Mot so pp co ban giai bai toan cuc tri o THCS.

Để giải các bài toán cực trị học sinh phải biết đổi tơng đơng các biểu thức đại số, phải sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp.... Là ngời trực tiếp giảng dạy toán tr

đó Các bài toán này là một phần của các bài toán cực trị đại số.

Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, nó tơng đối mới và khó

đối với học sinh THCS Để giải các bài toán cực trị học sinh phải biết đổi tơng

đơng các biểu thức đại số, phải sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản

đến phức tạp phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, t duy sángtạo

Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hớng đợc hớng đi, hay hơn thế

là hình thành đợc ''phơng pháp giải'' mỗi khi gặp một bài toán cực trị đại số

Là ngời trực tiếp giảng dạy toán trong trờng THCS, trong quá trình giảng dạy,

đặc biệt là dạy học sinh giỏi, tôi luôn luôn trăm trở, tìm tòi, chọn lọc những phơngpháp hợp lý nhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh một cách suy nghĩ mới làmquen với dạng toán này để dần dần các em có đợc một số phơng pháp giải cơ bản

nhất Trong khuôn khổ nhỏ hẹp này tôi xin nêu ra "Một số phơng pháp cơ bản để

giải bài toán cực trị đại số bậc THCS".

II mục đích và nhiệm vụ của đề tài.

1 Mục đích nghiên cứu

 Nghiên cứu đề tài một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại

số bậc THCS giúp giáo viên vận dụng một cách tổng hợp các tri thức đãhọc, mở rộng đào sâu và hoàn thiện hiểu biết từ đó có phơng pháp dạyhọc phần này cho học sinh có hiệu quả giúp học sinh nắm chắc kiếnthức và vận dụng linh hoạt kiến thức toán học đặc biệt là kiến thức về

"Một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS”.

 Nghiên cứu đề tài để lắm đợc những thuận lợi và khó khăn khi dạy họcphần giải bài toán tìm cực trị từ đó xác định hớng nâng cao chất lợngdạy và học môn toán

 Nghiên cứu đề tài giúp giáo viên có t liệu tham khảo và dạy thành côngdạy toán tìm cc trị của đồ thức

2 Nhiệm vụ nghiên cứu.

 Đề tài đa ra một hệ thống các phơng pháp thờng dùng để giải bài toáncực trị và một số bài toán áp dụng đối với từng phơng pháp

 Trang bị cho học sinh lớp 9 hệ thống kiến thức để giải bài toán cực trị,tránh đợc những nhầm lẫn thờng gặp khi giải dạng bài toán này

 Thông qua đề tài, học sinh có thể nắm đợc một số phơng pháp và có thểvận dụng vào giải bài tập, rèn kĩ năng giải bài toán cực trị, đồng thờigiúp học sinh thấy đợc cái hay, cái đẹp, sức hấp dẫn của toán học, kíchthích sự tò mò khám phá, tìm hiểu bài toán

III đối t ợng và phạm vi nghiên cứu

 Nghiên cứu các phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị trong chơngtrình toán THCS

 Nghiên cứu các tài liệu có liên quan

 Giáo viên dạy toán THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 8, 9

IV Ph ơng pháp nghiên cứu.

1 Phơng pháp nghiên cứu lí luận

Đọc các tài liệu có liên quan

 Điều tra nắm tình hình dạy của các giáo viên trong và ngoài nhà trờng

 Điều tra mức độ tiếp thu và vận dụng "Một số phơng pháp cơ bản

để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS” của học sinh.

 Chất lợng của học sinh trớc và sau khi thực hiện

Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, ) ∈ |D

1.2 Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền |D :

M đợc gọi là GTNN của f(x,y, ) trên miền |D đến 2 điều kiện sau đồngthời thoả mãn :

Từ đó suy ra : [f (x)]2k + m ≥ m ∀x ∈ |R, k ∈ z

M - [f (x)]2k ≤ M b) x ≥ 0 ∀x ≥ 0 ⇒ ( x )2k≥ 0 ∀x≥0 ; k ∈zTổng quát : ( A)2k ≥ 0 ∀ A ≥0 (A là 1 biểu thức)

2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối :

a) |x| ≥ 0 ∀ x∈|R

b) |x+y| ≤ |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra ⇔ x.y ≥ 0

c) |x-y| ≥ |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra ⇔ x.y ≥ 0 và |x| ≥ |y|

2.3 Bất đẳng thức côsi :

∀ai ≥ 0 ; i = 1 ,n : n

n

n a a a n

a a

a

b + ≥ +

4 1

1

II Một số phơng pháp cơ bản giải bài toán cực trị đại số

Ph ơng pháp 01

( Sử dụng phép biến đổi đồng nhất )

Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổibiểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dơng) và nhữnghằng số Từ đó :

1.Để tìm Max f(x,y, ) trên miền |D ta chỉ ra :

x

M y

x f

| ) , (

) , (

0 0

x

m y x f

| ) , (

) , (

0 0

sao cho f(x0,y0, ) = m

I Các vi dụ minh hoạ :

1 Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A1 = x2 + 4x + 7

4 VÝ dô 4 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A4 = ( 1 )

1 2

1 10 2

2

2

≠ +

−

−

−

x x

x

x x

Gi¶i :

) 1 (

9 1

6 2 )

1 (

9 ) 1 ( 6 ) 1 2 ( 2 1

2

1 10 2

−

= +

−

−

−

x x

x

x x

x x

x

x x

xy

y x y y x

x( − ) − ( − )

A5 =

xy

y x y

x ).( )

xy

y x y

x ) ( )

⇒ A5 min = 0 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y

VËy : A5 min = 0 ⇔ x = y > 0

6 VÝ dô 6 : Cho x,y ≥ 0 vµ x + y = 1

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña A6 = x2 + y2

MÆt kh¸c : x + y = 1 ⇒ (x + y)2 = 1 ⇒ 1 = x2 + 2xy + y2 ⇒ (x2+y2)-(x-y)2

⇒ A6 = x2+y2 =

2

1 ) ( 2

1 2

≥

− + x y do (x - y)2 ≥ 0

0

y

x y

7 VÝ dô 7 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2

Gi¶i :

Ta cã : A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2 =

-2

1(2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz)

 Phơng pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi

đồng nhất đợc áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau Song đôi khi học sinh thờng gặp khó khăn trong công việc biến đổi để đạt đ-

ợc mục đích Vậy còn những phơng pháp nào; để cùng phơng pháp vừa nêu trên giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải Trớc hết ta giải một số bài toán sau để cùng suy ngẫm.

683

x

xy y x

2

) (

4

+ +

+ +

196 74 7

−

x x

x x

3 Tìm GTLN, GTNN của A =

32

64

2

2

++

+

+

x x

x x

Ph ơng pháp 02 :

( Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản )

Ta biết rằng : Từ một bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng

đa về 1 bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng mà một vế là hằng

số Vì vậy : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng ta

có thể tìm đợc cực trị của 1 biểu thức nào đó

I Các ví dụ minh hoạ :

1 VÝ dô 1 : Cho a > b > 0 T×m GTNN cña B1 = a +

) (

1

b a

b −

Gi¶i :

Ta cã : B1 = a +

) (

1

b a

b − = b + (a-b) + ( )

1

b a

b − ≥ 3.3

) (

) (

b a b

b a b

2 VÝ dô 2 : Cho a,b > 0 vµ a + b = 1 T×m GTNN cña B2 =

4 )

1 2

1 ( 2

1 1

2

2 1

1

b a ab b

a ab ab

b a ab b

a

ab + + = + + = + + + ≥ + + +

B2 ≥ 2 + 6

) (

4

2 = +b

a do a + b = 1 ⇒ B2min = 6 ⇔ a = b = 21VËy : B2min = 6 ⇔ a = b = 21

3 VÝ dô 3 : Cho xy + xz + yz = 4 T×m GTNN cña B3 = x4 + y4 + z4

4 VÝ dô 4 : Cho |a| ≤1; |b| ≤1 vµ | a+ b| = 3

(1)

¸p dông (1) ta cã :

2

1 2

) (

2 2

1 1

3 2

2

2 2

2 2

⇒

2 2 2

2

1 1

VËy : B4Max = 1 ⇔ a = b =

2 3

5 VÝ dô 5 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B6 = | x + 7| + | x - 1995|

x

0 0

x

0 0

8 VÝ dô 8 : Cho xyz = 1 vµ x + y + z = 3

Cách 2: (Không sử dụng giả thiết xyz = 1)

áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có :

 Rõ ràng khi áp dụng một số bất đẳng thức cơ bản, bài toán đợc giải quyết

nhanh hơn Song việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc vào giả thiết bài toán và sự vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó Một vấn đề đặt ra là : Hai phơng pháp vừa nêu vẫn cha đủ để giải quyết đợc hết các bài toán cực trị đại số THCS Chính vì lẽ đó nhu cầu phải có những ph-

ơng pháp khác tối u hơn và thực hiện đợc yêu cầu bài toán Trớc khi đi nghiên cứu phơng pháp 03 Chúng ta cùng nghiên cứu một số bài tập sau :

ab + +

3 Cho a,b,c > 0

a) Tìm GTNN của C =

b a

c a c

b c b

a

+

+ +

+ +

b) Tìm GTNN của D =

c

b a b

a c a

c b b a

c a c

b c b

a + + + + + +

+

+ +

+ +

7 Cho 0 ≤ x ≤ 3 ; Cho 0 ≤ y ≤4 Tìm GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y)

8 Cho x,y,z,t ≥ 0 và 2x + xy + z + yzt = 1

Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đối tơng đơng Sử dụngcác bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biến thức đã cho về biểu thức đơn giảnhơn, dễ xác định cực trị hơn

I Các ví dụ minh hoạ :

x

y y

x + -

x

y y

z z

x

y z

y

x

+

+ +

+ +

y = − +

;

2

c b a

z = + −

Khi đó : C4 =

2 2

2

c b a c b a c b

a b

c c

b a

b b a

Theo Côsi với a,b,c >0 ta có : + ≥ 2 ; + ≥ 2 ; + ≥ 2

b

c c

b a

c c

a a

b b a

) 1

)(

(

y x

y x y

x

+ +

y

+ +

+

) 1 )(

1

2 2

y x

y

x = + +

−

) 1 )(

1 (

1

2 2

2 2

Khi đó : C5 =a.b

Theo (1) và (2) ta có : -

4

) (a+b 2 ≤ C5 = ab ≤

4

) (a+b 2

⇔ -

2 2 2

2 2 2

2 5

2 2 2

2 2 2

2

) 1 )(

1 (

1 4

1 )

1 )(

1

(

1 4

− +

+

−

−

y x

y x y

x C

y x

y x y

x

⇔ -

2 2 2

2 2

5

2 2 2

2 2

) 1 )(

1 (

) 1 )(

1 ( 4

1 )

1 )(

1

(

) 1 )(

1 (

− +

+

−

y x

y x

C y

x

y x

⇔ -

2 2

2

1

1

2

1

1 4

−

y y

Ta có : 0 ≤

2 2

2

1

1 4

1 4

1 4

−

y y

4 1

− ⇔ x = 0

3 Cho a ≥ -21; b ≥ -21; c ≥ -21 và a+ b + c = 1

Tìm GTLN của C = 2a+1 + 2b+1+ 2c+1

4 Cho x,y > 0 Tìm GTNN của D = 2 3 4

2 2

x

y y

x x

y y x

Ph

ơng pháp 04 :

( Sử dụng biểu thức phụ )

Để tìm cực trị của 1 biểu thức nào đó, đôi khi ngời ta xét cực trị của 1 biểuthức khác có thể so sánh đợc với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn

Ví dụ : Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0, ta có thể xét cực trị củabiểu thức :

A

1 , -A, kA, k + A, |A| , A2 (k là hằng số)

I Các vị dụ minh hoạ :

1 Ví dụ 1: Tìm GTLN của A =

1

2 4

2

+ +x x x

+ +

= + +

x

x x

x x

2 VÝ dô 2: T×m GTNN cña B = 2

) 2002

T×m GTNN cña D =

t

y x y x

t y

x t x t

y x

t y t y

+ +

+ + + +

+ + +

t y

x t x t

y x

t y t

y

x 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( )

+ +

+ + + +

+ +







 + + +

x t x

t y t

y x y x

t y

x t x t

y x

t y

2 2

2 2

2

P= + + + + + + + + + + + +  + + + + + t 

y t

x y

x y

t x

t x

y t

y x y x

t y

x t x t

y x

t y t

y

x

2

3 2

2 2

2 2

y x

5 , 4

y x

6 VÝ dô 6 : Cho x2 + y2 = 52 T×m GTLN cña F = 2x + 3y

⇒ P1 Max = 26

7 VÝ dô 7: Cho x,y > 0

T×m GTNN cña G =

x

y y

x x

y y

x x

y y

x x

y y

x x

x x

y x

y y

x y

x x

y x

y y

x y

x

2

2 1

2 1

.

2 2

2 2

2 4

4 2

2 4

4

2 2

2 2 2 2 2

2

≥

− +







 −+







 −+

y y

x x

y y

yz z

8

+ +x x x

b a

6 Cho a, b, c, d > 0

T×m GTNN cña F =

c b a

a d b a d

d c a d c

c b d c b

b a

+ +

+ + + +

+ + + +

+

= + +

+

7 Cho a,b ∈ |R

T×m GTNN cña G = a2 + ( 1 −b) 2 + b2 + ( 1 −a) 2

về miền già trị của hàm số để giải và thấy rất hiệu quả.

 Đờng lối chung là :

Giải sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y là mộtgiá trị nào đó của f(x) với x ∈ D Điều này có nghĩa là điều kiện để phơng trìnhf(x) = y có nghiệm Sau đó giải điều kiện để phơng trình f(x)=y có nghiệm (x làbiến, coi y là tham số)

Thờng đa đến biểu thức sau : m ≤y≤M

VËy f(x)Max = -6 ⇔ x = 1

3 VÝ dô 3: T×m GTLN, GTNN cña f(x) =

3 2

6 4

2

2

+ +

+ +

x x

x x

Gi¶i :

Gäi y lµ mét gi¸ trÞ cña f(x)

Ta cã : y =

3 2

6 4

2

2

+ +

+ +

x x

4 VÝ dô 4 :

T×m GTNN cña f(x) =

1 2

6 2

x x

x x

Gi¶i :

Gäi y lµ mét gi¸ trÞ cña f(x)

Ta cã : y =

1 2

6 2

x x

x x

⇔ yx2 + 2yx + y - x2 - 2x - 6 = 0

⇔ (y - 1)x2 - 2(y + 1)x + y - 6 = 0 (cã nghiÖm)

* NÕu y = 1 ⇒ x = -

4 5

VËy f(x) Min =

9

5 ⇔ x =

-2 7

3

2 + −

− x x ; c) C =

x x

x

4 4

2 5

11

2 − x+

25 10

196 74

−

x x

x x

xy x

+ +

Ph ¬ng ph¸p 06 :

( Phơng pháp xét từng khoảng giá trị )

Có nhiều bài toán nếu ta chỉ sử dụng các phép biến đổi tơng đơng, các bất

đẳng thức cơ bản phơng pháp đổi biến hay biểu thức phụ, thậm chí ngay cả khi sửdụng phơng pháp miền giá trị hàm số, việc tìm cực trị vẫn gặp rất nhiều khó khăn

có khi không thể tìm đợc Những khi ta biết cách xét từng khoảng hợp lý (có sự

dự đoán) thì việc tìm đợc cực trị trở nên đơn giản.

I Các ví dụ minh hoạ :

Nếu 5m > 36m thì A có chữ số tận cùng là 9a) Xét A = 1 ta có : 36m - 5m = 1 (không xảy ra) vì

(36m - 1) : 7 còn 5m :7b) Xét A = 9 ta có : 5m - 36m = 9 (không xảy ra) vì

(5m - 36m) : 9 còn 9 : 9c) Xét A = 11 , xảy ra , chẳng hạn m = 1, n = 2

Với n = 3 ta có : B =

8

9 > 1Với n = 4 ta có : B = 1

Ta cần phải chứng minh công thức (*) đúng với (n+1) nghĩa là phải chứng minh :

1 2

) 1

10

* Xét b < a (trờng hợp b > a tơng tự)

b < 10 < a hay 1 ≤ b ≤19 ; 11 ≤ a ≤ 19a) Trớc hết ta tìm TMin = PMax = 19 +

19 1

= +

<

+

= +

a b a

d b c

1 1

19

+

= +

Kết hợp cả 3 trờng hợp ta thấy PMax =

19

172 19

P =

a

c a b a

c b

c a

11

a b a a

19 1

19 1 20 1 1

§Æt ⇒ Pb =

b

b + 20 −

19 1

* XÐt Pb+1 - Pb : 1 ≤ b ≤ 9 ; b ∈ N

Pb+1 - Pb =

) 20 )(

19 )(

1 (

380 58

18 2

b b

b b

b b

−

− +

− +

19 3

1

= +

P4 =

16

7 1 16

Tìm GTLN của B =

d

b c

có toạ độ thích hợp chứa các đoạn thẳng đó

 Lý thuyết cần vận dụng.

+ Nếu A(x1, y1); B (x2, y2) ⇒ AB = 2

2 1

2 2

+ Với 3 điểm M, A, B bất kỳ ta có :

Vậy giá trị lớn nhất của f(x) = 5

khi và chỉ khi 3 điểm M, A, B thẳng hàng

Ta lại có phơng trình của đờng thẳng qua A và B là : d =

3

5 3

D,E,F thẳng hàng PT đờng thẳng đi qua DE nhận F (x-4, 0) là nghiệm

⇔ Giải điều kiện ta tìm đợc x = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) = 4 ( 5+ 10 ) tại x = 2

Nhận xét : Vận dụng phơng pháp này để tìm cực trị của biểu thức, đòi hỏingời giải phải rất tinh tế khi chọn điểm để thảo mãn những yêu cầu bài toán

Bài tập tham khảo :

Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x2 −2x+5+ x2 +2x+10

Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của f(x) = 4x2 +2x+1− 4x2 −2x+1

III kết quả thực hiện.

 Sau khi áp dụng đề tài vào việc giảng dạy, việc giải các loại bài toán tìmcực trị của học sinh đã có những tiến bộ Điều này thể hiện rõ ở kết quảlàm bài tập, bài kiểm tra; khả năng phân tích bài toán, định hớng, t duycủa các em nhanh hơn, chính xác hơn Nhiều em rất say mê học, đemkiến thức áp dụng vào thực tế tốt hơn Các em rất tích cực su tầm thêmcác bài toán hay trong sách, báo, tạp chí để trao đổi với bạn bè

 Tôi đã tiến hành áp dụng đề tài này với đối tợng HS lớp 9 của trờngbằng cách chia lớp thành hai nhóm để dạy đối chứng và thu đợc kết quả

V h ớng phát triển của đề tài:

Do thời gian, tài liệu cũng nh năng lực còn hạn chế và mức độ nghiên cứu cha

lớn đề tài mới chỉ đi sâu tìm hiểu "Một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán

cực trị đại số THCS" Trên cơ sở này chúng ta có thể mở rộng giải bài toán cực

trị bằng phơng pháp giải tích sẽ có một đề tài nghiên cứu ở mức độ lớn hơn :

"Cực trị đại số" Bao gồm "Cực trị tự do"; "Cực trị vớng" và "Cực trị tuyệt đối",

hoặc hơn nữa chúng ta còn có thể kết hợp với các bài toán cực trình hình học

Phần III Kết luận

Sau thời gian học tập tích cực tìm tòi nghiên cứu, kết hợp với những t liệutích luỹ đợc, qua quá trình giảng dạy thực tế cùng với sự tham gia đóng góp ýkiến của các bạn đồng nghiệp đề tài đã đợc hoàn thành Những vấn đề đợc trìnhbài trong đề tài tuy cha thật toàn diện song thực sự có lợi ích rất lớn cho giáo viênbồi dỡng học sinh giỏi với việc cố gắng chọn, khái quát thành một số phơng phápgiải quen thuộc cùng với hệ thống bài tập minh hoạ có thể giúp học sinh tiếp thu

bài một cách nhẹ nhàng gây động cơ hứng thú học tập bớc đầu đã có những thànhcông nhất định.

Trên đây là những ý tởng và việc làm nhỏ bé của em qua việc nghiên cứu đềtài khoa học Trong quá trình thực hiện đề tài không tránh khỏi những thiếu sót vềcấu trúc, về ngôn ngữ và cả những kiến thức khoa học Vì vậy em rất mong cácthầy cô giáo có những ý kiến đóng góp chân thành để giúp em hoàn thành xuấtsắc đề tài của mình

Em xin chân thành cảm ơn !

Tài liệu tham khảo 1) Sách giáo khoa Đại số 8; 9 Nhà xuất bản giáo dục 1) Sách nâng cao Đại số 8 Vũ Hữu Bình 2) Sách nâng cao Đại số 9 Vũ Hữu Bình 3) Sách nâng cao Đại số 8 Võ Đại Mau 4) Sách nâng cao Đại số 9 Võ Đại Mau 5) Tuyển tập các bài toán sơ cấp Vũ Hữu Bình

6) Tuyển tập các bài toán sơ cấp Võ Đại Mau 7) 36 bộ đề ôn thi tốt nghiệp THCS Võ Đại Mau 8) Tạp trí toán học trẻ Tháng 3 năm 2002

II : Một số phơng pháp cơ bản giải bài toán cực trị đại số 5

Phơng pháp 01 : Sử dụng phép biến đổi đồng nhất 5Phơng pháp 02 : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản 9Phơng pháp 03 : Sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ 13