ C, (1)

ở đây C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và F : C → H làmột ánh xạ phi tuyến Bất đẳng thức biến phân (1) tương đương vớibài toán điểm bất động:

u∗ = PC(u∗ − µF (u∗)), (2)

trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng sốtùy ý Nếu ánh xạ F đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C vàhằng số µ > 0 đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (2)

là ánh xạ co Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãylặp Picard

xn+1 = PC(xn− µF (xn))

hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (1) Phương pháp nàyđược gọi là phương pháp chiếu Phương pháp chiếu không dễ dàngthực thi vì nó phụ thuộc vào độ phức tạp của tập lồi C bất kỳ Đểkhắc phục nhược điểm này, Yamada [9] (xem thêm [5]) đã đề xuấtphương pháp lai đường dốc nhất vào năm 2001 để giải bất đẳng thứcbiến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong khônggian Hilbert H Từ đó đến nay đã có nhiều công trình mở rộng hướngnghiên cứu của Yamada để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trêntập điểm bất động của ánh xạ không giãn theo hướng làm giảm nhẹđiều kiện đặt lên thuật toán này hoặc mở rộng cho bài toán tổng quáthơn đối với họ hữu hạn, họ vô hạn đếm được hay họ vô hạn khôngđếm được các ánh xạ không giãn.

Mục đích của luận văn là trình bày một cải biên của phương pháplai đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bấtđộng chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trongkhông gian Hilbert trên cơ sở bài báo [6] công bố năm 2012

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert thực và bàitoán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert cùng phươngpháp lai đường dốc nhất giải bài toán này

Trong chương 2 trình bày hai phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bấtđẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạnđếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân trong

không gian Hilbert

Chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức và kết quả cơ bản

về không gian Hilbert thực, ánh xạ không giãn và bất đẳng thức biếnphân trong không gian Hilbert Các kiến thức của chương này đượcviết dựa trên các tài liệu [1], [2] và [7]

1.1 Không gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính H xác định trên trường sốthực R được gọi là không gian tiền Hilbert nếu trong đó xác định mộthàm hai biến h·, ·i : H × H → R thỏa mãn các tính chất sau:

(i) hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H và hx, xi = 0 ⇔ x = 0;

(ii) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ H;

(iii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ H;

(iv) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R

Hàm h·, ·i thỏa mãn bốn tính chất trên được gọi là tích vô hướng

trên H và hx, yi là tích vô hướng của hai phần tử x và y.

Nhận xét 1.1 Mọi không gian tiền Hilbert H là không gian tuyếntính định chuẩn với chuẩn của x ∈ H xác định bởi ||x|| = phx, xi.Định nghĩa 1.2 Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là khônggian Hilbert

Ví dụ 1.1 Rn là một không gian Hilbert với tích vô hướng

trong đó x = (x1, x2, ), y = (y1, y2, ) là các dãy số thực trong l2

Bổ đề 1.1 Cho H là không gian Hilbert thực Khi đó các biểu thứcsau đúng:

(i) ||tx + (1 − t)y||2 = t||x||2 + (1 − t)||y||2 − t(1 − t)||x − y||2 vớimọi x, y ∈ H và t ∈ [0, 1]

(ii) ||x + y||2 ≤ ||x||2 + 2hy, x + yi với mọi x, y ∈ H

Định nghĩa 1.3 Dãy {xn}∞n=1 trong không gian Hilbert H được gọi

là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu lim

Định nghĩa 1.4 Tập hợp C ⊂ H được gọi là tập lồi nếu

∀x1, x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C

Ví dụ 1.3 Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng,đường thẳng, tam giác, hình cầu là các tập lồi

Định nghĩa 1.5 Tập C ⊆ H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy hội

tụ {xn} ⊂ C đều có giới hạn thuộc C, tức là

n

∀{xn} ⊂ C : xn → xo ⇒ x ∈ C

Ví dụ 1.4 Hình cầu đóng B(¯x, r) = {x ∈ H : ||x − ¯x|| ≤ r} tâm ¯x,bán kính r > 0 là tập đóng

Định nghĩa 1.6 Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của khônggian Hilbert thực H, F : C → H là một ánh xạ Ánh xạ F được gọilà:

(i) L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho

||F (x) − F (y)|| ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈ C

Nếu 0 < L < 1 thì F được gọi là ánh xạ co, nếu L = 1 thì F được gọi

là ánh xạ không giãn;

(ii) bị chặn Lipschitz trên C nếu với mỗi tập con bị chặn B của C,

F là ánh xạ L-liên tục Lipschitz trên B;

(iii) đơn điệu trên C, nếu

hF (x) − F (y), x − yi ≥ 0 , ∀x, y ∈ C;

(iv) η-đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số η dương sao

hF (x) − F (y), x − yi ≥ η||x − y||2, ∀x, y ∈ C

Định nghĩa 1.7 Cho H là không gian Hilbert thực, C ⊂ H là tậplồi đóng, khác rỗng Ánh xạ T : C → C được gọi là κ-giả co chặt nếutồn tại một hằng số κ ∈ [0, 1) sao cho

||T (x) − T (y)||2 ≤ ||x − y||2+ κ||(I − T )(x) − (I − T )(y)||2, ∀x, y ∈ C,

ở đây I là toán tử đồng nhất trong không gian Hilbert H

Trong định nghĩa này, nếu κ = 0 thì T là một ánh xạ không giãn

Vì thế lớp các ánh xạ không giãn chứa trong lớp các ánh xạ κ-giả cochặt

Bổ đề 1.2 Cho H là không gian Hilbert thực, F : H → H là một ánh

xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz, hằng số µ cố định thỏamãn 0 < µ < 2η/L2 Khi đó I − µF là ánh xạ co với hằng số co 1 − τ ,trong đó τ = 1

2µ(2η − µL

2)

Bổ đề 1.3 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gianHilbert thực H và T : C → C là ánh xạ không giãn Nếu có một dãy{xn} trong C sao cho xn * z và (I − T )xn → y, thì (I − T )z = y

Bổ đề 1.4 Cho H là không gian Hilbert thực, dãy {xk} ⊂ H bị chặn.Khi đó

Chứng minh Với bất kỳ số nguyên dương m, đặt Sm =

ωkxk hội tụ, nên lim

m→∞Rm = 0 Vậy ta có điều phải chứngminh

Cho H là không gian Hilbert thực, C ⊂ H là tập con lồi đóng của

Định lý 1.1 Cho C ⊂ H là tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗngtrong không gian Hilbert H, T : C → C là một ánh xạ không giãn.Khi đó, tồn tại duy nhất phần tử ¯x ∈ C sao cho T (¯x) = ¯x.

Mối liên hệ giữa tập điểm bất động của ánh xạ không giãn và tậpđiểm bất động của ánh xạ giả co chặt được trình bày trong bổ đề sau

Bổ đề 1.5 Giả sử T : H → H là một ánh xạ κ-giả co chặt, và α làmột hằng số thỏa mãn điều kiện κ ≤ α < 1 Đặt

khi đó Tα là ánh xạ không giãn và Fix(Tα) = Fix(T )

Bổ đề 1.6 Cho H là không gian Hilbert thực và Tk : H → H (k =

1, 2, ) là một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn với F 6= ∅.Đặt T =

Tiếp theo ta dễ thấy rằng F ⊂ Fix(

Bổ đề 1.7 Cho H là không gian Hilbert thực và Tk : H → H (k =

1, 2, ) là một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn với F 6= ∅

kx − PC(x)k ≤ kx − yk với mọi y ∈ C.

Một tính chất quan trọng của phép chiếu mêtric được trình bàytrong bổ đề sau:

Bổ đề 1.8 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gianHilbert thực H Cho x ∈ H và z ∈ C, khi đó z = PC(x) nếu và chỉnếu

hx − z, y − zi ≤ 0, ∀y ∈ C (1.4)

1.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi, đóngkhác rỗng của H Ánh xạ phi tuyến F : C → H là đơn trị

Định nghĩa 1.9 Bài toán tìm phần tử x∗ ∈ C thỏa mãn

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C, (1.5)

được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân ( variational inequalityproblem), ký hiệu là VI(F, C)

Tập nghiệm của bài toán (1.5) được ký hiệu là Sol(VI(F, C))

Ví dụ 1.5 Cho f (x) là một hàm thực khả vi trên K = [a, b] Bàitoán tìm x0 ∈ K sao cho

Bổ đề 1.9 Giả sử C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của khônggian Hilbert thực H, F : C → H là ánh xạ liên tục L-Lipschitz vàη-đơn điệu mạnh Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.5) có duy nhấtnghiệm.

Nhận xét 1.2 Phần tử x∗ ∈ int C là nghiệm của bài toán (1.5) khi

và chỉ khi F (x∗) = 0

Chứng minh (⇒) Giả sử x∗ ∈ Sol(VI(F, C))∩ intC Chọn ε > 0 saocho B(x∗, ε) ⊂ C, ở đây B(x∗, ε) = {x ∈ C : ||x − x∗|| < ε} Ta cóB(x∗, ε) = x∗ + εB(0, 1) Thay x = x∗ + εv, v ∈ B(0, 1) vào bất đẳngthức (1.5) ta được

Suy ra hF (x∗), vi = 0 với mọi v ∈ B(0, 1) Do đó F (x∗) = 0

Ngược lại, nếu F (x∗) = 0 thì bất đẳng thức (1.5) được thỏa mãn

Nhận xét 1.3 Việc tìm x∗ ∈ ∂C thỏa mãn (1.5) tương đương vớiviệc giải bao hàm thức 0 ∈ F (x) + NC(x∗), trong đó ∂C = C \ int C.

Ví dụ 1.6 Lấy H = R, F (x) = x2, C = (−∞; 1] Khi đó,

Sol(VI(F, C)) = {0}

Định lý 1.2 Giả sử ánh xạ F : C → H bị chặn Lipschitz trên C vàη-đơn điệu mạnh trên C Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.5) có duynhất nghiệm x∗ ∈ C thỏa mãn

||x∗ − u|| ≤ 1

trong đó u ∈ C là một điểm tùy ý

Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đóng vai trò quan trọng trongnghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn phương trình vi phân,điều khiển tối ưu, tối ưu hóa, quy hoạch toán học, cơ học, tài chính, Như phần Mở đầu đã đề cập đến, một trong những phương phápgiải bất đẳng thức biến phân là dựa trên cách tiếp cận thông qua điểmbất động Nội dung của phương pháp này là đưa bất đẳng thức biếnphân về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ nghiệm thíchhợp Bài toán (1.5) tương đương với

x∗ = PC(x∗ − µF (x∗)), (1.7)

trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số Nếu

F là ánh xạ η-đơn điệu mạnh, L-liên tục Lipschitz trên C và µ > 0

đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (1.7) là ánh xạ co

Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp Picard

xn+1 = PC(xn− µF (xn))

hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (1.5) Phương phápnày được gọi là phương pháp chiếu Phương pháp chiếu có ưu điểm

là tốc độ hội tụ nhanh Tuy nhiên với phương pháp này thì việc tínhtoán phép chiếu mêtric PC không dễ tính toán vì phụ thuộc vào độ sựphức tạp của tập con lồi, đóng bất kỳ C Để khắc phục khó khăn này,Yamada đã đề xuất phương pháp lai đường dốc nhất (hybrid steepestdescent) vào năm 2001 để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểmbất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert như sau:Cho H là không gian Hilbert thực và T : H → H là một ánh xạ khônggiãn sao cho C = Fix(T ) 6= ∅ Giả sử F : H → H là một ánh xạ η-đơnđiệu mạnh và L-liên tục Lipchitz trên D(F ) Cho µ ∈



0, 2η

L2

và{λn}n≥1 ⊂ (0, 1] là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện:

Chương 2

Phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm

bất đẳng thức biến phân trong

không gian Hilbert

Chương này trình bày kết quả trong [6] về phương pháp lai đườngdốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động củamột họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gianHilbert

Cho H là một không gian Hilbert thực, {Tn}∞n=1 : H → H là một

họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn Đặt F =

∞

T

n=1

Fix(Tn).Trong chương này ta xét bài toán V I(F, F ):

Tìm phần tử x∗ ∈ F sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ F , (2.1)

ở đây F : H → H là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tụcLipschitz Theo Bổ đề 1.9, bất đẳng thức biến phân (2.1) có duy nhấtnghiệm

Một số phương pháp lặp giải bài toán (2.1) thường dùng đến Wnánh xạ xác định bởi các ánh xạ không giãn Tn, Tn−1, , T1 và các số

-thực αn, αn−1, , α1 được giới thiệu bởi Takahashi và Shimoji:

γn ∈ [a, 1/2], a > 0 hội tụ mạnh tới nghiệm của bài toán (1.5)

Năm 2013, Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Hồng Phương (xem [3])

đã đề xuất hai phương pháp lặp ẩn trong không gian Banach:

và đòi hỏi quá trình tính toán lớn.

Trong [6], tác giả đã đưa ra một nghiên cứu mới, bằng việc sử dụngánh xạ Ln xác định bởi (1.3) trong Bổ đề 1.7 để tìm nghiệm của bấtđẳng thức biến phân đơn điệu, liên tục Lipchitz trên tập điểm bấtđộng chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trongkhông gian Hilbert Ánh xạ Ln đơn giản hơn ánh xạ Wn và Vn, khôngchứa nhiều tính toán trên các ánh xạ Ti, có cấu trúc đơn giản hơn,

dễ thực thi hơn, đồng thời ta có thể sử dụng tính toán song song khidùng ánh xạ này

Mở rộng kết quả trên của Songnian và Wenwen, năm 2014 trong [4]các tác giả đã đề xuất hai phương pháp lặp hiện mới