15 bai toan tim diem BG2017

b Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 3 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.. b Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp 4 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang... Tìm điểm M∈ C

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Kiến thức cơ bản:

1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = (x B−x A)2+(y B−y A)2

2) Khoảng cách từ điểm M x y( ; )0 0 đến đường thẳng ∆: ax by c+ + =0: d M d ax by c

0 0

2 2

=

+ Đặc biệt: + Nếu ∆: x=a thì d M( , )∆ = x0−a

+ Nếu ∆: y=b thì d M( , )∆ = y0−b

+ Tổng các khoảng cách từ M đến các trục toạ độ là: x0 + y0

3) Diện tích tam giác ABC: S = 1AB AC. .sinA 1 AB AC2. 2 (AB AC. )2

4) Các điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I ⇔ IA IB

+

=0 ⇔ A B I

A B I

2 2





5) Các điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆⇔ AB

I

∆

∆

 ∈

Đặc biệt: +) A, B đối xứng nhau qua trục Ox ⇔ B A

B A

 = −



B A

 = −



6) Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ với đường cong (C) bằng khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm M ∈

∆ và một điểm N ∈ (C)

7) Điểm M x y( ; ) được gọi là có toạ độ nguyên nếu x y, đều là số nguyên

Câu 1: Cho hàm số 1 ( )

2

x

x

+

=

a) Tích khoảng cách từ điểm M đến trục Ox và đến đường tiệm cận ngang bằng 6

b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 3 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang

Lời giải:

2

a

a

+

≠

a) Ta có: ( ) 1

1

;

2

a

a

+

a

+

2

1

2

2

a

a

d d

a

a

+





−



Vậy M(1; 2− ) hoặc 7;3

2

M 

  là các điểm cần tìm

b) Ta có: ( ) 3

;

− , d M TCD( ; )= −a 2

BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

fb.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Theo bài ra ta có: 3 ( )2 5 ( )5; 2( )



Vậy M( )5; 2 hoặc M(−1; 0) là các điểm cần tim

y= −x m+ x +mx+ +m C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại A là giao điểm của (C) với trục tung biết rằng điểm A cùng với 2 điểm B(2; 3− ) và C( )4;1 tạo thành tam

giác ABC cân tại B

Lời giải:

Do A=( )C ∩Oy nên điểm A(0;m+1) Do ABC là tam giác cân tại B nên ta có: AB=BC





y= −x x + C ⇒ y = x − x

Do đó phương trình tiếp tuyến tại A là: y=1

Do đó phương trình tiếp tuyến tại A là: y= −8(x− −0) 7 hay y= − −8x 7

3 4 3

y= −x x − x+ C

a) Tìm 2 điểm A và B đối xứng nhau qua gốc toạ độ O

b) Tìm toạ độ 2 điểm A và B đối xứng nhau qua trục Oy

Lời giải:

a) Gọi A a b( ); và B(− −a; b) là 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ O( )0; 0

Vì A,B đều thuộc đồ thị ( )C nên ta có:







= − =

Vậy 2 điểm A,B cần tìm là: A(1; 3 :− ) (B −1;3) hoặc ngược lại

b) Gọi A a b( ); và B(−a b; ) là 2 điểm đối xứng nhau qua trục Oy

Vì A,B đều thuộc đồ thị ( )C nên ta có:







( )

0



Vậy 2 điểm A, B cần tìm là: A(2; 9 :− ) (B − −2; 9) hoặc ngược lại

Câu 4: Cho hàm số 1

3

x y x

+

=

− , có đồ thị ( )C Tìm điểm M∈( )C sao cho:

a) M cách đều hai đường tiệm cận

b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp 4 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang

Đ/s: a) M( ) (5;3 ;M 1; 1− ); b) M( ) (7; 2 ; M −1; 0)

Lời giải:

3

a

a

+

≠

−

fb.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

a) Ta có: d M TCD x( ; : = = − =3) a 3 d1; ( ) 2

a

+

1 2

4 3

a

a



− =



− = −

Vậy M( )5;3 hoặc M(1; 1− ) là các điểm cần tìm

b) Theo bài ra ta có: ( )2 ( ) ( )

4



Vậy M( )7; 2 hoặc M(−1; 0) là các điểm cần tim

Câu 5: Cho hàm số 2 6

5

x y x

−

= + , có đồ thị ( )C Tìm điểm M∈( )C sao cho:

a) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất

b) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 17

Đ/s: a) M(− −1; 2 ;) (M −9; 6); b) M(− −4; 14 ;) ( )M 11;1

Lời giải:

5

a

a

−

≠ −

a) Ta có: d M TCD x( ; : = − = + =5) a 5 d1; ( ) 2

a

−

16 5

a a

a

 + =



+ = −

Vậy M(− −1; 2);M(− −9; 6) là các điểm thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất

b) Theo bài ra ta có:

1 2

5 1 16

5 16

a

a

 + =



+ =

Vậy M(− −4; 14) hoặc M( )11;1 là các điểm cần tim

Câu 6: Cho hàm số 1

2

x y x

−

= + , có đồ thị ( )C Cho điểm M( ) ( )1; 0 ∈ C Tìm điểm N thuộc nhánh còn lại

của đồ thị sao cho:

a) Tổng khoảng cách từ N hai đường tiệm cận gấp 4 lần độ dài OM

b) Hình giới hạn bởi đường thẳng MN và hai đường tiệm cận là tam giác vuông cân

Đ/s: a) M(− −1; 2); b) M(−3; 4)

Lời giải:

2

a

a

−

≠ −

+

a) Ta có: d N TCD x( ; : = − = + =2) a 2 d1; ( ) 2

a

−

fb.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Theo bài ra ta có:

1 2

2 1 3

a

a

= − ⇒ − −

 + =



+ =

Vậy N(− −1; 2) là điểm cần tìm

b) Giả sử d1∩d2 =P(−2;1)

Vì N thuộc nhánh còn lại của đồ thị nên suy ra tam giác MNP vuông cân tại P

Ta có



PM =(3; 1− ); 2; 3

2

a

+



2 2

2

3

2

9

2

a

a

a

a





=















2

2 2

2

0

0 2

a

a

a

a

+

 + −   + − =  + = −



+



Vậy N(−3; 4) là điểm cần tim

Câu 7: Cho hàm số y= − +x3 3x+2 (C)

Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3)

Lời giải:

Gọi A x y( 0 0; ), B là điểm đối xứng với A qua điểm M( 1;3)− ⇒B(− −2 x0;6−y0)

A B, ∈( )C ⇔ y x x

3

0 0 0

3





− = − − − + − − +



⇔ = − + + − − − + − − + ⇔ + + = ⇔ x0 = −1⇒y0 =0

Vậy 2 điểm cần tìm là: ( 1;0)− và ( 1;6)−

Câu 8: Cho hàm số y x

x

2

−

=

Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận

Lời giải:

Gọi M x y( ; )∈ (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3

 =

⇔ = ± − ⇔ =

x

x x

1 ( 2)

4 2

Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6)

Câu 9: Cho hàm số y x

x

1

+

=

Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất

Lời giải:

Gọi M x y( ; )0 0 ∈ (C), (x0≠ −1) thì = + = −

x y

0 0

2

+

x

0

1

1

fb.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: + ≥ = + =

+

x

0

0

1

1

 = −

x x

x x

0 0

0 0

0 1

1

2

Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3)

Câu 10: Cho hàm số( ) = −

+

2

1

x

x

Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho

a) khoảng cách từ M đến Oy bằng ba lần khoảng cách từ M đến Ox

b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang

Lời giải:

o

o

x x

−

a) Khoảng cách từ M đến các trục tọa độ lần lần lượt là d1= x o ; d2 = y o

Theo bài ta có

2

1 2

1

−



=

 +



o

o

o o

o

o o

x

x

x x

x

x x

Vậy có hai điểm M với hoành độ là x o = − ±2 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1 và tiệm cận ngang là y = 1

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1= x o+1

−

o o

x

1

+

o

x

Vậy có hai điểm M với hoành độ là x o = − ±1 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 11: Cho hàm số( ) = +

−

2 1

3

x

x

Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến điểm I ngắn nhất, với I là giao điểm

của hai đường tiệm cận

Lời giải:

o

x

+

Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 3 và tiệm cận ngang là y = 2 nên giao điểm của hai tiệm cận là I(3 ; 2)

2

2

49

3

o

x

+

Vậy có hai điểm M với hoành độ là x o = − ±3 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán

+

2x 3

fb.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang

b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy

c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất

Lời giải:

0 0

1

x

M x

x

+

Đồ thị có tiệm cận đứng là x + 1 = 0 và tiệm cận ngang là y − 2 = 0

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = |x0 + 1|

Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là d2 = |y0 – 2|

3

1

= +



= ⇔ + = − ⇔ = − +

0

1

x

x

 +

= − ⇒ =

0

1

x

x

+

Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn đề bài là M(0; 3) và M(–2; 1)

b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = |x0 + 1|

Khoảng cách từ M đến trục Oy là d2 = |x0|

Theo bài ta có





−

c) Ta có 2 3 2 2 1 2 1

y

Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị 0

0

1

1

M x

x

+

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là h1 = |x0 + 1|

0

1 2

1

x

+

Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là

o-s

BDT C i

0

7

1

1

x







0; , 2;1 3

Câu 13: Cho hàm số = ( )

+2 , .

x

x Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho a) M có tọa độ là số nguyên

b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

Lời giải:

a) Ta có 2 2 1 2

y

+ −

x x

x

+ = ±

 + ⇔

+ = ±



⋮

x+ = ⇔ = −2 1 x 1⇒y= −1⇒M(− −1; 1)

fb.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

x+ = − ⇔ = −2 1 x 3⇒y=3⇒M(−3;3)

x+ = ⇔ =2 2 x 0⇒y=0⇒M( )0;0

x+ = − ⇔ = −2 2 x 4⇒y=2⇒M(−4;2)

Vậy trên đồ thị hàm số có 4 điểm M có tọa độ là những số nguyên

b) Giả sử ; ( )

2

a

a

∈

Đồ thị có tiệm cận đứng x + 2 = 0 và tiệm cận ngang y – 1 = 0

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1= +a 2, khoảng cách đến tiệm cận ngang là

2

2 1

a

d

2

a

+

Câu 14: Cho hàm số = + ( )

−

2 1 , 3

x

x Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 8

Lời giải:

y

x x x Giả sử 7 ( )

; 2

3

−

Đồ thị có tiệm cận đứng x − 3 = 0 và tiệm cận ngang y – 2 = 0

d

a) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 2 3 7 2 3 7 2 7

3

−

a

Từ đó ta được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Theo bài ta có ( )2

1 2

4

7

10

4

=





 =



= −



a

a

a

Tương ứng trên đồ thị có 4 điểm M thỏa mãn là M1( )4;9 ,M2(2; 5 ,− ) M3(10;3 ,) M4(−4;1 )

Câu 15: Cho hàm số = + ( )

−

2

, 1

x Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số

Tìm m để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất bằng 10

Lời giải:

; 1

a

+

∈

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x – 1 = 0 và tiệm cận ngang là y – 2 = 0

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1= −a 1 và khoảng cách đến tiệm cận ngang là

2

2

d

fb.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 2 1 2 2 1 2 2 2

min

23

27

m

m

=



= −



25

 = ⇒

25

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn và tương ứng có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán

Thầy Đặng Việt Hùng

fb.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01