Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j đơn điệu trong không gian banch

Từ đó phương pháp bất đẳng thức biến phân được quan tâm nghiêncứu rộng rãi và trở thành một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựngcác kỹ thuật để giải số nhiều bài toán trong kinh tế và kỹ

NGUYỄN MINH HẢI

HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN J-ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: TO¸N øng dông

Mã số: 60 46 01 12

luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

Mục lục

Bảng ký hiệu 3

Mở đầu 4

1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 8 1.1 Không gian Banach 8

1.1.1 Không gian Banach lồi đều, trơn đều 8

1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu 10

1.1.3 Ánh xạ j-đơn điệu 10

1.2 Bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh 12

1.2.1 Bài toán đặt không chỉnh 12

1.2.2 Bài toán điểm bất động 15

1.2.3 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 17 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 21 2.1 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 21

2.1.1 Mô tả phương pháp 21

2.1.2 Sự hội tụ 22

2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 28

2.2.1 Phương pháp lặp ẩn 28

2.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 31

BẢNG KÝ HIỆU

X không gian Banach thực

X∗ không gian liên hợp của X

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền giá trị của toán tử A

Fix(T ) Tập điểm bất động của toán tử T

H không gian Hilbert

C tập con lồi đóng của H

I ánh xạ đơn vị

PC Phép chiếu mêtrix H lên tập con lồi đóng C của H

xn → x dãy {xn} hội tụ mạnh tới x

xn * x dãy {xn} hội tụ yếu tới x

x∗ ∈ C : hAx∗, j(x − x∗)i ≥ 0 ∀x ∈ C, (0.1)

ở đây j(x − x∗) ∈ J (x − x∗), J : X → 2X∗ là ánh xạ đối ngẫu của X.Nếu X := H là một không gian Hilbert thực thì bất đẳng thức biếnphân VI∗(A, C) trở thành bài toán tìm phần tử x∗ ∈ H thỏa mãn

x∗ ∈ C : hAx∗, x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (0.2)Bài toán (0.2) ký hiệu là VI(A, C)

Bất đẳng thức biến phân VI(A, C) được đưa ra và nghiên cứu đầutiên bởi Stampacchia (xem [8]) vào những năm đầu của thập kỷ 60trong khi nghiên cứu bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng

Từ đó phương pháp bất đẳng thức biến phân được quan tâm nghiêncứu rộng rãi và trở thành một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựngcác kỹ thuật để giải số nhiều bài toán trong kinh tế và kỹ thuật Mặc

dù đã có rất nhiều kết quả nghiên cứu về phương pháp giải bất đẳng

thức biến phân, nhưng việc cải tiến các phương pháp nhằm gia tănghiệu quả của nó luôn là một đề tài thời sự, được nhiều nhà toán họcquan tâm nghiên cứu.

Trong [4] đã chỉ ra rằng bất đẳng thức biến phân VI∗(A, C) trongkhông gian Banach lồi đều và trơn đều tương đương với bài toán điểmbất động:

x∗ = QC(x∗ − µAx∗), (0.3)

ở đây µ > 0 là hằng số tùy ý và QC là một ánh xạ co rút không giãntheo tia từ X lên C Do đó, phương pháp chiếu và một số biến thểcủa phương pháp có thể được dùng để giải bất đẳng thức biến phân(0.1) Tuy nhiên, ánh xạ co rút không giãn theo tia không dễ dàngtính toán khi C là một tập lồi đóng bất kỳ của X Để giảm hạn chếnày, trong không gian Hilbert, khi ánh xạ co rút không giãn là phépchiếu mêtric PC chiếu X lên C, Yamada [11] đã giả thiết C là tậpđiểm bất động của ánh xạ không giãn T : H → H và đưa ra phươngpháp lai đường dốc nhất (hybrid steepest-descent) giải bất đẳng thứcbiến phân VI(A, C) Phương pháp này được phát triển từ không gianHilbert sang không gian Banach, từ một ánh xạ lên một họ các ánhxạ

Chú ý rằng, bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn, nóichung, là bài toán đặt không chỉnh Do đó, bài toán bất đẳng thứcbiến phân VI∗(A, C) hay VI(A, C), nói chung, cũng là những bài toánđặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm của bài toán không phụ thuộcliên tục vào dữ kiện ban đầu Để giải bài toán này, chúng ta phải

sử dụng những phương pháp giải ổn định Một trong những phươngpháp được sử dụng rộng rãi và khá hiệu quả là phương pháp hiệuchỉnh Browder–Tikhonov (xem [3] và các tài liệu trích dẫn).

Mục đích của đề tài luận văn nhằm trình bày lại một kết quả nghiêncứu mới đây trong [9] của TS Nguyễn Thị Thu Thủy về hiệu chỉnhbất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tập điểm bất động của một

họ đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Banach

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương

1 với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach"nhằm giới thiệu một số khái niệm và tính chất về không gian Banachlồi đều, trơn đều; Ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ khônggiãn; Bài toán đặt không chỉnh, bài toán điểm bất động và bất đẳngthức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Nộidung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1]-[3]

Chương hai với tiêu đề "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơnđiệu" nhằm giới thiệu về bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tậpđiểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn;trình bày hai phương pháp giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu,

đó là phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov và phương pháphiệu chỉnh lặp Nội dung của chương này được viết từ bài báo [9].Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Tiến sĩNguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành vàsâu sắc nhất tới cô

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo

sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thôngtin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các Thầy

Cô trong Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiềukiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân Tácgiả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, các bạn đồngnghiệp tại trường PTDT Nội trú cấp II-III Bắc Quang, Hà Giang đãquan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành khóahọc

Xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp cao học Toán K7A đã đoànkết, đùm bọc và giúp đỡ nhau trong toàn khóa học

Cuối cùng xin được gửi lời biết ơn sâu sắc đến những người thântrong gia đình tôi, những người luôn động viên, khuyến khích và giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập Thành quả đạt được chính là mónquà mà tôi muốn dành tặng gia đình thân yêu của mình

Tác giảNguyễn Minh Hải

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân trong

không gian Banach

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và tínhchất về không gian Banach lồi đều, trơn đều; trình bày khái niệm vàmột vài tính chất của ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu, ánh xạkhông giãn; Trong phần thứ hai của chương, chúng tôi giới thiệu vềbài toán đặt không chỉnh, bài toán điểm bất động và bất đẳng thứcbiến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Nội dungcủa chương này được tham khảo trong các tài liệu [1]-[3]

1.1 Không gian Banach

Ký hiệu mặt cầu đơn vị trong không gian Banach X là S1(0) :={x ∈ X : kxk = 1} Không gian Banach X được gọi là có chuẩn khả

vi Gâteaux (hoặc không gian trơn) nếu giới hạn sau

lim

t→0

kx + tyk − kxk

tồn tại với mọi x, y ∈ S1(0) Không gian Banach X được gọi là cóchuẩn khả vi Gâteaux đều nếu mỗi y ∈ S1(0), giới hạn (1.1) tồn tạiđều với (x, y) ∈ S1(0) × S1(0).

Giả sử dim(X) ≥ 2 Modul trơn của X là hàm ρX : [0, ∞) → [0, ∞)xác định bởi

ρX(τ ) = sup

n1

2 kx + yk + kx − yk
− 1 : kxk ≤ 1, kyk ≤ τo.Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu:

1 < p ≤ 2 và là 2-trơn đều nếu p ≥ 2

Không gian Banach X được gọi là không gian lồi chặt nếu với mỗi

x, y ∈ S1(0), x 6= y thì

V ert(1 − λ)x + λyk < 1với mọi λ ∈ (0, 1), và lồi đều nếu với mọi ε, 0 < ε ≤ 2, từ bất đẳngthức kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, và kx − yk ≥ ε suy ra tồn tại δ = δ(ε) > 0 saocho kx + yk ≤ 2(1 − δ) Chú ý rằng, mọi không gian Banach lồi đềuđều là không gian phản xạ và lồi chặt

Ánh xạ Jq tồn tại trong mọi không gian Banach X và nói chung

là một ánh xạ đa trị Chú ý rằng, Jqx = kxkq−2J2x với x 6= 0, ở đây

J2 là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach X và thườngviết là J Ta sẽ ký hiệu ánh xạ đối ngẫu tổng quát và ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc đơn trị tương ứng là jq và j Nếu X := H là một khônggian Hilbert thực thì J = I, ở đây I là ánh xạ đơn vị Ta có một sốtính chất của ánh xạ đối ngẫu tổng quát Jq sau đây (xem [3]):

i) Jq(−x) = −Jqx với mọi x ∈ D(Jq), ở đây D(Jq) là miền xác địnhcủa ánh xạ Jq;

ii) Jq(λx) = λq−1Jqx với mọi x ∈ D(Jq) và λ ∈ [0, ∞)

Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của X và T : C → C làmột ánh xạ phi tuyến Ký hiệu Fix(T ) là tập điểm bất động của ánh

xạ T , nghĩa là Fix(T ) := {x ∈ C : T x = x}

Định nghĩa 1.2 Ánh xạ T : C → C được gọi là

i) γ-giả co chặt nếu với mọi x, y ∈ C tồn tại số γ > 0 và jq(x − y) ∈

Jq(x − y) sao cho

hT x − T y, jq(x − y)i ≤ kx − ykq − γk(I − T )x − (I − T )ykq,hay tương đương với

h(I − T )x − (I − T )y, jq(x − y)i ≥ γk(I − T )x − (I − T )ykq,

ở đây, I là ánh xạ đơn vị của không gian X

ii) L-liên tục Lipschitz nếu với mọi x, y ∈ C, tồn tại một hằng số

L > 0 sao cho kT x − T yk ≤ Lkx − yk

Nếu 0 < L < 1 thì T được gọi là ánh xạ co Nếu L = 1 thì T đượcgọi là ánh xạ không giãn

Theo định nghĩa này ta thấy mọi ánh xạ γ-giả co chặt đều là (1 +γ)/γ-liên tục Lipschitz (xem [6])

Định nghĩa 1.3 Ánh xạ A : D(A) ⊆ X → 2X được gọi là

i) j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A) tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y)sao cho

hu − v, j(x − y)i ≥ 0 ∀u ∈ Ax, ∀v ∈ Ay (1.2)Nếu ánh xạ A đơn trị thì (1.2) có dạng

hAx − Ay, j(x − y)i ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A)

ii) j-đơn điệu đều nếu với mọi x, y ∈ D(A) tồn tại j(x−y) ∈ J (x−y)

và một hàm tăng ngặt ψ : R+ := [0, ∞) → R+, ψ(0) = 0 sao cho

hAx − Ay, j(x − y)i ≥ ψ(kx − yk) (1.3)iii) η-j-đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số η > 0 sao cho (1.3)thỏa mãn với ψ(t) = ηt2

Nếu X := H là một không gian Hilbert thì khái niệm ánh xạ j-đơnđiệu, j-đơn điệu mạnh trùng với khái niệm ánh xạ đơn điệu, đơn điệumạnh (sẽ đề cập đến ở Chương 2).

1.2 Bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh

Xét phương trình toán tử:

trong đó A : X → Y là một ánh xạ từ không gian Banach X vàokhông gian Banach Y , f là phần tử thuộc Y Sau đây là một địnhnghĩa của Hadamard

Định nghĩa 1.4 Cho A là một ánh xạ từ không gian Banach X vàokhông gian Banach Y Bài toán (1.4) được gọi là bài toán đặt chỉnh(well-posed) nếu:

1) phương trình (1.4) có nghiệm với mọi f ∈ Y ;

2) nghiệm này là duy nhất; và

3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bàitoán (1.4) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed)

Nhận xét 1.1 Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không giannày nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác

Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.4) thường được cho bởi

đo đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác f, ta chỉ biết xấp xỉ fδ của

nó thỏa mãn kfδ− f k ≤ δ Giả sử xδ là nghiệm của bài toán (1.4) với

f thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại) Khi δ → 0 thì fδ → fnhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đếnx

Ví dụ 1.1 Xét phương trình (1.4) với A là một ma trận vuông cấp

Như vậy, chỉ cần một thay đổi nhỏ trong dữ kiện ban đầu của bàitoán đã dẫn đến thay đổi lớn của nghiệm Bài toán trong ví dụ trên

là bài toán đặt không chỉnh

Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán đặt không chỉnhnên người ta thường có tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm Ta

sẽ sử dụng nghiệm x0 có x∗-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm

x0 ∈ S thỏa mãn

A(x0) = f,và

kx0 − x∗k = min{kx − x∗k : Ax = f },trong đó S là tập nghiệm của bài toán (1.4), được giả thiết là khác

rỗng Bằng cách chọn x∗ ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấpxỉ.

Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là một tậpcon lồi của không gian Banach X, T : C → X là một ánh xạ

Hãy tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho T x∗ = x∗ (1.5)Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.5) tương đương vớiviệc giải phương trình toán tử

Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án củaBanach vào năm 1992 Nó được sử dụng để thiết lập sự tồn tại nghiệmcủa phương trình tích phân Kể từ đó, vì sự đơn giản và hữu dụng,Định lý điểm bất động Banach đã trở thành một công cụ rất phổ biếntrong việc giải quyết các vấn đề tồn tại trong nhiều ngành của toánhọc giải tích

Định lý 1.1 (Định lý điểm bất động Banach) Cho (X, d) là khônggian mêtric đầy đủ và T : X → X là một ánh xạ co Khi đó, T có duynhất điểm bất động ¯x trong X và với mỗi x0 ∈ X, dãy lặp {xn} đượcđịnh nghĩa bởi xn+1 = T xn, với n ≥ 0 hội tụ tới ¯x

Chứng minh Đặt xn+1 = T xn với n ≥ 0 Do T : X → X là một ánh

xạ co, nên tồn tại hằng số λ ∈ [0, 1) sao cho

d(T x, T y) ≤ λd(x, y)

Vì dãy {xn} hội tụ về ¯x ∈ X nên d(¯x, xn) + λd(xn−1, ¯x) → 0 khi

n → ∞ Từ đó 0 ≤ d(¯x, T ¯x) ≤ 0 suy ra d(¯x, T ¯x) = 0 hay T ¯x = ¯x Vậy

1.2.3 Bất đẳng thức biến phân trong không gian BanachCho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gianBanach X và A : X → X là một ánh xạ phi tuyến Bài toán bất đẳngthức biến phân j-đơn điệu (kí hiệu là VI∗(A, C)) là bài toán

Tìm x∗ ∈ C : hAx∗, jq(x − x∗)i ≥ 0 ∀x ∈ C, (1.7)

ở đây, jq(x − x∗) ∈ Jq(x − x∗) Nếu X := H là một không gian Hilbert,thì bài toán bất đẳng thức biến phân VI∗(A, C) trở thành

Tìm x∗ ∈ C : hAx∗, x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.8)Bài toán bất đẳng thức biến phân (1.8) ký hiệu là VI(A, C)

Một vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm được nghiệm của bài toán

VI∗(A, C) nếu nó tồn tại Cho đến nay cũng đã có nhiều công trìnhnghiên cứu vấn đề này (xem [10, 11] và các tài liệu trích dẫn) Trong[4] chỉ ra rằng bài toán VI∗(A, C) trong không gian Banach thực lồiđều và trơn đều tương đương với bài toán điểm bất động:

x∗ = QC(x∗ − µAx∗), (1.9)

ở đây µ > 0 là hằng số tùy ý, và QC : X → C là một ánh xạ corút không giãn theo tia từ X lên C Ánh xạ co rút không giãn theotia không dễ tính toán vì sự phức tạp của tập lồi đóng bất kỳ C Đểlàm giảm hạn chế này trong không gian Hilbert, khi ánh xạ co rút

là phép chiếu mêtric PC, Yamada [11] giả thiết tập ràng buộc C làtập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn{Ti}N

i=1 : H → H và đề xuất phương pháp lai đường dốc nhất (hybrid

steepest-descent) giải bài toán VI(A, C) Giả sử A là ánh xạ η-đơnđiệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên C Lấy µ ∈ (0, 2η/L2) và dãy{λn} trong (0, 1) thỏa mãn các điều kiện:

được các ánh xạ không giãn trên H, bằng việc sử dụng W -ánh xạ củaTakahashi sinh bởi các ánh xạ Tn, Tn−1, , T1 và các số thực αn,

Trong Chương 2, ta sẽ nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh bất đẳngthức biến phân j-đơn điệu đặt không chỉnh.

Chú ý rằng, trong [5] Giáo sư Nguyễn Bường và học trò đã nghiêncứu bài toán VI∗(A, C) với ánh xạ hiệu chỉnh Fn + αnA, ở đây Fn =

I − Vn và Vn được xác định bởi

Vn = Vn1, Vni = TiTi+1 Tn, Ti = (1 − κi)I + κiTi, (1.13)với mọi i ≤ n và i, n ∈ N Các tác giả đã chỉ ra rằng V -ánh xạ xácđịnh bởi (1.13) với

Chương 2

Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến

phân j-đơn điệu

Trong chương này chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnhBrowder–Tikhonov và phương pháp hiệu chỉnh lặp giải bất đẳng thứcbiến phân j-đơn điệu Nội dung của chương này được viết từ bài báo[9]

2.1 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu

ở đây {κi}∞i=1 thỏa mãn (1.14)

Vì Sn không chứa nhiều các toán tử hợp thành {Ti}∞i=1 nên đòi hỏikhối lượng tính toán cần thiết là ít hơn và đơn giản hơn W -ánh xạ hoặc

Vn-ánh xạ (đề cập ở Chương 1) Dựa vào những nội dung vừa phântích và dựa trên cơ sở phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov,

trong mục này, chúng tôi trình bày một phương pháp hiệu chỉnh mớigiải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một

họ đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Banach q-trơnđều trong [9]

Giả sử X là không gian Banach phản xạ thực, lồi chặt với mộtchuẩn khả vi Gâteaux q-đều với q cố định, 1 < q ≤ 2

Cho A : X → X là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitzvới η và L là các hằng số dương, {Ti}∞i=1 : X → X là họ đếm được cácánh xạ không giãn trên X sao cho C :=

µkxn − x∗k2 = min

nếu và chỉ nếu

µhx − x∗, j(xn − x∗)i ≤ 0 với mọi x ∈ C