VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 3.. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số: c Cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ở về bên phải gốc O... Vậy phương
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3 BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO – TIẾP TUYẾN
Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm giao điểm của đồ thị hàm số :
a) y= −x 1 và y=x2−2x−1 b)y=2x−5 và y=x2 −4x−1
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
x − x− = − ⇔x x − x= ⇔ =x hoặc x=3
Khi x=0thì y= −1; x=3 thì y=2
Vậy có 2 giao điểm A(0; 1− ) và A( )3; 2
b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
x − x− = x− ⇔ x − x+ =
' 9 4 5
∆ = − = nên x1= −3 5, x2 = +3 5
Khi x1= −3 5thì y1= −1 2 5, khi x2 = +3 5 thì y2 = +1 2 5
Vậy có 2 giao điểm M(3− 5;1 2 5 ,− ) (N 3+ 5; 1 2 5+ )
Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm tọa độ giao điểm của hai đường parabol:
2 1 4
x
y= + +x và y=x2 −2x+1
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm: x2− = −4 4 x2⇔2x2 = ⇔8 x2 = ⇔ = ±4 x 2
Khi x= −2 thì y=0; x=2thì y=0 Vậy có 2 giao điểm A(−2; 0) và B( )2; 0
b) Phương trình hoành độ giaod điểm:
2
4
x
+ + = − + ⇔ − = ⇔ = hoặc x=4 Khi x=0thì y=1; x=4 thì y=9 Vậy có 2 giao điểm I( )0;1 và J( )4; 9
Ví dụ 3: [ĐVH] Chứng minh đường thẳng:
a) y= − +x 3 cắt ( ) 2
P y= − −x x+
b) y=2x−5 tiếp xúc với ( ) 2
P y=x − x+
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm: − + = − −x 3 x2 4x+ ⇔1 x2+3x+ =2 0
Vì ∆ = − >9 8 0 nên đường thẳng cắt ( )P tại 2 điểm phân biệt
b) Phương trình hoành độ giao điểm: x2−4x+ =4 2x− ⇔5 x2−6x+ =9 0
Vì ∆ = − =9 9 0 nên đường thẳng tiếp xúc với ( )P
Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y=x2−2x+ −m 1 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số:
c) Cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ở về bên phải gốc O
Lời giải:
y= ⇔ x − x+ − = ∆ = −m m− = −m
a) Đồ thị không cắt trục Ox khi ∆ < ⇔ − < ⇔ >' 0 2 m 0 m 2
b) Đồ thị tiếp xúc trục Ox khi '∆ = ⇔ − = ⇔ =0 2 m 0 m 2
c) Đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt ở về bên phải gốc O khi phương trình có nghiệm dương phân biệt
2
1
m
m
m S
∆ > − >
<
> ⇔ − > ⇔ ⇔ < <
>
> >
03 HÀM SỐ BẬC HAI – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Ví dụ 5: [ĐVH] Biện luận số giao điểm của đường thẳng ( )d :y=2x+m với ( ) 2
P y=x + −x Khi cắt 2 điểm A,
B, tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: x2+ − =x 6 2x+ ⇔m x2− − − =x 6 m 0
( )
1 4 6 m 4m 25
∆ = + + = + Do đó:
4
m< − thì ∆ <0 : phương trình vô nghiệm nên( )d và( )P không có điểm chung
4
m= − thì ∆ =0 : phương trình có nghiệm kép nên( )d tiếp xúc với( )P
4
m> − thì ∆ >0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên( )d và( )P có hai điểm chung phân biệt
Giả sử ( )P và ( )d cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt thì A, B có tọa độ: A x( 1; 2x1+m) và B x( 2; 2x2+m)
Do đó trung điểm của đoạn thẳng AB là 1 2; 1 2
2
x x
I + x x m
+ +
Theo định lí Vi-ét, ta có x1+x2 =1nên điểm
1
1
x I
=
= +
Vì điều kiện 25
4
m> − nên 19
5
y> − Vậy quỹ tích của trung điểm I là phần đường thẳng: 1,
2
x= giới hạn 19
5
y> −
Ví dụ 6: [ĐVH] Cho parabol ( ) 2
P y=x − x+
Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A( )4;1 biết rằng:
a) d cắt( )P tại hai điểm phân biệt b) d tiếp xúc với ( )P
Lời giải:
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua A, phương trình của d là:
( )
y− =k x− ⇔ =y kx− k+
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 ( )
x − x+ =kx− k+ ⇔x − +k x+ k+ = ( )2 ( ) 2
∆ = + − + = − +
a) d cắt( )P tại hai điểm phân biệt khi ∆ >0
( )2 2
⇔ − + > ⇔ − > ⇔ − > ⇔ < − hoặc k > −4 2 2
Phương trình :d y= −kx 4k+1
b) d tiếp xúc với ( )P khi ∆ = ⇔0 k2 −8k+ = ⇔ = ±4 0 k 4 2 2
Vậy d y: = +(4 2 2)x− −15 8 2;y= −(4 2 2)x− +15 8 2
Ví dụ 7: [ĐVH] Lập phương trình tiếp tuyến với ( ) 2
P y=x + −x
a) Tại điểm A(−2;1) b) đi qua B(− −1; 5)
Lời giải:
a) Đường thẳng d đi qua A(−2;1)có hệ số góc k:
( )
y− =k x+ ⇔ = +y kx k+
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 ( )
x + − = +x kx k+ ⇔x + −k x− − k= Điều kiện tiếp xúc: ( )2 ( ) 2
0 1 k 4 2k 2 0 k 6k 9 0 k 3
∆ = ⇔ − + + = ⇔ + + = ⇔ = − Vậy tiếp tuyến :d y= − −3x 5
b) Đường thẳng d đi qua B(−1; 5)có hệ số góc 'k :
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 ( )
x + − = + − ⇔x kx k x + −k x+ − =k
Điều kiện tiếp xúc: ( )2 ( ) 2
∆ = ⇔ − − − = ⇔ + − = ⇔ = hoặc k = −5 Khi k =3, phương trình tiếp tuyến d1:y=3x−2
Khi k = −5, phương trình tiếp tuyến d2:y= − −5x 10
Trang 3Ví dụ 8: [ĐVH] Cho parabol ( ) 2
P y=x − x+ Lập phương trình tiếp tuyến của ( )P biết rằng:
a) Tiếp tuyến đó tạo với tia Ox một góc bằng 450
b) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y=2x+1
c) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 1 2
3
y= − x+
Lời giải:
a) Theo giả thiết tiếp tuyến d tạo với tia Ox một góc bằng 450 nên hệ số góc của đường thẳng d là d =tan 450 =1, do
đó :d y= +x b
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 ( )
x − x+ = + ⇔x b x − x+ − =b
Điều kiện tiếp xúc: ∆ = − − = ⇔ = −' 4 (2 b) 0 b 2
Vậy phương trình đường thẳng d là y= −x 2
b) Tiếp tuyến d song song với đường thẳng y=2x+1 nên hệ số góc của d bằng 2, do đó : d y=2x+b b, ≠1
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 ( )
x − x+ = x+ ⇔b x − x+ − =b
Điều kiện tiếp xúc: ( ) 17
' 25 4 2 0
4
∆ = − − = ⇔ = −
Vậy phương trình tiếp tuyến d là 2 17
4
y= x−
c) Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng 1 2
3
y= − x+ nên có hệ số góc của d bằng 3, do đó : d y=3x+b
Phương trình hoành độ giao điểm: x2−3x+ =2 3x+ ⇔b x2−6x+ − =2 b 0
Điều kiện tiếp xúc: ∆ = − − = ⇔ = −' 9 (2 b) 0 b 7
Vậy phương trình tiếp tuyến d là y=3x−7
Ví dụ 9: [ĐVH] Tìm m để đường thẳng d y: = −x 1 cắt parabol ( ) 2
P y=x +mx+ tại hai điểm P, Q mà đoạn
3
PQ=
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 ( )
x +mx+ = − ⇔x x + m− x+ = Điều kiện cắt tại 2 điểm P Q, :∆ > ⇔0 m2 −2m− >7 0
PQ= ⇔ x −x + y −y =
1 2 1 2
9
2
Theo định lí Vi-ét: S x1 x2 b 1 m P, x x1 2 c 2
= + = − = − = = = nên: ( )2 9 ( )2 25
2 2
⇔ − = ± ⇔ = ± (chọn)
DẠNG 4 TỔNG HỢP VỀ HÀM BẬC HAI (Tham khảo thêm)
Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất (bé nhất) nếu có của các hàm số:
a) y=7x2−3x+10 b) y= −2x2− +x 1
Lời giải:
a) y=7x2−3x+10 có a= >7 0 nên y đạt giá trị bé nhất tại đỉnh 1 3
2 14
b x a
= − = là 1 ( )1
3 271
y f x f
= = =
và không tồn tại giá trị lớn nhất
b) y= −2x2− +x 1 có a= − <2 0nên y đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh 1 1
b x a
= − = − là 1 ( )1
y f x f
= = − =
và không tồn tại giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất (nếu có) của các hàm số:
Trang 4a) y=x2−3x với 0≤ ≤x 2 b) y= − −x2 4x+3 với 0≤ ≤x 4
Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 ( 2 )
y= f x = x − ax+ a − a+ trên đoạn [0; 2] là bằng 3
Ví dụ 4: [ĐVH] Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:
a) y=x x( +1)(x−2)(x−3)
y= x− − x− +
Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hai hàm số y1= + + −x 1 x 1 và 2 1 2 3 1
y = x + x+
a) Chứng minh đồ thị của y1 có trục đối xứng
b) Tìm những giá trị của x để y1>y2
Lời giải:
a) y1= f x( )= + + −x 1 x 1 có D=R x: ∈D⇒− ∈x D
f x = − + + − − = − + + =x x x x f x Vậy f là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng Oy
b) Ta có 1 ( )
− < −
Ta xét 3 trường hợp:
- Với 1: 1 2 2 1 2 3 1
x< − y ≥y ⇔ − ≥x x + x+ 2 11 105 11 105
11 4 0
Chọn nghiệm: 11 105 1
− − ≤ < −
- Với 1 1: 1 2 2 1 2 3 1
− ≤ < ≥ ⇔ ≥ + + 2
⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Chọn nghiệm 1− ≤ ≤x 1
- Với 1: 1 2 2 1 2 3 1
x≥ y ≥y ⇔ x≥ x + x+ 2
⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ (thỏa mãn)
Vậy giá trị x cần tìm 11 105 4
− − ≤ <
Ví dụ 6: [ĐVH] Cho ( ) 2
f x =ax +bx+c thỏa mãn f x( )≤ ∀ ∈ −1, x { 1; 0; 1}
Chứng minh: ( ) 5 [ ]
4
f x ≤ ∀ ∈ −x
Lời giải:
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
2 1
1
2
− = − +
= + +
Do đó: ( ) 2 1 ( ) ( 2 ) 1 ( ) ( 2 ) ( ) ( 2)
f x =ax +bx+ =c f x + +x f − x − +x f −x
Vì f( )− ≤1 1, f( )0 ≤1, f( )1 ≥1 nên có:
( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) 2
f x ≤ f x + +x f − x − +x f −x 1 2 1 2 2
1
2 2
2 2
1
x x khi x
x x khi x
+ − − ≤ <
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Trang 5Bài 1: [ĐVH] Cho ( ) 1 2
2
a) Vẽ đồ thị Lập bảng biến thiên
b) Dựa vào đồ thị, tìm x để y < 0
2
Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số: y= x2+ −x 2
a) Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên hàm số
b) Tìm m để pt: x2+ − =x 2 2m−1 có 2 nghiệm
Bài 3: [ĐVH] Vẽ đồ thị hàm số:
=
y
2
=
y
x x
Bài 4: [ĐVH] Xác định parabol:
a) đi qua điểm A(1; −5) và có đỉnh I(3; −9)
b) đạt GTLN bằng 8 tại x = −1 và đi qua A(0; 6)
−
3
−2
P y = − + x x và đường thẳng d y: =mx+2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( ) P
b) Tìm tham số m để hai đồ thị của hai hàm số tiếp xúc nhau (có duy nhất một điểm chung), cắt nhau tại hai
điểm phân biệt
c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x2−3x+ −3 2m=0
1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ( ) P
b) Xác định điểm M trên ( ) P để đoạn OM là ngắn nhất
c) Chứng minh rằng khi OM ngắn nhất thì đường thẳng OM vuông góc với tiếp tuyến tại M của( ) P
Bài 8: [ĐVH] Cho đường thẳng d y: =2x+ −1 2m và Parabol ( ) P đi qua điểm A ( ) 1; 0 và đỉnh S ( 3; 4 − )
a) Lập phương trình và vẽ Parabol ( ) P
b) Chứng minh rằng d luôn đi qua một điểm cố định
c) Chứng minh rằng d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt