Chuyen de 3 Cuc tri dai so

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 1.. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các cực trị của P trênmiền S.. Nguyên tắc chung tìm cực

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

1 Khái niệm về cực trị của một biểu thức

Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S nào đó xácđịnh Nếu với bộ giá trị của các biến (x0, y0, z0)  S mà ta có: P(x0, y0, z0)  P(x,

y, , z) hoặc P(x0, y0, z0)  P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, , z) lớn nhất hoặc nhỏnhất tại (x0, y0, z0) trên miền S

P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x0, y0, z0)  S còn gọi là P đạt cực đại tại (x0,y0, z0) hoặc Pmax tại (x0, y0, z0) Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x0, y0, z0)

 S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x0, y0, z0) hoặc Pmin tại (x0, y0, z0)

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các cực trị của P trênmiền S

2 Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức

Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn đề rộng vàphức tạp, nguyên tắc chung là:

*) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định S, ta cầnchứng minh hai bước:

- Chứng tỏ rằng P  k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xácđịnh S

- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức

*) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định S, ta cầnchứng minh hai bước:

- Chứng tỏ rằng P  k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xácđịnh S

- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức

Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên.

VÍ DỤ: Cho biểu thức A = x2 + (x - 2)2

Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau:

Ta có x2  0 ; (x - 2)2  0 nên A  0

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0

Lời giải trên có đúng không?

b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:

* a2  0, tổng quát: a2k  0 (k nguyên dương)

11

 (Xảy ra dấu đẳng thức  a = b)

4 CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN

(Một số dạng bài toán cực trị trong đại số)

DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA

MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

A(x) = x2- 4x+1 Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi về dạng

A(x)k (k là hằng số) với mọi gía trị của biến và chỉ ra trường hợp xảy ra đẳng thức

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa B(x)

về dạng B(x) k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến khi đó giá trị lớn nhất củaB(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức

2 5

2 2

2 2

2 5

Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)=

5

9

, khi x =

-5 2

Ví dụ 3: (Tổng quát)

Cho tam thức bậc hai P = ax2 +bx + c

Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải biến đổi sao cho P =

a.A2(x) + k Sau đó xét với từng trường hợp a>0 hoặc a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặclớn nhất

Lời giải:

P = a.A2(x) + k = a (x2 +

2 2

44

2 2

a

b c a

b a

b x x

+ 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của x2 + x + 1 bằng

4

3

với x = -

2 1

Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng

16

9 4

Ví dụ 5:

Tìm giá trị nhỏ nhất của

x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: -Hãy viết biểu thức dưới dạng A2(x) + B2(x)  0

-Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhất của biểu thứcbằng bao nhiêu?

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3

DẠNG 3: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA

ĐA THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong các khoảng

nghiệm So sánh các giá trị của A trong các khoảng nghiệm đó để tìm ra giá trị nhỏnhất của A

Lời giải

+ Trong khoảng x < 1 thì x - 2 = - (x -2) = 2 - x

x - 5 = - (x - 5) = 5 - x  A = 2 - x + 5- x = 7 - 2x

Do x < 2 nên -2x > -4 do đó A = 7 - 2x >3 + Trong khoảng 2  x  5 thì x - 2 = x - 2

x - 5 = - (x - 5) = 5 - x

 A = x - 2 + 5 - x = 3 + Trong khoảng x > 5 thì x - 2 = x - 2

Đáp số: Amin = 3 khi và chỉ khi 2  x  5

Cách 2: Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một tổng nhỏ hơn hoặc

bằng tổng các giá trị tuyệt đối.Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

DẠNG 4: BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN THỨC CÓ TỬ LÀ HẰNG SỐ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI

Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của M =

5 4x

- 4x

11

 hoặc theo quy tắc so sánhhai phân số cùng tử, tử và mẫu đều dương

Lời giải:

Xét M =

5 4x

- 4x

Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của B =

4 - x - 2x 1

2

Hướng dẫn giải:

Ta có: B =

4 - x - 2x

1

2 = -

4 2x - x

Chú ý: Khi gặp dạng bài tập này các em thường xuyên lập luận rằng M (hoặc

B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất (nhỏ nhất) khi mẫu nhỏ nhất (lớn nhất) Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức

Như vậy từ -3 < 1 không thể suy ra -

3

1

>

1 1

Vậy từ a < b chỉ suy ra được

DẠNG 5:BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA PHÂN

THỨC CÓ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC

Ví dụ 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2

2

) 1 (

) 1 (

) 1 (

x

x

2

) 1 (

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng

1 2

1 0

y

 x + 1 = 2  x = 1

2

2 2

2

1 4

1 2 3

6 3 1

4

1 4 4 1

x x

x x x

x x A

2

2 2

) 1 ( 4

) 1 ( ) 1 ( 3

A

2

2

) 1 ( 4

) 1 ( 4

2

) 1 ( 2

1 4

1

x

 4 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng

 0 (HOẶC (2)

k

x A

 0)

Ví dụ 10:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M(x) =

3 2

10 6 3

2 2

x x

(Với x thuộc tập hợp số thực)

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Từ M(x) =

3 2

10 6 3

2 2

x x

ta có:

M(x) =

3 2

1 9 6 3

2 2

x x

=

3 2

1 ) 3 2 ( 3

2 2

x x

(?) Ta có thể chia cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho x 2 + 2x + 3 được không? Vì sao?

Trả lời: Vì x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x+1)2 > 0 với mọi giá trị của x nênsau khi chia cả tử và mẫu cho x2 + 2x + 3 ta được

M(x) = 3 + ( 11)2 2





x

(?) Bài toán xuất hiện điều gì mới?

Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 ) 2 (

Trả lời: Vì (x+1)2  0 Với mọi x

Nên (x+1)2 + 2  2 với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi x+1=0 hay x=-1

Vậy giá trị lớn nhất của M(x) = 3

154

152

1x4

154

1xx4xxA

4

15

đạt được khi x = -

2 1

x8

398

394

1x28

3916

12

xx2B

254

252

3x4

254

9xx

4xx M

23

23

1-x-3 N

A = 2006 khi và chỉ khi x2 + 5x = 0  x = 0 hoặc x = - 5

Vậy min A = 2006 khi x = 0 hoặc x = - 5

Lời bình:

Bài toán ở ví dụ 3 trên có bài toán tổng quát là:

Tìm giá trị nhỏ nhất của: (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + e với a, b, c, d, e là các hằng số và

a + b = c + d

Đối với dạng toán này giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phương pháp đổi biến (đặt

ẩn phụ) để đưa về tam thức bậc hai rồi vận dụng cách làm như ví dụ 1, 2

Khi hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ cần lưu ý: có nhiều cách đặt ẩn phụ đối với dạngtoán này, nhưng thường cách đặt sau đây đem lại hiệu quả và giúp ta có lời giải gọnhơn:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi y = 0  x + 3 = 0  x = - 3

Vậy min A = 32 khi x = - 3

Ví dụ 4 a, b có bài toán tổng quát là:

Tìm giá trị nhỏ nhất của: (x + a) 4 + (x + b) 4 (a, b là hằng số).

Với bài toán này ta thường chọn cách đặt ẩn phụ là y = x +

2

b

a 

Bằng cách đặt ẩn phụ như vậy sau khi khai triển và rút gọn ta sẽ nhận được một đathức dạng a0y4 + b0y2 + c0 với a0, b0, c0 > 0 Đến đây hoàn toàn ta có thể giải tiếp đượcbài toán

2 Biểu thức là đa thức bậc hai nhiều biến:

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

2 x 0

2 x

0 1 y x

1 x 0

1 y

0 3 y 2 x

Lời giải ở ý b) đã chỉ rõ cho ta một đường lối để đạt được mục đích là đưa biểu thứcban đầu về dạng tổng các bình phương đó là:

- Đầu tiên ta đi nhóm các hạng tử chứa ẩm x lại rồi thêm bớt để đưa toàn bộ các hạng

tử chứa ẩn x vào bình phương của một đa thức

- Tiếp đó ta đi thêm bớt để đưa nốt ẩn y vào bình phương của một đa thức còn lại

Với cách làm này, học sinh chỉ cần nắm vững về hằng đẳng thức đáng nhớ, cùng vớithao tác thêm bớt hạng tử đưa dần từng biến của biểu thức vào các hằng đẳng thức.Phương pháp này gọi là phương pháp đưa dần các biến vào hằng đẳng thức, vận dụngphương pháp này học sinh dễ dàng làm tốt các bài tập với biểu thức là đa thức bậc hainhiều biến

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

H = 4x2 +3y2 - 2xy - 10x - 14y + 30

Lời giải:

Cách 1: Ta có:

H = 4x2 +3y2 - 2xy - 10x - 14y + 30

= (x2 + y2 + 1 - 2xy + 2x - 2y) + 3(x2 - 4x + 4) + 2(y2 - 6y + 9) - 1

2 x 0

3 y

0 2 x

0 1 y x

95 9 6y y 4

11 4

5 y 3y 4

5 y 4

5 y 2x.

x

4

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 x 0

3 y

0 4

5 y x

c) x2 + 5y2 + 3z2 - 4xy + 2xz - 2yz - 6z + 2014

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của:

a) A = 4xy + 8yz - 4x2 - 10y2 - 3z2 - 4xz - 12z + 1969,

b) B = xy, biết x, y là hai số thực thoả mãn x + 2y = 1

DẠNG 3: Biểu thức là phân thức một biến.

Bài tập 1:

a) Tìm giá trị lớn nhất của:

11 12x 9x



4

1 29 x 20 4x

- Với biểu thức dạng này, ta cũng có thể làm theo cách nhận xét về dấu của tử và mẫucủa biểu thức đã cho từ đó chuyển bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhấtcủa mẫu

Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

2 x

41 26x 5x

2

2 x

1 9.

2 x

1 6.

5 2

x

9 2 x 6 4 4x x

5 2

x

41 26x

2

x441

2x

34

12x

322

x

25 10x x

4 4x x

4 2

x

41 26x 5x

2 2

2 2

- Với cách 2, cơ sở của việc tách đó là không khả thi đối với các biểu thức cùng loại có

hệ số phức tạp Lẽ dĩ nhiên các biểu thức loại này vẫn có thể sử dụng phương phápmiền giá trị để làm

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:

1x

34x

12x4

1x

44x4x

1x41x

34x

2 2

2 2

12x

1x

2x-11

x

44xx

1x-1x

34x

2 2

2 2

* Vì x2 + 1  0 x, nên A xác định với mọi x

Gọi A0 là một giá trị nào đó của biểu thức

1x

34x

A1

2x

Lời bình:

Ta thấy, theo cách 1 thì ta cần tách tử thức thành tổng của một đa thức chia hết chomẫu thức và một đa thức có thể viết được dưới dạng bình phương của một nhị thức.Điều này có thể hiểu như sau:

1x

a34xax

1xa1x

34x

2 2

+ Với a = 4, ta có cách tách để tìm max A như trên

+ Với a = - 1, ta có cách tách để tìm min A như trên

Đến đây ta thấy, để giải được bài toán dạng này học sinh cần phải biết cách tìm điềukiện để một tam thức bậc hai có thể viết được dưới dạng bình phương của một nhị thứckhi mà chưa được học về phương trình bậc hai Vậy trước khi dạy đến dạng này giáo

11270

1x

5M

9x6x

2010

144x

12x

922x

1x

yxyx

G

2 2

N n(víi 0A nghÜa

N n(víi 0A0

Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki, Mincôpxki

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

34xx

A

42xx

Vậy min A = 0 khi x = 1 hoặc x = 3.

b) * Ta có: x2 - 2x + 4 = (x - 1)2 + 3 > 0 x, vậy B có nghĩa với mọi x

Ta có: B x2  2x4  x2  2x13  x 12 3  3x

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x - 1)2 = 0  x = 1

Vậy min B = 3 khi x = 1

2a

b x a c bx ax

M

2 2

+ Nếu b2 - 4ac  0 thì min M = 0;

+ Nếu b2 - 4ac < 0 thì min

4a

4ac b

Vậy max C = 8 khi x = 1

b) * Điều kiện để D có nghĩa: - 3x2 + 2x + 5  0 

3

3 4 1 x 3

3 4

163

1x33

169

1x3

2x35

2x3x

D

-2 2

Với a < 0 ta có:

4a

4ac b

2a

b x a c bx ax

N

2 2

Vậy min A = - 2 khi x = 0

b) x-5 có nghĩa khi và chỉ khi x - 5  0  x  5

Do đó ta có: B  2 x  x  5  3  2.5 + 0 + 3 = 13

B = 13  x = 5

Vậy min B = 13 khi x = 5

c) x  có nghĩa khi và chỉ khi x + 2  0  x  - 2.2

Do đó ta có:

4

11 4

11 2

1 2 x 4

11 4

1 2 x 2 x 5 2 x

1 2 x 2

1 2

Vậy min C =

4

11 khi x =

9 2

1 x 4

1 2 4

1 x x 2 x

a) Điều kiện để A có nghĩa: (x - 2)(6 - x)  0  2  x  6 (1)

Với điều kiện (1) thì x - 2  0 và 6 - x  0

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm ta được:

2

x 6 2 x x 6 2

 min A = 0 khi x = 2 hoặc x = 6

b) Điều kiện để B có nghĩa (1 - x)(x - 7)  0  1  x  7 (2)

Với điều kiện (2) thì x - 1  0 và 7 - x  0

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm ta được:

2

x 7 1 x x 7 1 x 7

x x

2

7 x x 1 7 x x

- 7  0 Do đó cần đổi dấu hai nhân tử dưới dấu căn của B trước khi áp dụng bất đẳngthức Côsi

Bài toán tổng quát của dạng này là:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  ax - bc  dx với a, b, c, d là các số dương cho trước.

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 x x 1 x

1x1xx

vµ x

4

32

1x1

x

x

2 2

2 2

1xx1x

2x

x1x22

2x

2 4 2

2 2 2 2

0 x khi chØ

vµ

ra khi y

3 2

3 x

2

1 2

1

x

2

3 x

2

1 2

3 2

1

x

2

3 2

1 x 2

3 2

1

x

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

1 2

3 2

1 x 2

Do vậy, khi dạy cho học sinh cách này giáo viên cần giới thiệu cho học sinh về căn bậc

n trước

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

96xx12xx

B

4-x4-x4-x4x

M

x-142

D

x-531x2

E

2x-931x2

F

3x-15512x3

H

*****************************