Luận văn bài toán bù trong không gian hilbert

Nguyễn Năng Tâm - Trường ĐHSP Hà Nội II đã hướng dẫn để tôi hoàn th àn h luận văn này.. Tôi cũng xin chân th àn h cám ơn các T hầy cô giảng viên của trường ĐHSP Hà Nội 2 đã truyền th ụ k

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PG S.TS Nguyễn Năng Tâm - Trường ĐHSP Hà Nội II đã hướng dẫn để tôi hoàn th àn h luận văn này Tôi cũng xin chân th àn h cám ơn các T hầy cô giảng viên của trường ĐHSP

Hà Nội 2 đã truyền th ụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trìn h học tập tại trường vừa qua Tôi xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia sẻ, giúp đõ, động viên tạo mọi điều kiện th u ận lợi để tôi hoàn th àn h luận văn này

Hà Nội, th án g 6 năm 2016

T á c g iả

Đ ỗ A n h T u ấ n

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trong luận văn là tru n g thực và không trù n g lặp với các đề tài khác Các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, th án g 6 năm 2016

T á c g iả

Đ ỗ A n h T u ấ n

C h ư ơ n g 2 B à i t o á n b ù t r o n g k h ô n g g ia n H i l b e r t h ữ u h ạ n

2.1 K hái niệm về bài toán bù trong không gian H ilbert hữu hạn

c h i ề u 10

2.2 Sự tồn tạ i nghiệm cho bài toán bù trong không gian H ilbert

hữu hạn c h i ề u 122.3 T ính chất tập nghiệm của bài toán bù trong không gian

H ilbert hữu hạn c h i ề u 162.4 Bài toán bù tuyến tín h trong không gian H ilbert hữu hạn

c h i ề u 20

C h ư ơ n g 3 B à i t o á n b ù t r o n g k h ô n g g ia n H i l b e r t 233.1 Khái niệm về bài toán bù trong không gian H i l b e r t 233.2 Sự tồn tạ i nghiệm cho bài toán bù trong không gian H ilbert 243.3 T ính chất tập nghiệm cho bài to án bù trong không gian

H i l b e r t 293.4 Bài toán bù tuyến tín h trong không gian H i l b e r t 35

nónnón đối ngẫu của K

không gian H ilbertkhông gian các phiếm hàm tuyến tín h liên tục

không gian H ilbert n chiều

chuẩn trong không gian H ilberttích vô hướng của hai vector X và y

tích vô hướng của hai vector X và y

phần bù của E

Mở đầu

1 L ý d o c h ọ n đ ề t à i

Nhiều bài to án x u ất hiện trong m ột số lĩnh vực (ví dụ như: Kinh tế, Lý thuyết trò chơi, Quy hoạch to án học, Cơ học, Lý thuyết đàn hồi, Kĩ th u ật, Những bài toán cân bằng) có th ể p h á t biểu dưới cùng dạng như sau: Cho

H là m ột không gian H ilbert với tích vô hướng (•, •) và K là m ột nón lồi

đóng trong H với nón đối ngẫu K* = { y £ H : ( x , y ) > 0,V x £ K } Bài

to án bù N C P ( f , K ) xác định bởi ánh xạ / từ K vào H là tìm X £ K sao

cho / (X) £ K* và ( / (x) , x ) = 0

Bài to án trên được gọi là bài toán bù và (hình như) có nguồn gốc từ Định lý Kuhn-Tucker (về điều kiện cần cực trị) trong tối ưu phi tuyến Vì bài to án bù có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như trong thực tế, nhiều tác giả trong và ngoài nước đã và đang quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng, nhiều khía cạnh Sau khi học được các kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của chúng Tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Bài toán

bù trong không gian H ilbert”

2 M ụ c đ íc h n g h iê n c ứ u

T ìm h iể u về m ộ t số nộ i d u n g c ủ a b à i to á n b ù tr o n g k h ô n g g ian H ilb e rt.

Chương 1

M ột số kiến thức chuẩn bị

Nội dung chính của chương bao gồm m ột số kiến thức cơ sở về không gian H ilbert và m ột số toán tử trên không gian H ilbert Những kiến thức trong chương này được lấy từ [1], [2]

1.1 K h á i n iệm v ề k h ô n g g ia n H ilb e r t

Cho H là không gian vector trên trường số thực R.

Đ ịn h n g h ĩa 1.1 1 Ta gọi mỗi ánh xạ

i v) (X, X) > 0 , ( x , x ) = 0 X = 0.

Số ( x : y) được gọi là tích vô hướng của hai phần tử X và y Không gian vector H cùng với m ột tích vô hướng xác định được gọi là không gian có

tích vô hướng và thường được viết là (iZ, (.,.))

M ệ n h đ ề 1 1 2 Cho không gian H cùng với một tích vô hướng ) xác

định Khi đó công thức

xác định một chuẩn trên H

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 3 Nếu không gian có tích vô hướng (H , (.,.) ) với chuẩn xác định như trên là m ột không gian đủ, th ì ta gọi ( H : )) là m ột không

gian H ilbert Ta gọi số chiều của H là số chiều của không gian H ilbert

V í d ụ 1 1 4 Lấy H = R n với X = ( x i , x n ) , y = ( y i , , y n) G H biểu

thức

( H ,

n

ix ,y) =

Xác định m ột tích vô hướng trên không gian Mn và với chuẩn

Khi đó, trở th àn h m ột không gian H ilbert hữu hạn chiều

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 5 Tập s c H được gọi là lồi nếu với mọi x , y G (S', đoạn

th ẳn g nối x , y đều nằm trong (S' Nói cách khác, s c H là tập lồi khi và

chỉ khi: Va;, y E (S', VA G [0,1] ta có: X = Ằx + (1 — Ằ)y G s

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 6 Cho s c H là m ột tập hợp khác rỗng, s được gọi là

nón nếu VA > 0 và X G s ta luôn có Aa; G (S' Nón s được gọi là nón lồi nếu s là tập lồi Nón s được gọi là nón lồi đóng nếu s vừa là nón lồi, vừa

\(x,y}\ < INI \\y\\.

B ất đẳng thức này được gọi là b ấ t đẳng thức C a u c h y — S c h w a r t z

Đ ịn h lý 1 1 9 Cho H là một không gian Hilbert Khi đó

H X H E

Đ ịn h lý 1 1 1 0 Cho s là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H Khi đó, với mỗi X £ H tồn tại duy nhất y & s sao cho

gọi là phần bù trực giao của (S'

T ừ định nghĩa ta có th ể suy ra tín h chất đơn giản sau:

i) 0_Lx,Vx £ H,

ii) x l y =>■ yl-X,

iii) X-L { y ũ y 2\ -,yn} x ± a 1y 1 + a 2yi + + a ny ĩlìn £ N*,ati £ R , i =

1 , 2 , 3 , , ra,

iv) x ± y n, y n -)• y khi n ->• oo =>- X-Ly.

Đ ịn h lý 1 1 1 2 Giả sử s là một không gian con đóng của không gian Hilbert H Khi đó mỗi phần tử X £ H biểu diễn được một cách duy nhất

dưới dạng X = y + z, trong đó y € s và z € (S'_L.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 3 Theo định lý trên, mọi X ẽ H đều biểu diên được

duy n h ấ t dạng X = y + z với

y e S , z e S ±

Như vậy, H = s © s ± Á nh xạ p : H —> s , xác định p ( x) = y với

X — y + z ^ S @ S ± , được gọi là phép chiếu trực giao từ H lên s

Đ ịn h lý 1 1 1 4 Phép chiếu trực giao p từ không gian H ỉ l h e r t H lên không

gian con đóng s Ỷ {0} là một toán tử tuyến tính liên tục.

Ngược lại bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục nào trên không gian Hilbert

H cũng có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng (1.1), trong đó a là một vector

của H thỏa mãn (1.2).

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 6 Cho 777,1 , 777,2 £ H , ta ký hiệu 777,1 <£> 777,2 là toán tử tuyến tín h trên H xác định bởi

(777,1 ® m 2){x) = (777,1, aO(777,2)

1.2 T ôp ô y ếu tr o n g k h ô n g g ia n H ilb e r t

Đ ịn h n g h ĩa 1.2 1 Tôpô yếu n h ất trên H để các ánh xạ tuyến tín h / G H* vẫn liên tục được gọi là tôpô yếu trên H

M ệ n h đ ề 1 2 2 Dãy {:Efc} c H hội tụ yếu đến X nếu và chỉ nếu

Đ ịn h n g h ĩa 1.3 1 Cho A là m ột toán tử trong không gian H ilbert H , ánh xạ Ả* : H —> H được xác định như sau:

Vy € H, A*y = y*

trong đó

( A x , y ) = (x, A*y) = { x , y * } ,

khi đó A* được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A.

Đ ịn h lý 1 3 2 Giả sử H là một không gian Hilbert và A là một toán tử

liên tục từ H vào H Khi đó: A** = A và ||i4**|| = \\A\\.

Đ ịn h lý 1 3 3 Giả sử H là một không gian Hilbert và A, B là một toán

tử liên tục từ H vào H, A £ R Khi đó:

(A + B Ỵ = A* + B*

(A A Ỵ = XA*

( B o A Ỵ = A* o B *

I* = I (I là toán tử đồng nhất trên H).

Đ ịn h lý 1 3 4 Giả sử H là một không gian Hilbert và A là một toán tử

liên tục từ H vào H Khi đó A là một phép đồng phôi khi và chỉ khi A* là

một phép đồng phôi và (A*) 1 = (A -1 )*.

Đ ịn h n g h ĩa 1 3 5 Với M c H , ta kí hiệu s p a n M là không gian tuyến

tín h nhỏ n h ất của H chứa M , ỉ n t M là phần trong của M trong H , d M

lần lượt là ảnh và nhân của T

Đ ịn h n g h ĩa 1 3 6 Cho H là m ột không gian H ilbert, T là m ột toán tử tuyến tín h bị chặn trên H , K vầ L là những nón lồi đóng trong H Ta nói

T là đồng dương cộng trên K nếu:

i) k € K th ì (T k , k) > 0,

ii) k & K và (T k , k) = 0 th ì (T + T*) k = 0.

Đ ịn h n g h ĩa 1 3 7 Cho H là m ột không gian H ilbert, T là m ột toán tử tuyến tín h bị chặn trên H , K nón lồi đóng trong H Ta nói T là đơn điệu trên K nếu { T x — T y , x — y } > 0; x , y £ K

Đ ịn h n g h ĩa 1 3 8 Cho M là m ột tập trong không gian H ilbert H M được gọi là khả ly nếu M chứa m ột tậ p con đếm được trù m ật trong M

K ế t lu ậ n

Trong chương 1 đã trìn h bày m ột số khái niệm về không gian H ilbert, toán tử trong không gian H ilbert, định nghĩa về tậ p lồi, nón, nón lồi đóng các kết quả sẽ dùng trong các chương sau

Chương 2

Bài toán bù trong không gian

Chương 2 sẽ trìn h bày m ột số kết quả về bài to án bù trong không gian

H ilbert hữu hạn chiều Các kết quả trìn h bày trong chương này được lấy

từ [4], [6],

2.1 K h ái n iệm v ề b ài to á n b ù tr o n g k h ô n g gian

H ilb e r t hữu h ạn ch iều

Đ ịn h n g h ĩa 2 1 1 ([4], ir.164) Cho X là tập con khác rỗng của R n và cho F là ánh xạ từ Kn vào chính nó Bài to án tìm vector X* & X sao cho

F ( x ‘ )T ( y - x ' ) > 0 , V y e X (2.1)

được gọi là b ấ t đẳng thức biến phân Kí hiệu là V I ( X , F).

Tập t ấ t cả các vector X* G X th ỏ a m ãn (2.1) được gọi là tập nghiệm

của V I ( F , X ) và ký hiệu là S o l { V I ( F , X ) )

Trường hợp đặc biệt của b ấ t đẳng thức biến phân V I ( X , F ) là bài toán

bù phi tuyến N C P ( F ) được định nghĩa sau đây.

Đ ịn h n g h ĩa 2 1 2 ([4], ir.166) Cho F là m ột ánh xạ từ R n vào chính

nó Bài toán tìm vector X* £ K” sao cho,

Vậy S o l ( N C P ( F)) = { x e M " | a:_LF(a:)}.

Đ ịn h n g h ĩa 2 1 4 ([4], ír.166) Cho X là m ột nón lồi của Kn và cho F

là m ột ánh xạ từ R n vào chính nó Bài to án tìm vector X* € X sao cho

F( x*) e X * và F ( x *) t x * = 0

được gọi là bài toán bù tổng q u át trong không gian H ilbert hữu hạn chiều,

kí hiệu G C P ( X , F) ở đó, X * là nón đối ngẫu của X, cho bởi công thức

X * = {y e Mn : y Tx > 0}.

2.2 S ự tồ n tạ i n g h iệm ch o b ài to á n b ù tr o n g k h ô n g

g ia n H ilb e r t hữu h ạn ch iều

M ệ n h đ ề 2 2 1 ([4], ír.1 6 6 ) Cho X là một nón lồi trong Mn và cho F

là một ánh x ạ từ M71 vào chính nó Thì X* G X là nghiệm của bài toán

V I ( X , F ) khi và chỉ khi X* là nghiệm của bài toán G C P ( X , F ).

Đ ịn h n g h ĩa 2 2 2 ([4], ír.167) Cho tậ p X là tập con lồi, đóng của R n

và G là m a trậ n đối xứng, xác định dương cấp n X n Khi đó, phép chiếu

theo chuẩn G — chuẩn của điểm y E R n lên tập X , kí hiệu là p r c x { y ) )

được xác định là nghiệm duy n h ấ t của bài to án sau đây:

minimize IIy — x ||Q.

Trong đó, ỊỊ^IIg = (x TG x )1/ 2 là ký hiệu G — chuẩn của vector X ẽ

Sử dụng định nghĩa ta có các kết quả sau đây:

M ệ n h đ ề 2 2 3 ([4], tr 167 — 168) Cho tập X là tập con lồi, đóng của ]Rn và G là ma trận đối xứng, xác định dương cấp n X n Khi đó, X* là nghiệm của bài toán VI(X,F) khi và chỉ khi

X* = p r G,x{x* - G ~ 1F(x*));

khi và chỉ khi X* là điểm bất động của ánh xạ H : ]Rn — > R n xác định bởi

H ( x ) = p r G, x (X - ơ _1F ( x ) ) (2.3)

Trong bài toán bù phi tuyến N C P ( F ) (trong đó X = M™), công thức

(2.3) được viết dưới dạng đơn giản:

H ( x ) = m a x ( Q , x — F ( x ) )

cùng với G là m a trậ n đồng nhất Trường hợp tổng quát, nếu

H : R n — Mn

th ì X* là điểm b ất động nếu và chỉ nếu X* là không điểm của ánh xạ

H ị x ) = H ị x ) — X Do đó, bài toán b ấ t đẳng thức biến phân V I và bài

to án bù phi tuyến N C P có th ể được viết dưới dạng bài to án cổ điển của

Đ ịn h lý 2 2 4 ([4], ír.168) Cho 9 : R — * R là một hàm tầng ngặt với

6(0) = 0 Khi đó, vector X* E R n ỉà nghiệm của N C P ( F ) khi và chỉ khi

H (x *) = 0, trong đó H : R n — » Mn được xác định bởi

T a sẽ c h ứ n g m in h x TF ( x) = 0 G iả sử Xị > 0 và Fị(x) > 0 với m ộ t vài

Đ ịn h lý 2 2 7 ([4], ír.1 7 6 ) Cho F : MỊ — * Mn là hàm P — hàm trên M™

Thì tồn tại ít nhất một vector X* G ĩưị là nghiệm của bài toán N C P ( F )

C h ứ n g m in h + Nếu X* G M+ và y* G M+ th ỏ a m ãn bài toán N C P ( F ) ,

th ì

(x* - Vi*)[fi(x*) - fi(y*)] = -y*ifi (x*) - x*fi(y*) < 0

với mỗi i và do hàm F là hàm p — hàm nên X* = y*.

+ Nếu F : M71 — » M71 là khả vi trên và F ' ( x ) là p — ma trận với

mỗi X G M Ị, th ì F là p — hàm trên ĩ ự ị Vì vậy, nếu F \ x ) là p — ma trận

với mỗi X G M” , th ì tồn tại ít n h ất X* G -ft” là nghiệm của bài toán

G C P ( X , F) ký h iệu , Í 2 ( X , F) đ ư ợ c đ ịn h n g h ĩa bởi

Í2(X, F ) = { x £ X : F { x ) £ X*}.

Vector trong Í 2 ( x , F ) được gọi là khả thi, và bài toán G C P ( X , F ) gọi là khả th i nếu nếu Í 2 ( x , F ) là khác rỗng.

M ệ n h đ ề 2 3 3 ([4], tr 173) Cho F : M™ — > R n là khả vi liên tục

và giả sử tồn tại một ổ £ (0,1) sao cho tất cả định thức chính của ma

trận jacobian V F ( x ) nằm giữa ỏ và ổ-1 với \/x £ R " Khi đó NC P ( F ) có

Cho ánh xạ F : X — > M71 được gọi là

a) Đồng dương (coposỉtive) đối với X nếu

[F{x) - F (0 )]r a: > 0 \ / x £ X ]

b) Đồng dương (coposỉtive) ngặt đối với X nếu

[F(x) - F { 0 )] t x > 0 V x ẽ l , X Ỷ 0;

c) Đ ồ n g d ư ơ n g (coposỉtive) m ạ n h đố i với X n ế u tồ n tạ i OL > 0 sao cho,

[F(x) — F ( 0 )] t x > a||:rỊỊ2 Vz € X

Đ ịn h lý 2 3 6 ([4], ír.1 7 4 ) Cho F : — » Mn là liên tục và ngặt Nếu

tồn tại ánh xạ c : K+ — > M sao cho c(À) — > oo khi X — > oo, và với tất

có vai trò quan trọng trong bài toán bù phi tuyến N C P ( F ) được suy ra

từ bài toán bù tuyến tính Ánh xạ G hiển nhiên là tuyến tính, do đó điều

kiện (2.5) th ỏ a m ãn,

c(A) = A

Tổng quát, điều kiện (2.5) sẽ cố định với

c(A) = Aa

nếu G là th u ần n h ất dương bậc a > 0, Ơ(À^) = AaG( x ) , với À > 0.