Bài 1 T các ch s 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7 có th l p đ c bao nhiêu s g m 5 ch s đôi m t khác nhau trong
m i tr ng h p sau:
1) S l p đ c là s ch n
2) S l p đ c chia h t cho 5
3) S l p đ c có duy nh t m t ch s ch n
4) S l p đ c có m t trong 3 ch s đ u tiên ( hàng tr c nghìn, hàng nghìn, hàng tr m) ph i b ng 1
Gi i:
G i s có 5 ch s đôi m t khác nhau có d ng a a a a a 1 2 3 4 5
1) S l p đ c là s ch n
Ta có a a a a a 1 2 3 4 5 là s ch n, suy ra a50; 2; 4;6
Tr ng h p 1: a5 0 a a a a1 2 3 4 có A74 840 s
Tr ng h p 2: a52; 4;6: có 3 cách ch n, khi đó:
+) a 1 có 6 cách ch n
+) a a a có 2 3 4 A63 120 cách ch n
Suy ra có 3.6.1202160s l p đ c tr ng h p 2
V y có t t c 840 216 030 00 s l p đ c tho mãn yêu c u bài toán
2) S l p đ c chia h t cho 5
Ta có a a a a a1 2 3 4 5 5, suy ra a5 0;5
Tr ng h p 1: a5 0 a a a a1 2 3 4 có 4
7 840
Tr ng h p 2: a5 , khi đó: 5
+) a 1 có 6 cách ch n
+) a a a có 2 3 4 A63 120 cách ch n
Suy ra có 6.120720 s l p đ c tr ng h p 2
V y có t t c 840 720 1560 s l p đ c tho mãn yêu c u bài toán
3) S l p đ c có duy nh t m t ch s ch n
B c 1: Xét các s có hình th c a a a a a k c 1 2 3 4 5 a1 0
+) S cách ch n 1 ch s ch n có: 4 cách
+) S cách x p 1 ch s ch n vào 5 v trí có: 5 cách
+) S cách x p 4 ch s l 1,3,5, 7 vào 4 v trí còn l i có 4! 24 cách
Suy ra có 4.5.24480 s l p đ c b c 1
BÀI TOÁN “TÌM S ”
ÁP ÁN BÀI T P TÀI LI U
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là bài t p đi kèm v i bài gi ng Bài toán “Tìm s ” thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán
(GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u
cùng v i bài gi ng này.
Trang 2B c 2: Xét các s có hình th c 0a a a a 2 3 4 5
Khi đó a a a a2, 3, 4, 5 đ u là các ch s l đ c l y t các ch s 1,3,5, 7
Suy ra có 4! 24 s l p đ c b c 2
V y có t t c 480 24 456 s th a mãn yêu c u bài toán
4) S l p đ c có m t trong 3 ch s đ u tiên ( hàng tr c nghìn, hàng nghìn, hàng tr m) ph i b ng 1
B c 1: Xét các s có hình th c a a a a a 1 2 3 4 5 k c a1 0
+) Có 3 cách ch n v trí cho ch s 1
+) S cách ch n các ch s x p vào cho 4 v trí còn l i là 4
7 840
Nh v y có t t c 3.840 2520 s
B c 2: Xét các s có hình th c 0a a a a 2 3 4 5
+) Có 2 cách ch n v trí cho ch s 1
+) S cách ch n các ch s x p vào cho 3 v trí còn l i là 3
6 120
Nh v y có t t c 2.120 240 s
V y có t t c 2520 24 022 08 s th a mãn yêu c u bài toán
Bài 2 Ng i ta vi t các ch s 0,1, 2,3, 4,5 lên các t m phi u, sau đó x p th t ng u nhiên thành m t
hàng
1) Có bao nhiêu s l g m 6 ch s đ c s p thành
2) Có bao nhiêu s ch n g m 6 ch s đ c s p thành
Gi i:
Vì các ch s 0,1, 2,3, 4,5 đ c vi t lên phi u và x p thành m t hành g m 6 ch s khác nhau
Nên g i s có 6 ch s khác nhau có d ng a a a a a a 1 2 3 4 5 6
1) Có bao nhiêu s l g m 6 ch s đ c s p thành
Ta có a a a a a a là s l , suy ra 1 2 3 4 5 6 a61;3;5: có 3 cách ch n, khi đó:
+) a 1 có 4 cách ch n
+) a a a a có 4! 242 3 4 5 cách ch n
V y có 3.4.24288 s th a mãn đi u ki n bài toán
2) Có bao nhiêu s ch n g m 6 ch s đ c s p thành
Ta có a a a a a a 1 2 3 4 5 6 là s ch n, suy ra a60; 2; 4
Tr ng h p 1: a6 , khi đó: 0
+) a 1 có 5 cách ch n
+) a a a a có 4! 242 3 4 5 cách ch n
Suy ra có t t c 5.24 120 s l p đ c tr ng h p 1
Tr ng h p 2: a6 2; 4 : có 2 cách, khi đó:
+) a 1 có 4 cách ch n
+) a a a a có 4! 242 3 4 5 cách ch n
Suy ra có 2.4.24 192 s l p đ c tr ng h p 2
Trang 3V y có t t c 120 19 23 21 s th a mãn yêu c u bài toán
Chú ý: ý 2)ta có th ti p c n theo cách gián ti p b ng cách tính s các s có 6 ch s khác nhau, sau
đó tr đi s l ý 1)ta c ng đ c k t qu t ng t
Bài 3 Có 8 ch s 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7 H i có th l p đ c bao nhiêu s g m 6 ch s khác nhau, trong đó
nh t thi t ph i có m t ch s 4
Gi i:
Cách 1 (Tr c ti p) S các s c n l p chính là vi c ta đ a 6 ch s khác nhau t 8 ch s 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7 vào 6 ô vuông (nh hình v ) v i đi u ki n ph i có m t ch s 4 và ô đ u không có ch s 0
Tr ng h p 1: Ch s 4 đ a vào ô đ u : 1 cách , suy ra s cách ch n cho 5 ô còn l i là: 5
7 2520
Suy ra tr ng h p 1 l p đ c: 2520 (s )
Tr ng h p 2: Ch s 4 đ a vào m t trong n m ô cu i: 5 cách
S cách ch n ô đ u: 6 cách (b ch s 0 và 4) ; S cách ch n b n ô còn l i : 4
6 360
Suy ra tr ng h p 2 l p đ c: 5.6.360 10800 (s )
Khi đó s các s c n l p là: 2520 1080 0133 02 (s )
Cách 2 (Gián ti p)
G i s có 6 ch s khác nhau có d ng a a a a a a 1 2 3 4 5 6
+) a : có 7 1 cách ch n (tr ch s 0)
+) a a a a a : có2 3 4 5 6 A75 2520 cách ch n
Suy ra s các s có 5 ch s khác nhau là : 7.2520 17640 (s )
G i s có 5 ch s khác nhau không có m t ch s 4 có d ng a a a a a a 1 2 3 4 5 6
+) a 1 : có 6 cách ch n (tr ch s 0 và 4)
+) a a a a a : có2 3 4 5 6 5
6 720
A cách ch n Suy ra s các s có 6 ch s khác nhau mà không có m t ch s 4 là : 6.720 4320 (s )
V y có: 17640 432 0133 02 (s ) th a mãn đi u ki n bài toán
Bài 4 Có bao nhiêu s khác nhau g m 7 ch s sao cho t ng các ch s c a m i s là m t s ch n
Gi i:
B c 1: Tr c tiên ta tính s các s khác nhau g m 6 ch s
G i s có 6 ch s có d ng a a a a a a1 2 3 4 5 6, khi đó:
+) a 1 có 9 cách ch n
+) a a a a a có 2 3 4 5 6 5
10.10.10.10.10 10 cách ch n
Suy ra có 9.105 s khác nhau g m 6 ch s
4 4 4 4
4
TH2 TH1
4
Trang 4B c 2: V i m i s có 6 ch s a a a a a a 1 2 3 4 5 6 ta l p đ c 10 s có 7 ch s a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7 mà trong đó
ch có 5 s có t ng các ch s là s ch n Do đó s các s th a mãn bài toán là: 5 5
9.10 545.10 s
Bài 5
1) Có bao nhiêu s t nhiên ch n l n h n 2000 mà m i s g m 4 ch s khác nhau
2) T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên ch n có 5 ch s khác nhau mà
m i s l p đ c đ u nh h n 2500
Gi i:
1) Có bao nhiêu s t nhiên ch n l n h n 2000 mà m i s g m 4 ch s khác nhau
G i s c n l p có d ng a a a a 1 2 3 4
Ta có a a a a1 2 3 4 2000 và a a a a là s ch n 1 2 3 4
1
4
2 0; 2; 4; 6;8
a a
, khi đó ta chia thành 2 tr ng h p:
Tr ng h p 1: a4 0, khi đó a có 8 cách ch n, 1 a a có 2 3 2
8 56
A cách ch n
V y ta có 8.56448 s tr ng h p 1
Tr ng h p 2: a42; 4;6;8: 4 cách, khi đó a có 7 cách ch n, 1 a a có 2 3 2
8 56
A cách ch n
V y ta có 4.7.56 1568 s tr ng h p 2
V y ta có 448 156 820 61 s th a mãn đi u ki n bài toán
2) T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên ch n có 5 ch s khác nhau mà
m i s l p đ c đ u nh h n 2500
Tr ng h p 1: Xét t p h p A có các s có d ng1 1a a a a2 3 4 5, trong đóa50; 2; 4;6
tìmA ta s s d ng quy t1 c nhân nh sau:
Ch na : s cách ch n5 n1 4
Ch na a a2 3 4 ó là ch n 3 trong 5 s (k c th t ) S cách ch n là: 3
2 5
n A 60 Theo quy t c nhân: A1 n n1 2 4.60240 cách
Tr ng h p 2: Xét t p h pA các s có d ng2 2 a a a a2 3 4 5, trong đó a50; 4;6và a2 4
Có 3 kh n ng sau:
+) T p h pA là t p h p các s có d ng 20 2 a a a 0 2 3 4
Vì a2 nên có 4 n1 cách ch n3 a2 ch na a có 3 4 n2 A42 cách ch n 12
20
A 3.1236cách
+) T p h pA là t p h p các s có d ng 24 2 a a a 4 2 3 4
T ng t ta có: A24 36cách
+) T p h pA là t p h p các s có d ng: 26 2 a a a 6 2 3 4
Trang 5Vì a2 bây gi có th ch n4 a20;1; 4;5, nên có n1 cách ch n 4 a V y 2 A26 2.1248
Theo quy t c c ng, ta có: A2 A20 A24 A26 36 36 48 120 cách
V y A là t p h p c n tìm Theo quy t c c ng, ta có: A A1 A2 240 120 360
V y có 360 s c n tìm
Bài 6 T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên có 6 ch s phân bi t mà ch s
3 và 5 không đ ng li n nhau
Gi i:
T 6 ch s khác 0 ta l p đ c 6! 720 s có 6 ch s phân bi t
Ta s lo i đi các s mà 3 và 5 đ ng li n nhau
+) Hai ch s 3 và 5 đ ng li n nhau có 2 cách là 35 và 53
+) Ta coi nhóm hai ch s 3 và 5 là ch s a thì t 5 ch s 1, 2, 4, 6 , a có 5! 120 cách hoán v
Do đó có 2 120 = 240 s mà 3, 5 đ ng li n nhau
V y có 720 24 04 08 s th a mãn yêu c u bài toán
Bài 7. Có bao nhiêu s t nhiên g m 4 ch s sao cho không có ch s nào l p l i đúng 3 l n
Gi i:
S các s t nhiên có 4 ch s là: 9.10.10.10 9000 s
Trong các s trên ta s lo i đi các s mà có 1 ch s l p l i đúng 3 l n
Xét ch s 0 l p l i đúng 3 l n Vì s abcd luôn có a , nên nó ph i có d ng 0000 a
Do đó có 9 s trong tr ng h p này
Xét ch s khác 0 l p l i đúng 3 l n là a +) D ng xaaa có 8 s vì x và x a0 +) D ng axaa aaxa aaax , , đ u có 9 s
Mà ta có 9 ch s a khác 0, do đó ta có (8 9.3).9 315 s trong tr ng h p này
V y ta có các s có 4 ch s mà có m t ch s l p l i đúng 3 l n là: 9 315 324 (s )
Do đó các s th a mãn yêu c u bài toán là: 9000 32 486 67 s
Bài 8 T các ch s 1, 2, 3 l p đ c bao nhiêu s t nhiên có đúng 5 ch s 1, 2 ch s 2 và 3 ch s 3
Gi i:
Cách 1:
B c 1: Ch n 5 trong 10 v trí đ s p 5 ch s 1 có 5
10
C cách
B c 2: Ch n 2 trong 5 v trí còn l i đ s p 2 ch s 2 có 2
5
C cách
B c 3: S p 3 ch s 3 vào 3 v trí còn l i có 1 cách
V y có C C105 52.12520 s Cách 2:
Xem s c n l p có 10 ch s g m 5 ch s 1 gi ng nhau, 2 ch s 2 gi ng nhau và 3 ch s 3 gi ng
nhau
Trang 6V y có: 10!
5!2!3!2520 s
Bài 9. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên mà m i s có 6 ch s khác
nhau và ch s 2 đ ng c nh ch s 3?
Gi i:
Ta “ dán” hai ch s 2 và 3 li n nhau thành ch s kép Có hai cách dán (23 ho c 32) Bài toán tr thành:
có 5 ch s là 0, 1, 4, 5 và s kép H i có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên mà m i s có 5 ch s khác nhau?
Ta gi i b ng quy t c nhân nh sau:
B c 1: Dán s 2 và 3 v i nhau cón1 cách 2
B c 2: S hàng v n, cón2 cách (tr s 0) 4
B c 3: S hàng nghìn, cón3 cách ch n 4
B c 4: S hàng tr m, cón4 cách ch n 3
B c 5: S hàng ch c, cón5 cách ch n 2
B c 6: S hàng đ n v , cón6 cách ch n 1
V y s các s c n ch n theo quy t c nhân là: nn n n n n n1 2 3 4 5 6 2.4.4.3.2.1192 s
Bài 10 T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên mà m i s có 6 ch s khác nhau và t ng các ch s hàng ch c, hàng tr m, hàng nghìn b ng 8
Gi i:
G i A là t p h p các s c n tìm M i ph n t c a A có d ng: a a a a a a , 1 2 3 4 5 6
Trong đó đôi m t khác nhau ( đ c ch n trong t p h p 9 s đã cho), ngoài ra a3 a4 a5 8
Ta có: 1 + 2 + 5 = 1 + 3 + 4 = 8, v y có 2 cách ch n nhóm 3 s đ các s hàng ch c, hàng tr m, hàng
nghìn có t ng b ng 8 T đó ta s d ng quy t c nhân đ gi i bài toán nh sau:
B c 1: Ch n ra 3 trong 8 s đã cóa3 Theo trên s cách ch na4 a5 8 n1 2
B c 2: V i ba s ch n b c 1 có: n2 cách l p s3! 6 a a a 3 4 5
B c 3: Ch n ra s a a a theo th t trên S cách ch n1 2 6 n3 A63 120
Theo quy t c nhân s cách ch n theo yêu c u là: nn n n1 2 3 2.6.1201440 s
Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng
Trang 75 L I ÍCH C A H C TR C TUY N
Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c
H c m i lúc, m i n i
Ti t ki m th i gian đi l i
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm
Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c
Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12) T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia
Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n
Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th
Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng