03 ham so bac hai p2 BG

Xét dấu hệ số a và biệt thức ∆ khi: a P hoàn toàn nằm phía trên trục hoành b P hoàn toàn nằm phía dưới trục hoành c P cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía trên tr

DẠNG 2 ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 2

Ví dụ 1: [ĐVH] Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

a) y=x2−6x b) y= − +x2 4x+5

…

Ví dụ 2: [ĐVH] Cho ( ) 2

P y= − x − x+

a) Tìm tọa độ đỉnh, trục đối xứng vẽ ( )P

b) Tìm x sao cho y≥0

Ví dụ 3: [ĐVH] Cho ( ) 1 2

2

P y= x + −x

a) Vẽ đồ thị

b) Biện luận số nghiệm phương trình: 1 2 0

2x + − =x m

Ví dụ 4: [ĐVH] Cho ( ) 2

P y= x − x+

a) Vẽ đồ thị ( )P

b) Xác định m để phương trình 2x2−3x + =1 m không có nghiệm; có hai nghiệm; có 3 nghiệm; có 4 nghiệm

Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hàm số ( ) 2

y f x



= =

− + >



a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Xác định m để phương trình f x( )=m có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 6: [ĐVH] Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số :

a) y= x2+ 2x b) y=0,5x2− − +x 1 1

Ví dụ 7: [ĐVH] Cho ( ) 2

P y=x − x+

a) Vẽ đồ thị ( )P Suy ra đồ thị ( ) 2

y=g x =x − x +

b) Tìm m để phương trình x2−4x + =3 m có 8 nghiệm phân biệt

…

Ví dụ 8: [ĐVH] Cho parabol ( ) 2

P y=ax +bx+c a≠ Xét dấu hệ số a và biệt thức ∆ khi:

a) ( )P hoàn toàn nằm phía trên trục hoành

b) ( )P hoàn toàn nằm phía dưới trục hoành

c) ( )P cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía trên trục hoành

DẠNG 3 BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO – TIẾP TUYẾN

Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm giao điểm của đồ thị hàm số :

a) y= −x 1 và y=x2−2x−1 b)y=2x−5 và y=x2 −4x−1

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

x − x− = − ⇔x x − x= ⇔ =x hoặc x=3

Khi x=0thì y= −1; x=3 thì y=2

Vậy có 2 giao điểm A(0; 1− ) và A( )3; 2

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

03 HÀM SỐ BẬC HAI – P2

Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

x − x− = x− ⇔ x − x+ =

' 9 4 5

∆ = − = nên x1= −3 5, x2 = +3 5

Khi x1= −3 5thì y1= −1 2 5, khi x2 = +3 5 thì y2 = +1 2 5

Vậy có 2 giao điểm M(3− 5;1 2 5 ,− ) (N 3+ 5; 1 2 5+ )

Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm tọa độ giao điểm của hai đường parabol:

2

1 4

x

y= + +x và y=x2 −2x+1

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm: x2− = −4 4 x2⇔2x2 = ⇔8 x2 = ⇔ = ±4 x 2

Khi x= −2 thì y=0; x=2thì y=0 Vậy có 2 giao điểm A(−2; 0) và B( )2; 0

b) Phương trình hoành độ giaod điểm:

2

4

x

+ + = − + ⇔ − = ⇔ = hoặc x=4 Khi x=0thì y=1; x=4 thì y=9 Vậy có 2 giao điểm I( )0;1 và J( )4; 9

Ví dụ 3: [ĐVH] Chứng minh đường thẳng:

a) y= − +x 3 cắt ( ) 2

P y= − −x x+

b) y=2x−5 tiếp xúc với ( ) 2

P y=x − x+

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm: − + = − −x 3 x2 4x+ ⇔1 x2+3x+ =2 0

Vì ∆ = − >9 8 0 nên đường thẳng cắt ( )P tại 2 điểm phân biệt

b) Phương trình hoành độ giao điểm: x2−4x+ =4 2x− ⇔5 x2−6x+ =9 0

Vì ∆ = − =9 9 0 nên đường thẳng tiếp xúc với ( )P

Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y=x2−2x+ −m 1 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số:

c) Cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ở về bên phải gốc O

Lời giải:

y= ⇔ x − x+ − = ∆ = −m m− = −m

a) Đồ thị không cắt trục Ox khi ∆ < ⇔ − < ⇔ >' 0 2 m 0 m 2

b) Đồ thị tiếp xúc trục Ox khi '∆ = ⇔ − = ⇔ =0 2 m 0 m 2

c) Đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt ở về bên phải gốc O khi phương trình có nghiệm dương phân biệt

2

1

m

m

m S

∆ > − >

<



> ⇔ − > ⇔ ⇔ < <

>



 >  >

Ví dụ 5: [ĐVH] Biện luận số giao điểm của đường thẳng ( )d :y=2x+m với ( ) 2

P y=x + −x Khi cắt 2 điểm A,

B, tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: x2+ − =x 6 2x+ ⇔m x2− − − =x 6 m 0

1 4 6 m 4m 25

∆ = + + = + Do đó:

4

m< − thì ∆ <0 : phương trình vô nghiệm nên( )d và( )P không có điểm chung

4

m= − thì ∆ =0 : phương trình có nghiệm kép nên( )d tiếp xúc với( )P

4

m> − thì ∆ >0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên( )d và( )P có hai điểm chung phân biệt

Giả sử ( )P và ( )d cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt thì A, B có tọa độ: A x( 1; 2x1+m) và B x( 2; 2x2+m)

Do đó trung điểm của đoạn thẳng AB là 1 2

1 2

; 2

x x

I + x x m

+ +

Theo định lí Vi-ét, ta có x1+x2 =1nên điểm

1

1

x I



=





 = +



Vì điều kiện 25

4

m> − nên 19

5

y> − Vậy quỹ tích của trung điểm I là phần đường thẳng: 1,

2

x= giới hạn 19

5

y> −

Ví dụ 6: [ĐVH] Cho parabol ( ) 2

P y=x − x+

Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A( )4;1 biết rằng:

a) d cắt( )P tại hai điểm phân biệt b) d tiếp xúc với ( )P

Lời giải:

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua A, phương trình của d là:

( )

y− =k x− ⇔ =y kx− k+

x − x+ =kx− k+ ⇔x − +k x+ k+ =

∆ = + − + = − +

a) d cắt( )P tại hai điểm phân biệt khi ∆ >0

( )2 2

⇔ − + > ⇔ − > ⇔ − > ⇔ < − hoặc k > −4 2 2

Phương trình :d y=kx−4k+1

b) d tiếp xúc với ( )P khi ∆ = ⇔0 k2 −8k+ = ⇔ = ±4 0 k 4 2 2

Vậy d y: = +(4 2 2)x− −15 8 2;y= −(4 2 2)x− +15 8 2

Ví dụ 7: [ĐVH] Lập phương trình tiếp tuyến với ( ) 2

P y=x + −x

a) Tại điểm A(−2;1) b) đi qua B(− −1; 5)

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua A(−2;1)có hệ số góc k:

( )

y− =k x+ ⇔ = +y kx k+

x + − = +x kx k+ ⇔x + −k x− − k= Điều kiện tiếp xúc: ( )2 ( ) 2

∆ = ⇔ − + + = ⇔ + + = ⇔ = − Vậy tiếp tuyến :d y= − −3x 5

b) Đường thẳng d đi qua B(−1; 5)có hệ số góc 'k :

x + − = + − ⇔x kx k x + −k x+ − =k

Điều kiện tiếp xúc: ( )2 ( ) 2

∆ = ⇔ − − − = ⇔ + − = ⇔ = hoặc k = −5 Khi k =3, phương trình tiếp tuyến d1:y=3x−2

Khi k = −5, phương trình tiếp tuyến d2:y= − −5x 10

Ví dụ 8: [ĐVH] Cho parabol ( ) 2

P y=x − x+ Lập phương trình tiếp tuyến của ( )P biết rằng:

a) Tiếp tuyến đó tạo với tia Ox một góc bằng 450

b) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y=2x+1

c) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 1 2

3

y= − x+

Lời giải:

a) Theo giả thiết tiếp tuyến d tạo với tia Ox một góc bằng 450 nên hệ số góc của đường thẳng d là d =tan 450 =1, do

đó :d y= +x b

x − x+ = + ⇔x b x − x+ − =b

Điều kiện tiếp xúc: ∆ = − − = ⇔ = −' 4 (2 b) 0 b 2

Vậy phương trình đường thẳng d là y= −x 2

b) Tiếp tuyến d song song với đường thẳng y=2x+1 nên hệ số góc của d bằng 2, do đó : d y=2x+b b, ≠1

x − x+ = x+ ⇔b x − x+ − =b

4

∆ = − − = ⇔ = −

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

Vậy phương trình tiếp tuyến d là 2 17

4

y= x−

c) Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng 1 2

3

y= − x+ nên có hệ số góc của d bằng 3, do đó : d y=3x+b

Phương trình hoành độ giao điểm: x2−3x+ =2 3x+ ⇔b x2−6x+ − =2 b 0

Điều kiện tiếp xúc: ∆ = − − = ⇔ = −' 9 (2 b) 0 b 7

Vậy phương trình tiếp tuyến d là y=3x−7

Ví dụ 9: [ĐVH] Tìm m để đường thẳng d y: = −x 1 cắt parabol ( ) 2

P y=x +mx+ tại hai điểm P, Q mà đoạn

3

PQ=

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 ( )

x +mx+ = − ⇔x x + m− x+ = Điều kiện cắt tại 2 điểm P Q, :∆ > ⇔0 m2 −2m− >7 0

PQ= ⇔ x −x + y −y =

⇔ − + − − + = ⇔ − =

9

2

Theo định lí Vi-ét: S x1 x2 b 1 m P, x x1 2 c 2

= + = − = − = = =

− − = ⇔ − =

2 2

⇔ − = ± ⇔ = ± (chọn)

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số y=x2−2mx+m2−1luôn cắt trục hoành tại hai

điểm phân biệt và đỉnh I của đồ thị hàm số luôn chạy trên một đường thẳng cố định

Bài 2: [ĐVH] Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Bài 3: [ĐVH] Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

2 x − 3 x + − = 1 m 0

Bài 4: [ĐVH] Tìm tham số m để phương trình sau có k nghiệm phân biệt

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( ) P khi m = 1, gọi là ( ) Cm

b) Chứng minh rằng họ đồ thị ( ) Cm luôn đi qua điểm cố định

c) Định tham số m để đồ thị hàm số ( ) Cm nhận đường thẳng y=2x+1 làm tiếp tuyến

d) Dựa và đồ thị ( ) C1 , biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 ( )

Bài 6: [ĐVH] Tìm điểm cố định của họ đồ thị các hàm số

a) ( ) 2

c) y=mx2−2mx+1

Bài 7: [ĐVH] Tìm điểm cố định của họ đồ thị các hàm số

c) y=mx3−mx+2

Bài 8: [ĐVH] Định tham số m để các cặp đồ thị sau không cắt nhau; cắt nhau tại hai điểm phân biệt

1 :

Bài 9: [ĐVH] Định tham số m để các cặp đồ thị sau tiếp xúc với nhau (có duy nhất một điểm chung)

1

1

2

P y= − x + +x và ( ) 2

2 :

P y = − + x x m

1 :

Bài 10: [ĐVH] Cho Paranbol ( ) 2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( ) P

b) Tìm tham số m để phương trình x2− − x m 2 = 0 có nghiệm duy nhất