Bài 4: Cho tứ diện Lấy điểm lần lượt trên đoạn và điểm ở trong tam giác Tìm giao tuyến của: và và và Bài 5: Cho tứ diện Điểm lần lượt trên sao cho Tìm giao tuyến của: và và Bài 6: Cho
Trang 11 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
PHẦN 1 – ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
① Thuật ngữ và kí hiệu:
MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG
① ②
“điểm THUỘC, đường CON”
② Cách xác định một mặt phẳng:
Ba điểm không thẳng hàng
thuộc mặt phẳng ⇝
Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt
phẳng ⇝ ,
Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng ⇝ ,
③ Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian:
Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng
Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau
Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng
Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt
④ Cách trình bày các giao điểm, giao tuyến:
Giao điểm của
hai đường thẳng đường thẳng và mặt phẳng Giao điểm của Giao điểm của hai mặt phẳng Giao tuyến của hai mặt phẳng
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP:
VẤN ĐỀ 1: GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng
Điểm chung thứ nhất thường được cho trước
Điểm chung thứ hai là giao điểm của hai đường thẳng còn lại không đi qua điểm chung thứ nhất
Áp dụng 1: Cho hình chóp , trong đó đáy là một đa giác có các cặp cạnh không song song với
nhau Tìm các giao tuyến: và và và
Áp dụng 2: Cho hình chóp Gọi , lần lượt là hai điểm trên hai cạnh , sao cho không
song song Tìm các giao tuyến: và và
Trang 2
2 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
Áp dụng 3: Cho tứ diện là điểm nằm trong , là điểm nằm trong Tìm giao tuyến
của hai mặt phẳng: và và
Áp dụng 4: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm Gọi là trung điểm
① Tìm giao tuyến của và ② Tìm giao tuyến của và
Áp dụng 5: Cho tứ diện , là điểm bên trong , là điểm bất kỳ trên
① Tìm giao tuyến của và các mặt phẳng
② Cho lần lượt là các điểm bất kỳ trên Tìm giao tuyến của và
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Cho hình chóp Đáy có cắt tại , cắt tại Tìm giao tuyến của:
① và và ② với các mặt phẳng
Bài 2: Cho hình chóp có các cạnh đáy không song song, và sao cho
Tìm giao tuyến của: và và và
Bài 3: Cho tứ diện Gọi , lần lượt là trung điểm của và là một điểm trên cạnh sao cho
Tìm giao tuyến của với
Bài 4: Cho tứ diện Lấy điểm lần lượt trên đoạn và điểm ở trong tam giác Tìm
giao tuyến của: và và và
Bài 5: Cho tứ diện Điểm lần lượt trên sao cho
Tìm giao tuyến của: và và
Bài 6: Cho tứ diện Lấy điểm lần lượt trên đoạn và điểm ở trong tam giác Tìm
giao tuyến của: và và
Bài 7: Cho hình chóp có đáy là hình thang Lấy điểm thuộc cạnh Tìm giao
tuyến của: và và
Bài 8: Cho tứ diện và điểm nằm trong tam giác Tìm giao tuyến của:
và và
Bài 9: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm , , lần lượt là trung điểm của
, , Tìm giao tuyến của với các mặt phẳng
Bài 10: Cho hình chóp Lấy Tìm giao tuyến của:
và và và
Bài 11: Cho hình chóp Hai điểm lần lượt là trọng tâm Tìm giao tuyến của:
và và và và
Bài 12: Cho hình chóp Hai điểm lần lượt là trọng tâm nằm trong tứ
giác Tìm giao tuyến của: và và và
Bài 13: Cho hình chóp gọi lần lượt là trọng tâm là trung điểm sao
cho Tìm giao tuyến của: và và
Bài 14: Cho hình chóp Lấy điểm Tìm giao tuyến của và
Bài 15: Cho hình chóp có Lấy điểm lần lượt trên đoạn và điểm ở
trong Tìm giao tuyến của: và và
Trang 33 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
VẤN ĐỀ 2: GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Tìm giao điểm của đường thẳng và mp
Chọn mp chứa đường thẳng
Tìm giao tuyến của mp với mp là
Giao điểm (kéo dài hoặc cắt trực tiếp) của và là giao điểm cần tìm của và mp
Áp dụng 1: Cho hình chóp , là điểm nằm trong Tìm giao điểm của và
Áp dụng 2: Cho hình chóp , và Tìm giao điểm của và ; và
Áp dụng 3: Cho hình chóp , gọi , lần lượt là trung điểm của và , trên lấy điểm sao
cho Tìm giao điểm của và Tìm giao t ến của và
Áp dụng 4: Cho tứ diện , gọi và với và không song song
① Tìm giao tuyến của và ② Tìm giao điểm của và
Áp dụng 5: Cho hình chóp , gọi , , lần lượt là các điểm thuộc
① Tìm giao điểm của và ② Tìm giao điểm của và
Áp dụng 6: Cho hình chóp , đáy là hình bình hành, gọi là trung điểm của
① Tìm giao điểm của và Chứng minh:
② Tìm giao điểm của và ③ Gọi Tìm giao điểm của và
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Cho tứ diện Lấy các điểm lần lượt trên các cạnh Tìm giao điểm của:
Bài 2: Cho hình chóp lấy các điểm lần lượt trên cạnh sao cho Lấy điểm
trong Tìm giao điểm của: và và và
Bài 3: Cho tứ diện Lấy các điểm lần lượt là trung điểm cạnh Trên đoạn lấy điểm
sao cho Tìm giao điểm của: và và
Bài 4: Cho tứ diện Gọi lần lượt là trung điểm của Trên đoạn lấy điểm thỏa mãn:
Tìm giao điểm của: và và với là trung điểm
Bài 5: Cho hình chóp , đáy có các cặp cạnh không song song với nhau Lấy , , lần lượt
trên cạnh Tìm giao điểm của và
Bài 6: Cho hình chóp có đáy là hình thang, đáy lớn Gọi là trung điểm Lấy
điểm tùy ý trên Tìm giao điểm của: và và và
Bài 7: Cho hình chóp Có đáy là hình thang, đáy lớn Gọi , , là ba điểm trên , ,
① Tìm giao điểm của với ② Tìm các giao điểm của mp với và
Bài 8: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành là trung điểm là trọng tâm
Xác định giao điểm của: và và và và
Bài 9: Cho tứ diện gọi là trung điểm là trọng tâm nằm trong Tìm giao
điểm: ① của với là hình gì? và và và
Bài 10: Cho hình chóp gọi lần lượt là trọng tâm Xác định giao điểm của:
và và và và
Bài 11: Cho hình chóp Gọi lần lượt là điểm nằm trong các Tìm giao
điểm của đường thẳng và
Trang 44 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
VẤN ĐỀ 3: CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG – 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
M ốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng cùng th ộc hai mặt phẳng phân biệt
M ốn chứng minh ba đường thẳng đồng q i ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng nà là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao t ến là đường thẳng thứ ba
Áp dụng 1: Cho tứ diện ; trên các cạnh lần lượt lất sao cho cắt tại
cắt tại và cắt tại Chứng minh thẳng hàng
Áp dụng 2: Cho tứ diện Lấy lần lượt trên cách cạnh sao cho cắt tại
cắt tại Chứng minh: đồng quy
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Cho tứ diện có là trọng tâm Gọi lần lượt là trung điểm
① Tìm giao tuyến: và ② Chứng minh: thẳng hàng
Bài 2: Cho hình chóp , gọi lần lượt là các điểm thuộc cạnh
① Tìm giao điểm ② Chứng minh: thẳng hàng
③ Chứng minh: thẳng hàng
④ Chứng minh: thẳng hàng
Bài 3: Cho tứ diện Gọi lần lượt là các điểm thuộc cạnh
Chứng minh thẳng hàng
Bài 4: Cho tứ diện gọi lần lượt là các điểm thuộc cạnh cắt tại cắt
tại cắt tại Chứng minh thẳng hàng
Bài 5: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành Gọi là trung điểm của
① Tìm giao điểm ② Tìm giao điểm
③ Tính tỉ số ④ Chứng minh: thẳng hàng Tính tỉ số
Bài 6: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm Gọi , lần lượt là trung điểm của
① Tìm giao điểm ; giao tuyến của và và
② Gọi Chứng minh thẳng hàng
Bài 7: Cho hình chóp là giao điểm và Lấy điểm trên cạnh
① Tìm giao điểm của và ② Chứng minh: đồng quy
Bài 8: Cho hình chóp Trên cạnh lấy một điểm không trùng với và
① Tìm giao điểm của đường thẳng với ② Chứng minh đồng quy
Bài 9: Cho tứ diện Gọi , , lần lượt là ba điểm trên ba cạnh , , sao cho cắt tại ,
cắt tại Chứng minh , , đồng qui
Bài 10: Cho hình chóp Gọi , là hai điểm cố định trên và với và Một mặt
phẳng quay quanh cắt tại , tại Gọi
① CMR: , và đồng qui ② CMR: , , thẳng hàng
Bài 11: Cho tứ diện Qua dựng mặt phẳng cắt , tại Qua dựng mặt phẳng cắt , tại cắt nhau tại , cắt nhau tại Giả sử kéo dài cắt tại
① Chứng minh: , , đồng qui ② Chứng minh: , , và , , thẳng hàng
Trang 55 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
VẤN ĐỀ 4: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM M HAY CHỨNG MINH M DI ĐỘNG TRÊN ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH
(HOẶC CHỨNG MINH M THUỘC VÀO GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG CỐ ĐỊNH)
Xác định giao điểm
Xác định giao tuyến (NHỚ chứng minh giao tuyến cố định)
Kết luận: cố định hay tập hợp điểm là đường thẳng cố định (tìm giới hạn nếu có)
CHÚ Ý: Nếu đề yêu cầu chứng minh di động trên đường thẳng cố định, ta không tìm giới hạn
Bài 1: Cho hình chóp có đáy có các cạnh đối không song song Lấy tùy ý trên
① Tìm ② Tìm tập hợp điểm khi di động trên
Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình thang, đáy lớn , di động trên Gọi
① Tìm giao điểm của với ② Gọi Tìm tập hợp điểm
Bài 3: Cho hình chóp , mặt phẳng di động cắt lần lượt tại
① Tìm giao điểm ② Gọi Tìm tập hợp điểm
③ Gọi Tìm tập hợp điểm
VẤN ĐỀ 5: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP CẮT BỞI MẶT PHẲNG
Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của với một mặt của hình chóp (có thể là mặt phẳng trung gian)
Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các điểm chung mới của với các mặt khác Từ đó xác định được các giao tuyến mới với các mặt này
Tiếp tục như trên cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện
Áp dụng 1: Cho hình chóp và Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
Áp dụng 2: Cho tứ diện là trung điểm là điểm đối xứng của qua là điểm đối xứng của
qua Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
Áp dụng 3: Cho hình chóp có là tứ giác lồi lần lượt là trung điểm của các cạnh
Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Cho hình chóp lần lượt là trọng tâm là trung điểm của Tìm thiết
diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
Bài 2: Cho hình chóp , sao cho là trọng tâm
① Tìm giao điểm của: với với với
② Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi
Bài 3: Cho hình chóp Trong các miền tam giác lần lượt lấy các điểm Tìm
thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
Bài 4: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm Gọi , , là ba điểm trên , , Tìm
thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
Bài 5: Cho tứ diện đều Kéo dài một đoạn Kéo dài một đoạn Gọi là
trung điểm của Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng
Trang 66 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
Bài 6: Cho hình chóp là một điểm trên cạnh , và lần lượt là trung điểm của và
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
Bài 7: Cho hình chóp Trong , lấy một điểm Trong , lấy một điểm
① Tìm giao điểm của và ② Tìm giao điểm của với
③ Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
Bài 8: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm Gọi , , là trung điểm của
① Tìm giao tuyến của với , và giao điểm của với
② Xác định thiết diện của hình chóp với và tính tỉ số mà chia các cạnh , ,
Bài 9: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành Gọi là trung điểm của , là trọng tâm
① Tìm giao điểm của với Chứng minh chứa
② Chứng minh đi qua trung điểm của Tìm thiết diện của hình chóp với
Bài 10: Cho hình chóp , là một điểm trên cạnh , là một điểm trên cạnh ① Tìm ② cắt tại Chứng minh , , thẳng hàng ③ Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng