Bài tập vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng có đáp án thầy nguyễn bá tuấn

M T C U VÀ NG TH NG, M T PH NG

Bài 1 Cho m t c u (S): 2 2 2

Xét v trí t ng đ i c a đi m A đ i v i m t c u (S) trong các tr ng h p sau:

a i m A(1; 1; 0) b i m 1;1;1

2

  c i m A(3; 5; 0)

Gi i

a i m A(1; 1; 0) PA S/( )       1 1 2 2 2 0 A n m trên m t c u

b i m 1;1;1

2

  /( )

A S

P

          A n m trong m t c u

c i m A(3; 5; 0) PA S/( )  9 25 6 10 2    0 A n m ngoài m t c u

Bài 2 Trong không gian v i h to đ Oxyz cho đ ng th ng ( ) : 13 1

 và m t c u

( ) : S x  y  z  2 x  4 y  6 z  67  0. L p ph ng trình m t ph ng ( ) P ch a đ ng th ng ( ) d

và ti p xúc v i m t c u ( ) S

Gi i

M t c u (S) tâm I(1;2;3) R9 G i mp P( ) có vtpt n A B C( ; ; )0

ng th ng d có vtcp u ( 1;1;4) và M(13; 1;0) d

Vì d ( )P M( )P  pt P( ) : (A x13)B y(  1) Cz0 (1) M t khác

P d

n u     A B C   A B C Thay vào (1) ta có pt

x B C By Cz  B C Do ( )P ti p xúc v i (S) nên d I P( ;( ))9

2





   

V TRÍ T NG I (PH N 1)

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N BÁ TU N

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng V trí t ng đ i (Ph n 1) thu c khóa h c Luy n thi

THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn

s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này

N u C0, ch n C   1 B 4 n(8;4;1)

TH2: B 2C, N u C    0 B 0 A 0 (lo i)

N u C0, ch n C     1 B 2 n(2;1;1)

Khi đó ph ng trình (P) là 8x4y z 1000 ho c 2x2y z 280

Bài 3 Trong không gian v i h t a đ Oxyz Cho m t c u (S) : x  12 y2z  22  9 L p ph ng trình

m t ph ng (P) vuông góc v i đ ng th ng a :

2 2

1



x

và c t m t c u (S) theo đ ng tròn có bán

kính b ng 2

Gi i

(S) có tâm J ( 1 , 0 ,  2 ) bán kính R = 3

ng th ng a có vtcp u ( 1 , 2 ,  2 ), (P) vuông góc v i a nên (P) nh n u làm vtpt

Ph ng trình (P) có d ng : x  2 y  2 z  D  0

(P) c t (S) theo đ ng tròn có bán kính r = 2 nên d( J , (P) ) = R2 r2  5

nên ta có : 5

3

) 2 (

2 0 2 1































5 3 5

5 3 5 D D

V y có 2 m t ph ng : (P1) : x  2 y  2 z  5  3 5  0 và (P2) : x  2 y  2 z  5  3 5  0

Bài 4 Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho m t c u (S): x2y2z2 2x 2y 4z  2 0 và đ ng

th ng d: x 3 y 3 z

   

L p ph ng trình m t ph ng (P) song song v i d và tr c Ox, đ ng th i ti p xúc

v i m t c u (S)

Gi i

(S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2 d có VTCP u(2;2;1)

(P) // d, Ox  (P) có VTPT n u i, (0;1; 2)

 Ph ng trình c a (P) có d ng: y2z D 0

(P) ti p xúc v i (S)  d I P( ,( )) R 

D

2 2

1 4

2

1 2

 



  D 3 2 5 

D D

3 2 5

3 2 5

  



 



 (P): y2z 3 2 5 0 ho c (P): y2z 3 2 5 0

Bài 5 Trong không gian Oxyz cho b n đi m A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0)

G i (S) là m t c u đi qua b n đi m A, B, C, D Hãy vi t ph ng trình m t ph ng ti p xúc v i m t c u (S)

t i đi m A

Gi i

Tâm I x y z( ; ; )c a (S) có t a đ là nghi m c a h ph ng trình:

( 6) ( 2) ( 3) ( 1) ( 6) ( 6) ( 2) ( 3) ( 2) ( 1) ( 6) ( 2) ( 3) ( 4) ( 1)

4 6 6 32 2 3 3 16 3

V y m t c u (S) có tâm I(2; -1; 3)

M t ph ng (P) ti p xúc v i (S) t i A nên (P) có vect pháp tuy n là IA(4; 1;0

Ph ng trình m t ph ng (P) là: 4(x 6) (y2)0hay x4  y 260

Bài 6 Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t c u (S): x2y2z22x4y  và m t ph ng 4 0

(P): x   Viz 3 0 t ph ng trình m t ph ng (Q) đi qua đi m M(3;1; 1) vuông góc v i m t ph ng (P)

và ti p xúc v i m t c u (S)

Gi i

(S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT n P (1;0;1)

PT (Q) đi qua M có d ng: A x(  3) B y(  1) C z(  1) 0,A2B2C2 0

(Q) ti p xúc v i (S)  d I Q( ,( ))  R 4A B C  3 A2B2C2 (*)

Q P

( ) ( )         (**) 0 0

T (*), (**)  B5A 3 2A2B2 8B27A210AB0  A2B  7A 4B

 V i A2B Ch n B = 1, A = 2, C = –2  PT (Q): 2x y 2z 9 0

 V i 7A 4B Ch n B = –7, A = 4, C = –4  PT (Q): 4x7y4z 9 0

Bài 7: Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t c u (S): x2y2 z2 2x4y2z 3 0 và m t

ph ng (P): 2x y 2z140.Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) ch a tr c Ox và c t (S) theo m t đ ng

tròn có bán kính b ng 3

Vi t ph ng trình m t ph ng (Q)

( ) : (S x1) (y2)  (z 1) 9có tâm I(1; -2; -1) và bán kính R = 3

M t ph ng (Q) c t (S) theo đ ng tròn có bán kính R = 3 nên Q ch a I

(Q) có c p vect ch ph ng là: OI (1; 2; 1),  i(1;0;0)

Vect pháp tuy n c a (Q) là: n(0; 1; 2)

Ph ng trình c a (Q) là: 0.(x 0) 1(y 0) 2(z   0) 0 y 2z0

Bài 8 Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và m t c u (S): x2

+

y2 + z2– 2x – 4y – 6z – 11 = 0 Ch ng minh r ng m t ph ng (P) c t m t c u (S) theo m t đ ng tròn Xác

đ nh t a đ tâm và tính bán kính c a đ ng tròn đó

HD

I (1; 2; 3); R = 1 4 9 11    ; d (I; (P)) = 5 2(1) 2(2) 3 4 3

4 4 1



  < R = 5

V y (P) c t (S) theo đ ng tròn (C)

Ph ng trình d qua I, vuông góc v i (P) : x y t t

1 2

2 2 3

  

  



  



G i J là tâm, r là bán kính đ ng tròn (C) J  d  J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t)

J  (P)  2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0  t = 1

V y tâm đ ng tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r = R2IJ2 4

Ngu n : Hocmai.vn