Cực trị hàm bậc ba
I,Tóm tắt lý thuyết:
1.Hàm số yf(x) ax3 bx2 cxd(a 0)
2.Đạo hàm : y' f' (x) 3ax2 2bxc
3.Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số y f (x) có cực trị y f (x) có cực đại và cực tiểu f' (x) 0có hai nghiệm phân biệt ' 2 3 0
ac
b
4.Kỹ năng tính nhanh cực trị:
Bớc1:Thực hiện phép chia f (x) cho f ' x( ) ta có:
a
bc d x a
b c x
f a
b x x
f
9 3
3
2 ) ( ' 9 3
1 )
(
Tức là: f(x) q(x).f' (x) r(x)
Bớc 2: Do
0 ) 2 ( '
0 ) 1 ( '
x f x f
nên
) 9 ( 2 ) 3 ( 3 2 ) 2 ( )
2
(
2
) 9 ( 1 ) 3 ( 3 2 ) 1 ( )
1
(
1
a bc d x a b c x
r x
f
y
a bc d x a b c x
r x
f
y
.Hệ quả:Đờng thẳng đi qua CĐ,CT có phơng trình là:
9 ( ) 3
( 3
2
a
bc d a
b c
II.Các dạng bài tập:
Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị:
Bài tập:
Bài 1:Tìm m để hàm số : ( 6 ) ( 2 1 )
3
Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu phơng trình y' (x) 0 có hai nghiệm phân biệt 2 2 ( 6 ) 0
mx m
x
có hai nghiệm phânbiệt ' 2 6 0 ( 2 ) ( 3 )
Bài 2:Tìm m để hàm số ( 2 ) 3 3 2 5
Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu phơng trình y' (x) 0 có hai nghiệm phân biệt
3 ( 2 ) 2 6 0
1 3 0
2
2
0
6
3
'
0
2
m
m
m
m
m
m
Bài 3:Tìm m để hàm số ( 2 ) ( 5 4 ) ( 1 )
3
thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2
Giải: yêu cầu bài toán ' ( ) 2 2 ( 2 ) ( 5 4 ) 0
x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2 1 y' ( 1 ) 3m 9 0 m 3
Bài 4:Tìm m để hàm số ( 3 ) 4 ( 3 ) ( )
3
m m x m x
m x
y đạt cực trị tại x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<<x2
Giải: yêu cầu bài toán ' ( ) 2 2 ( 3 ) 4 ( 3 ) 0
y x x m x m có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<x2 3
2 ) 3 ( 1 0 7 2
0 3 2 2
1 0 ) 1 ( ' 1 0
m m m m S f
Bài 5: Tìm m để hàm số ( 2 ) ( 3 1 ) ( 5 )
3
x=2
Giải:
Trang 2*Điều kiện cần:
Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 suy ra f' ( 2 ) 0 ta có
1 3 ) 2 (
2
)
(
x
*Điều kiện đủ:
Nếu m=3 thì f '' (x) 2x 16 f '' ( 2 ) 12 0 x CT 2
Nếu m=1 thì f '' (x) 2x 4 f '' ( 2 ) 0 nhng lúc đó ta có f' (x) (x 2 ) 2 0 x
Hàm số không có cực trị
*Kết luận:m=3
Dạng 2:phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu
Bài 1:Tìm cực trị và viết phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại,cực tiểu của hàm
số ( ) 3 3 2 6 8
x
f
Giải:
.Ta có ' ( ) 3 ( 2 2 2 )
x
f
3 1 2
3 1 1 0
2 2 )
( 0 ) (
x
x x
x x g x
f
suy ra hàm số y f (x)đạt cực trị tại x1,x2
.Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có f(x) g(x)(x 1 ) 6 (x 1 ) do
0 )
2
(
0 )
1
(
x
g
x
g
nên
3 6 ) 1 2 ( 6 ) 2 ( 2
3 6 ) 1 1 ( 6 ) 1 ( 1
x x
f
y
x x
f
y
3 6 ) 2 ( 3 6 ) 1 ( 0
3 6 ) 2 ( '
0 3 6 ) 1 ( ' )
1
(
6
)
(
'
x f f x f f x
f x f x
x
f
cd ct
.Phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT là y 6 (x 1 )
Bài 2:Tìm m để hàm số ( ) 2 3 3 ( 1 ) 2 6 ( 2 ) 1
x
CĐ,CT song song với đờng thẳng yaxb
Giải:
.Đạo hàm ' ( ) 6 ( 2 ( 1 ) 2 )
x f
' ( ) 0 ( ) 2 ( 1 ) 2 0
x f
hàm số có CĐ,CT f' (x) 0hayg(x) 0 có hai nghiệm phân biệt
3 0
) 3
.Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có
) 3 3 ( ) 3 ( )]
1 ( 2
)[
(
)
x
f
Với m 3 thì g(x) 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
do
0 )
2
(
0 )
1
(
x
g
x
g
nên
) 3 3 (
2 ) 3 ( ) 2 ( 2
) 3 3 (
1 ) 3 ( ) 1 ( 1
2 2
2 2
m m
x m
x f y
m m
x m
x f y
suy ra đờng thẳng qua CĐ,CT là(): ( 3 ) 2 ( 2 3 3 )
y
ta có () song song với đờng
a m a a m a a m a m a m m b ax y
3 0 3 0 ) 3 ( 0 ,3 ) 3 ( 3
2 2
vậy nếu a 0 thì không tồn tại m;nếu a<0 thì m3 a
Bài 3: Tìm m để hàm số f(x) 2x3 3 (m 1 )x2 6m( 1 2m)x
tiểu nằm trên đờng thẳng y 4x
Giải:
.Đạo hàm f' (x) 6 (x2 (m 1 )xm( 1 2m))
' ( ) 0 ( ) 2 ( 1 ) ( 1 2 ) 0
x f
hàm số có CĐ,CT f' (x) 0hayg(x) 0 có hai nghiệm phân biệt
3
1 0
) 1 3 ( ) 2 1 ( 4 ) 1
Trang 3.Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có
) 2 1 )(
1 ( )
1 3 ( )]
1 ( 2
)[
(
)
Với
3
1
m thì g(x) 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
do
0 )
2
(
0 )
1
(
x
g
x
g
nên
) 2 1 )(
1 ( 2 ) 1 3 ( ) 2 ( 2
) 2 1 )(
1 ( 1 ) 1 3 ( ) 1 ( 1
2 2
m m
m x m
x f y
m m
m x m
x f y
suy ra đờng thẳng qua CĐ,CT là():y ( 3m 1 ) 2xm(m 1 )( 1 2m)
Ta có CĐ,CT nằm trên đờng thẳng
1 2
; 1
; 0 2 1 3 0 ) 2 1 )(
1 (
4 ) 1 3 ( ) 4 (
)
(
m m m
m m m x
y
x
y
Bài 4: Tìm m để hàm số ( ) 3 2 7 3
x mx x x
f có đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu vuông góc với đờng thẳng y 3 x 7
Giải:
Hàm số có CĐ,CT f' (x) 0 có hai nghiệm phân biệt ' 2 21 0 21
.Thực hiện phép chia f (x) cho f ' x( ) ta có
9
7 3 ] 21 [ 9
2 ] 9
1 3
1 )[
(
'
)
x m m
x x
f
x
Với m 21thì f' (x) 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
do
0 ) 2
(
'
0 ) 1
(
'
x
f
x
f
nên
9 7 3 2 ) 21
( 9 2 ) 2 ( 2
9 7 3 1 ) 21
( 9 2 ) 1 ( 1
2 2
m x
m x
f y
m x
m x
f y
suy ra đờng thẳng qua CĐ,CT là():
9
7 3 ) 21 ( 9
x m
ta có () vuông góc với đờng thẳng y 3 x 7
1 3 ) 21 ( 9 21
2
m m
dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị
bài 1:Cho (cos 3 sin ) 8 ( 1 cos 2 ) 1
3
2 ) (x x3 a a x2 a x
f
1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu
2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x12+x22 18
Giải:
1.Xét phơng trình: ' ( ) 2 3 2 (cos 3 sin ) 8 ( 1 cos 2 ) 0
x f
Ta có ' (cosa 3 sina) 2 16 ( 1 cos 2a)
' (cosa 3 sina) 2 32 cos 2 a 0 a
Nếu ' 0 thì
0 sin 0 cos 0 sin 3 cos 0 cos
a a a a a
0 cos 2a sin 2a 1 0 1 vôlý
Từ đó suy ra ' 0 a f' (x) 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
2.Theo định lý Viét ta có
) 2 cos 1 ( 4 2 1
cos sin
3 2 1
a x
x
a a
x x
Suy ra x12 +x22 =(x1+x2)2-2x1x2=
a a
a a
a a
a cos ) 2 8 ( 1 cos 2 ) 9 sin 2 6 sin cos 17 cos 2
sin
3
Khi đó BĐT:x12+x22 18 9 sin 2 a 6 sinacosa 17 cos 2 a 18 (sin 2 a cos 2 a)
2
) cos
sin
3
(
0 a a luôn đúng
Bài 2: Cho f x x (m 1 )x (m 4m 2 )x
3
2 ) ( 3 2 2 1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
2.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1
Trang 43.Gọi các điểm cực trị là x1,x2.tìm max của A= x1x2 2 (x1 x2 )
Giải:
Đạo hàm ' ( ) 2 2 2 ( 1 ) 2 4 3
x f
1.-5<m<-1
2.hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1 f' (x) 0 có hai nghiệm phân biệt
3
) 2 3 ( ) 2 3 (
1 5
) 2 3 , 2 3 (
2 1 0 ) 1 ( ' 1 0 ' 0 ) 1 ( ' 2
2 1 1 2 1 1
m m
m m
m m
S f f
x x x x
3.Theo định lý viét ta có
) 3 4 (
2 2 1
) 1 ( 2 1
m x
x
m x
x
2
1 ] ) 4 ( 9 [ 2
1 ) 1 ( 2 2
3 4 )
2 1 ( 2 2
x x
Với m=-4 ( 5 ; 1 ) thì Max A=
2 9