luận văn PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TRONG KHÔNG GIAN HÖLDER

2.5 Một vài tính chất của hàm điều hòa 2.6 Nguyên lý cực đại 2.7 Phương trình Poisson trong hình cầu 2.8 Toán tử Elliptic cấp hai với các hệ số hằng 2.9 Nguyên lý cực đại cho các phư

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐOÀN NGỌC HẢI

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TRONG KHÔNG GIAN

HÖLDER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2010

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐOÀN NGỌC HẢI

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TRONG KHÔNG GIAN

HÖLDERChuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng

HÀ NỘI, 2010

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả luận văn là trung thực, chưa được công bố trong các công trình nghiên cứu nào khác

Hà nội, ngày tháng năm Đoàn Ngọc Hải

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hưỡng dẫn của Tiến sĩ Trần Văn Bằng

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Văn Bằng, người luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong xuất quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thànhluận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu nhà Trường THPT Minh Quang –Chiêm Hóa – Tuyên Quang, cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, giúp

đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu

Hà Nội, ngày tháng năm

Đoàn Ngọc Hải

1.5 Tính khả vi của các hàm Green

1.6 Một vài tính chất của các nghiệm của Lu=f.

1.7 Một số thông tin trên hàm Green

Chương 2: Phương trình Laplace

2.1 Các công thức Green

2.2 Công thức Poisson

2.3 Các hàm Green trong các miền

2.4 Hàm Green và nhân Poisson trong hình cầu

2.5 Một vài tính chất của hàm điều hòa

2.6 Nguyên lý cực đại

2.7 Phương trình Poisson trong hình cầu

2.8 Toán tử Elliptic cấp hai với các hệ số hằng

2.9 Nguyên lý cực đại cho các phương trình cấp hai với hệ số biến thiên

Chương 3: Tính giải được của các phương trình Elliptic trên không gian

H ölder

3.1 Không gian H ölder

3.2 Bất đẳng thức nội suy

3 3 Chuẩn tương đương trong các không gian Hölder.

3.4 Đánh giá tiên nghiệm trong cả không gian đối với toán tử

Laplace

3.5 Một đánh giá cho các đạo hàm của các hàm L điều hòa.

3.6 Đánh giá tiên nghiệm trong cả không gian đối với toán tử Elliptic tổng quát

3.7 Tính giải được của các phương trình Elliptic với các hệ số hằng.

Chương 4: Phương trình Elliptic với các hệ số biến thiên trên ¡ d

4.1 Đánh giá tiên nghiệm của Schauder

4.2 Lu càng chính quy thì u càng chính quy

4.3 Tính giải được của các phương trình Elliptic cấp hai với các hệ

số biến thiên Phương pháp liên tục

4.4 Phương trình cấp hai Lu zu − = f với z phức

4.5 Tính giải được của các phương trình Elliptic bậc cao với các hệ

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số tính chất nghiệm của phương trình Elliptic trong không gian Hölder.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Phương trình Elliptic với các hệ số hằng trong ¡ d ,

Phương trình Laplace,

Tính giải được của các phương trình Elliptic với các hệ số hằng trong không gian Hölder,

Phương trình Elliptic với các hệ số biến thiên trong ¡ d

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Không gian Hölder,

Nghiệm của phương trình Elliptic trong không gian Hölder

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu tài liệu, sử dụng các phương pháp của giải tích hàm, phươngtrình đạo hàm riêng để nghiên cứu phương trình Elliptic trong không gianHölder

6 Giả thiết khoa học

Trình bày hệ thống các vấn đề nghiên cứu,

Chi tiết hóa các chứng minh trong tài liệu,

Chứng minh một số tính chất cụ thể của nghiệm

Đa thức P( ) ξ =∑α≤m a iα αξα được gọi là đa thức đặc trưng của L Toán

tử α =∑m a Dα α được gọi là phần chính của L

Giả sử g x( ) là hàm số đã cho trên ¡ d , ta định nghĩa phép biến đổi Fourier của g là F g( ) = g% xác định bởi

F g( )( ) ξ =g% ( ) ξ =c d∫¡d e−ixξg x dx( ) ,

2

1 (2 )

C∞ ¡ là không gian của các hàm khả vi vô hạn trên ¡ d

với giá compact Khi đó:

g x( )=c d ∫d e gixξ ( )ξ ξd

¡

%hầu khắp nơi khi vế phải được hiểu trong nghĩa L2

Nhận xét 1.1.2: Ta có P( ) ξ =e− ixξLe ixξ Từ đây có Lg%= p( ) ξ g% Thật vậy một cách hình thức sử dụng tích phân từng phần, toán tử

L*:=α ≤∑m aα( 1)− αDα,

được gọi là toán tử liên hợp hình thức với L, và tính chất L e* − ix ξ = p( ) ξ e− ix ξ ta có

P ξ = − ξ Ta thấy P( )ξ = 0 khi ξ = 0 Do đó ∆ không phải là một toán

tử Elliptic theo định nghĩa trên

Sau này ta sẽ đưa ra định nghĩa (Ví dụ 1.3.4) toán tử Elliptic thuần nhất, khái niệm đó bao gồm cả toán tử Laplace Chú ý rằng các toán tử Elliptic ở đây cũng là Elliptic theo nghĩa rộng hơn trong cuốn sách của L Bes, F John and M Schechter[2] Trong cuốn sách này ta có thể tìm thấy Elliptic mạnh

và Elliptic thực chặt

Tiện lợi của định nghĩa trên ta có thể thấy khi ta cố gắng giải phương trình

Lu= f trong cả không gian Thật vậy, hình thức ta có p( ) ξ u% = f%, và từ p≠ 0

ta có u% = p f− 1% Từ đây ta tìm u bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier ngược

Ví dụ 1.1.4: Toán tử 1 − ∆ là Elliptic, vì đa thức đặc trưng của nó là

2

1 + ξ

Ví dụ 1.1.5: Gọi P L là đa thức đặc trưng của L, thì P L L1 2 =P P L1 L2

( xem Nhận xét 1.1.2) Do đó các toán tử L L1 , 2 là Elliptic thì L L1 2 cũng là Elliptic Nói riêng, toán tử (1 − ∆ )k là Elliptic với mọi số nguyên k≥ 1

Ví dụ 1.1.6: Các toán tử

1

1

d k k k

Hơn nữa ∃ > ε 0 sao cho

thuần nhất dương bậc m vì f (λ λξt, ) = λm f t( ), ξ , ∀ > λ 0, liên tục và f > 0trên hình cầu đơn vị t2 + ξ 2 = 1 trong ¡ d+ 1 nên f ≥ k trên hình cầu với hằng số k > 0 Điều này suy ra 2 2 2

ở đây hằng số N chỉ phụ thuộc vào d

Bổ đề 1.1.9: sử g( ) η là một hàm số thuần nhất dương cấp γ trên ¡ n Nếu

g bị chặn trên hình cầu đơn vị, thì g( ) η ≤Nηγ,∀ ≠ η 0với một hằng số N

không phụ thuộc η Nếu nó khả vi liên tục tại bất kỳ điểm η ≠ 0, thì các đạo hàm riêng là hàm thuần nhất dương bậc γ − 1, bị chặn trên hình cầu đơn vị và

1

( )

j

D g η ≤Nηγ− ,∀ ≠ η 0 trong đó hằng sốN không phụ thuộc η Đặc biệt, với

hàm số g= f−1 với f xác định bởi (1.1.2) ta có với mọi đa chỉ số α

( )1 1 ,

1

d m

Cho L là một toán tử Elliptic Như đã đề cập ở trên ta có thể tìm ra

nghiệm của phương trình Lu= f từ công thức u% = p f− 1% và biểu diễn u như phép biến đổi Fourier ngược của p f− 1 % Do phép biến đổi Fourier của tích chập hai hàm là một bội của tích các biến đổi Fourier của các nhân tử Nên

ta tìm hàm số u có dạng

Vậy ta đã chứng minh định lí sau đây, trong đó ( d)

Nếu m d≤ ∀ ∈k ¢ sao cho 2k m d+ > Theo chứng minh trên ta có phươngtrình (1 − ∆ )k Lu= − ∆ (1 )k f có nghiệm (vì cấp của toán tử (1 − ∆ )k L bằng

2k m d+ > ) Theo cách xác định trên thì

ix 2

Điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.2.3: Hàm suy rộng G x( ) được gọi là một hàm Green của phương trình Lu= f trong cả không gian nếu LG x( ) = δ 0 ( )x hoặc tương đương, nếu đẳng thức (1.2.3) cố định

Mỗi hàm số khả tích địa phương f đều xác định một hàm suy rộng (bởi

Định lí hội tụ bị trội) theo công thức ( , ) ( ) ( )

Nếu f n là một dãy các hàm suy rộng, ta nói nó hội tụ tới một hàm suy rộng f nếu ( , )f n φ → ( , )f φ với 0 ( d)

C

∀ ∈ ¡ Khi đó ta có D fα n →D fα với

bất kỳ đa chỉ số α .

1.3 Các hàm Green như các giới hạn các hàm thông thường

Lưu ý rằng đẳng thức LG x( ) = δ 0 ( )x có nghĩa là với bất kỳ f ∈C0∞ ( ¡ d) ta có ∫d G y L f y dy( ) * ( ) = f(0)

¡

Bằng cách sử dụng f x y( − ) thay cho f y( ) , ta có đẳng thức LG x( ) = δ 0 ( )x

được hiểu theo công thức (1.2.3)

Hệ quả 1.3.2: Lấy bất kỳ k= 0,1, 2, sao cho 2k m d+ > và định nghĩa

Thì G là một hàm Green đối với L

Nhận xét 1.3.3: Hàm Green G Có thể được xác định bởi công thức cụ thểhơn công thức G c F= d −1 (p−1 ) Đó là:

ξ

≤

= ∫ (1.3.1)

Khi đó với mỗi đa chỉ số α và số hạng r= 0,1, 2,3,

i

p x

với ς là một hàm bất kỳ thuộc lớp C0∞ ( ¡ d) sao cho ς (0) 1 = và ς ξR( )=ς( ξR).

Để chứng minh (1.3.1) chú ý từ Hệ quả 1.3.2 (luôn theo phương của các hàm suy rộng)

ξ ξ

ξ ξ

khi chỉ số dưới ξ tồn tại là ∆ được áp dụng với biến ξ Thì

r

i

e d p

x

α α

ξ ξ

1.4 Các hàm số Green như các hàm thông thường.

Từ đây về sau ta luôn giả thiết m≥ 2

Định lí 1.4.1: Hàm suy rộng G là một hàm thông thường (hàm khả tích địa phương) Nếu m d> , thì G bị chặn và liên tục Trong trường hợp chung với x≠ 0 và số nguyên bất kỳ r= 0,1, 2,3, sao cho m+ 2r d> ta có

Ngoài ra, nếu m d≤ và d m− chẵn, thì với x≠ 0 và m+ 2r d= + 2

r R r

(nhờ tính tích phân từng phần) Theo Nhận xét 1.3.3, g R →G theo nghĩa của

các hàm suy rộng Hơn nữa, với các hằng số Cαβ ta có

π

− + = −

N x− + với hằng số N không phụ

thuộc ¡ , nên nó cũng hội tụ tới gtheo nghĩa của hàm suy rộng Bây giờ, để chứng minh công thức (1.4.2) ta chứng minh số hạng thứ hai của vế phải trong (1.4.3) tiến tới 0 theo nghĩa của hàm suy rộng

Để chứng minh được điều này ta lại sử dụng tính khả tích địa phương của x− +2 1r và chú ý rằng nếu α + β = 2r− 1 và α ≠ 0, R> 1thì từ tính chất của

trong (1.4.2), ta thu được (1.4.1) như một trường hợp riêng Nếu m d≤ và

d m− chẵn, nhưng với giá trị lớn hơn của r thì tích phân từng phần và sử dụng (1.3.3) thì ta có (1.4.1)

Trường hợp cuối cùng hoặc m d> , hoặc m d≤ và d m− lẻ, đầu tiên ta lấy số nguyên nhỏ nhất r0 ≥ 0 sao cho m+ 2r0 ≥ +d 1 Nếu r0 = 0 (m d> ) thì từ(1.2.2) với r r= 0 ta có (1.4.1) Nếu r0 ≥ 1 thì m d≤ và d m− lẻ Cũng trong trường hợp m+ 2r0 = +d 1, 2r0 <d (m≥ 2!) ta có hàm số x−2 0r khả tích địa

phương nên tương tự như trên ta có (1.4.1) với r r= 0 tương tự ta có khẳng

định với giá trị lớn hơn của r Định lí được chứng minh

1.5 Tính khả vi của các hàm Green

Hệ quả 1.5.1: Hàm số G x( ) khả vi vô hạn với x≠ 0 Nói riêng theo nghĩa thông thường (tại từng điểm) Với bất kỳ đa chỉ số α ta có

( ) 0( n)

và số nguyên r= 0,1, 2, sao cho m+ 2r d> + α ta có

d

i

p x

Thật vậy ba khẳng định đầu tiên là đúng vì r trong (1.4.1) có thể lớn tuỳ

ý Để chứng minh khẳng định cuối cùng chú ý rằng D G xα ( ) là một hàm thông thường, liên tục tại ∀ ≠x 0 Hơn nữa, giới hạn bên phải trong (1.3.2) là đều trên ¡ d Thật vậy (xem Bổ đề 1.1.9)

i

d p

ta cũng có kết luận của hệ quả trên đối với các đạo hàm cấp n của u Hơn nữa, nếu n m≥ , công thức (1.2.1) vẫn xác định nghiệm của phương trình

Lu= f Để thấy điều này, lấy các hàm số bị chặn đều 0 ( d)

n

f ∈C∞ ¡ sao cho( ) ( )

n

f x → f x tại ∀x, và để ý rằng G f∗ n bị chặn đều và hội tụ tới G f∗ tại ∀x

Do đó, theo nghĩa hàm suy rộng, G f∗ → ∗n G f, f n =L G f( ∗ n) →L G f( ∗ ) và

Nhận xét 1.5.3: Trong các mục sau ta sẽ cần các kết quả sâu sắc hơn về

tính giải được của phương trình Lu= f Tại thời điểm này để có (1.2.3) ta

chưa cần tới tính bị chặn của f và các đạo hàm của nó Công thức này vẫn đúng nếu f và đạo hàm của nó đến cấp m bị chặn bởi một đa thức Thật vậy, với hàm ς như trên và sử dụng

(đẳng thức cuối đúng vì L f( ς →R) Lf và L f( ςR) bị chặn bởi một đa thức không phụ thuộc vào R nếu R> 1).

1.6 Một vài tính chất của các nghiệm của Lu=f.

Kí hiệu { d : }, B ( ) { 0 d : 0 }, i

B = ∈x ¡ x <R x = ∈x ¡ x x− <R eθ Với n= 1, 2, kíhiệu n ( )

(chẳng hạn khi Lu= 0), thì u khả vi vô hạn trong B R.

Thật vậy, lấy bất kỳ ε ∈ (0; )R và ς ∈C0∞ ( ¡ d) sao cho ς ( ) 1x = với

u G y Cαβ Dα D u y dyβ

α β α

1.7 Một số thông tin trên hàm Green

Các kết quả sau đây là những đánh giá quan trọng của G x( ) và các đạo hàm của nó ở gần 0 Nó cho thấy nếu d m> thì dáng điệu của G và các đạo

hàm của nó gần 0 giống như của hàm 1d m

x − Hơn nữa, nếu α =m, thì hạch

với bất kỳ j= 1, 2, d Những ước lượng như vậy có vai trò quyết định trong

lý thuyết không gian Hölder và lý thuyết không gian Sobolev

Định lí 1.7.1: Cho α là một đa chỉ số sao cho d+ α − >m 0 Khi đó

D G x( ) N d1 m

x

α

α + −

nguyên r bất kỳ sao cho m+ 2r d> + α và sử dụng Hệ quả 1.5.1, ta cũng lấy

một hàm số ς ∈C0 ∞ ( ¡ d) sao cho ς ( ) 1x = với x ≤ 1 và ς ( ) 0x = với x ≥ 2, và nhờ đẳng thức 1 = ς (xξ ) [1 + − ς (xξ )] ta biểu diễn tích phân trong (1.5.1) thành tổng của hai tích phân, với tích phân đầu tiên chứa ς (xξ ) và tích phânthứ hai chứa 1 − ς (xξ ) Cuối cùng, trong tích phân đầu tiên ta sử dụng tích phân từng phần để đưa tất cả các đạo hàm (theo ξ) của 1

Nếu d+ α − =m 0, thì ta nhận được điều cần chứng minh từ

r= Định lí được chứng minh

Trong một vài ứng dụng kết quả sau đây là rất hữu ích

Định lí 1.7.2: G x( ) là một hàm giải tích thực với x≠ 0

Chứng minh

Ta chỉ cần chứng minh với số k sao cho 2k m d+ > hàm số G x'( ) trong

Hệ quả 1.3.2 là giải tích thực với x≠ 0 Vì G' là hàm Green đối với (1 )k

Tiếp đó, cố định một điểm x0 ≠ 0, ε ∈ (0,1) và một véctơ đơn vị

spanη θ vào chính nó và biến η thành θ

Mệnh đề 1.7.3: Tìm công thức với Tη θ, và chứng tỏ rằng Tη θ, là một hàm giải tích của θ khi θ θ − 0 ≤ ε

Sau đây ta thay ξ trong (1.7.2) bởi T n,θ ξ Từ

θ ξTηθ =Tηθη ξ ηξTηθ =

với ∀ ∈ ξ ¡ d và với mọi số phức p, θ thoả mãn θ θ − 0 < ε và p− x0 < ε Điều

này cho phép chúng ta lấy vi phân dưới dấu tích phân trong định nghĩa của hàm g, chứng tỏ g là giải tích Một hàm giải tích cũng là giải tích thực nên định lí được chứng minh

Nhận xét 1.7.5: Các kết quả ở trên cũng có thể mở rộng cho các hệ, ở đó aα

là các ma trận vuông cấp n và phương trình Lu= f là một hệ cấp m của hàm vectơ ur=(u1 , ,u n) Trong trường hợp đó ta làm việc với các đa thức đặc

trưng giá trị ma trận, và khái niệm Elliptic trở thành:

det ( ) (1 mn), d

pξ ≥k + ξ ∀ ∈ ξ ¡ Khi đó ta lai có p− 1 ( ) ξ ≤N(1 + ξ m) − 1

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE

Sẽ là không đầy đủ khi ta chỉ nghiên cứu lý thuyết tổng quát, trên thực

tế đã có những ý tưởng cũng như các kết quả vô cùng đẹp đẽ đã đạt được trong thế kỷ 19 về các toán tử Elliptic cụ thể Trong chương này chúng tôi sẽ

đề cập tới một số ý tưởng và kết quả đó Ở đây ta chỉ nghiên cứu các nghiệmgiá trị thực trong miền Ω đủ chính quy Để có thể thực hiện được công thức tích phân từng phần Ta kí hiệu n( )

trong đó

v

∂

∂ đạo hàm theo véctơ pháp tuyến ngoài đơn vị của ∂Ω

Đặc biệt khi u v= ta có đẳng thức năng lượng

u = trong Ω do đó u c= onst trong Ω Điều này dẫn tới các kết quả về tính

duy nhất nghiệm của hai bài toán biên trong lý thuyết của các phương trình Elliptic cấp hai:

Bài toán Dirichlet: Tìm hàm u xác định trong Ω khi biết giá trị của ∆u

trong Ω và giá trị của u trên ∂Ω

Bài toán Neumann: Tìm hàm u xác định trong Ω khi biết giá trị của

v x( ) = ψ ( )r =

2 d

1

3 (2 )

1

2 1

1 2

nên ta chỉ cần chứng minh khẳng định thứ hai của định lý là đủ Hơn nữa ta

có thể lấy x0 = 0 Các đạo hàm của K x y( , ) bị chặn nếu x y, không gần nhau

số hạng cuối cùng là một hàm điều hòa trong 0

B B

∆ = có thể lấy các nghiệm K x y( , ) của phương trình ∆x K = δy và tính

tổng của chúng theo y sau khi nhân với f y( ) Do vậy hàm K thường được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình ∆ = ω f ’.

Hệ quả 2.22: Cho Ω là một miền bị chặn, 2

( )

f ∈C Ω Khi đó công thức

Hệ quả cho thấy thay vì giải phương trình ∆ =u f trong Ω với điều kiện

biên u g= trên ∂Ω, ta chỉ cần tìm một hàm điều hòa h trong Ω bằng g− ω

trên ∂Ω Thật vậy, trong trường hợp đó u h= + ω sẽ là nghiệm của bài toán ban đầu.

2.3 Các hàm Green trong các miền

Nghiệm cơ bản giúp ta nghiên cứu bài toán Dirichlet: Cho hai hàm f g,xác định trên Ω, tìm u C∈ loc2 ( ) Ω ∩ ΩC( ) sao cho

∆ =u f trong Ω, u x( ) =g x( ) với x∈∂Ω (2.3.1)

Định lí 2.3.1: Cho Ω là miền bị chặn chính quy Giả định rằng với mỗi

x∈Ω đều tồn tại một hàm số h x( ), ∈C2 ( ) Ω sao cho

Vì ∆y G x y( , ) 0 = nên theo công thức Green ta có

Nhận xét 2.3.2: Trong chứng minh ta chưa sử dụng một thực tế là

Một cách tổng quát, với x sao cho hình cầu B x R( )nằm trong một miền mà

u là điều hòa trên đó thì ta có quy tắc Gauss giá trị trung bình:

2.4 Hàm Green và nhân Poisson trong hình cầu

Định lí 2.3.1 sẽ có giá trị hơn nếu ta tìm ra hàm Green và nhân Poisson đối với Ω, lúc đó công thức (2.3.2) cho ta một nghiệm của bài toán

Dirrichlet Phương pháp này cho ta nghiệm hiện nên việc nghiên cứu các tính chất của chúng ít nhiều bị bỏ qua trong lí thuyết hiện đại nguyên nhân chủ yếu là đa số với các phương trình có hệ số biến thiên ta đều không thể tìm được nghiệm hiện thậm chí cả trong những trường hợp mà ta có thể nhậnđược thông tin khá đầy đủ về nghiệm bằng các cách khác

Trong một vài trường hợp, ta có thể tìm được hàm Green và nhân

Poisson một cách tường minh (xem Mệnh đề 2.3.3) Ở đây ta giả sử Ω =B R

Tính toán đơn giản ta có: Nếu d ≥ 2 và ∆ =u 0 trên miền Ω ', thì

cho ta hàm Green và nhân Poisson đối với B R Với d= 1công thức vẫn đúng Đặc biệt, nếu u C B∈ 2 ( R) và điều hòa trong B R, thì ta có tích phân

Poisson sau: Với ∀ ∈x B R ta có

Câu hỏi tự nhiên được đưa ra: Cho hàm g và u liên tục, xác định trên

liệu u có là một hàm điều hòa trong B R và lấy giá trị biên g trên ∂B R hay

không? Câu trả lời là có Trường hợp câu hỏi thứ nhất ta kiểm tra ∆ =u 0trong B R bằng phép tính đơn giản Phép chứng minh u x( ) →g y( ) nếu

từ một cách khác (xem Nhận xét 2.7.2 dưới đây)

Có nhiều phương pháp khác có thể tìm ra hàm Green và nhân Poisson đối với các miền cụ thể Nếu d = 2 và R={ (x y, ) } , thì ta có thể áp dụng lí thuyết của các hàm giải tích Để cho việc trình bày ngắn gọn, rõ ràng, ta đưa vào khái niệm toán tử Cauchy- Riemann

từ đây suy ra trong khai triển thành chuỗi lũy thừa của u x y( , ) không có các

số hạng với z Hơn nữa,

z

Nên nếu ta có phương pháp giải phương trình Poisson trên Ω và ánh xạ

F không quá tồi (tức, F z > 0), thì ta có thể giải được phương trình này trong

'

Ω Đặc biệt, các ánh xạ giải tích biến các hàm điều hòa thành các hàm điều hòa

2.5 Một vài tính chất của hàm điều hòa

Tích phân Poisson (2.4.1) rất hữu ích trong việc nghiên cứu các tính chất của các hàm điều hòa

Định lí 2.5.2 Cho miền Ω và 2 ( ) ( )

loc

u C∈ Ω ∩C Ω là hàm điều hòa trên Ω

Khi đó u khả vi vô hạn trong Ω và với bất kỳ đa chỉ số α và ∀ ∈Ωx ta có

x

∀ ∈Ω, thì u điều hòa trong Ω

Hệ quả 2.5.4: Nếu hàm u điều hòa trên ¡ dvà u x( ) ≤N(1 + x n) với hằng số N n, và ∀x, thì u là một đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n

Thật vậy, theo Định lí 2.5.2 với Ω =B R và cho R → ∞ ta có D uα ≡ 0

trong đó c> 0 và không phụ thuộc u và R

Để chứng minh định lí ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp R= 1 thậtvậy, xét hàm v x( ): =u Rx( ) thay cho u, và để ý rằng nhân Poisson H x y( , ) bị

chặn bên ngoài điểm 0 chẳng hạn khi 1

Hệ quả 2.5.6: Nếu một dãy các hàm số không âm, điều hòa trên B R và

bị chặn đều tại điểm x0 ∈B R, thì dãy các hàm số đó bị chặn đều trên hình cầur

B bất kỳ với r R<

Bất đẳng thức Harnacks đúng với các nghiệm của các phương trình Elliptic cấp hai không suy biến với các hệ số biến thiên Trong trường hợp như vậy đó là kết quả sâu và khó

Định lí 2.5.7 (Liouvilles): Mọi hàm số không âm, điều hòa trong cả

không gian ¡ d đều là hằng số

Thật vậy, theo bđt Harnacks với R→ ∞ thì u(x ) 1 ≤cu(0) do đó hàm u

không âm và bị chặn, khi đó theo Hệ quả 2.5.4 ta có điều phải chứng minh Cách chứng minh trên đây dựa vào đánh giá gradient trong miền, mà đánh giá này không có đối với các toán tử Elliptic cấp hai nói chung Đó là

lý do ta đưa ra phép chứng minh khác như sau

Hàm số v u= − infu là hàm điều hòa, không âm với infv= 0 Tiếp theo lấy dãy ( )x n sao cho v x( )n → 0 Khi đó theo bđt Harnacks với ∀x ta có

Chứng minh

Giả sử ∆ >u 0 trong Ω và x0 là điểm mà tại đó u đạt giá trị cực đại trên

Ω Nếu x0 ∈Ω, suy ra u x x i i ≤ ∀ = 0, i 1, ,d, trái với giả thiết ∆ >u 0 Vậy x0 ∉Ω

nên x0 ∈∂Ω Do đó, ta có (2.6.1) Nếu ∆ ≥u 0 / Ω thì với ∀ > ε 0 ta có

( 2)

u+ x ε 2 εd 0

∆ ≥ > , do đó với ∀ ∈Ωx ta có (theo chứng minh trên)

u x( ) u x( ) ε x2 max u y( ) ε y2 maxu Nε

trong đó n không phụ thuộc ε Cho ε ↓0, ta có vế trái của (2.6.1) nhỏ hơn

hoặc bằng vế phải Còn vế phải nhỏ hơn hoặc bằng vế trái là hiển nhiên Vậyđịnh lí được chứng minh

Hệ quả 2.6.2: Nếu thêm giả thiết hàm u điều hòa trong Ω, thì

2.7 Phương trình Poisson trong hình cầu

Thoạt nhìn thì nguyên lý cực đại không có vẻ là một kết quả sâu sắc Tuy nhiên chỉ cần để ý tới các kết quả sau đây về phương trình Elliptic cấp hai với hệ số thực thôi thì nguyên lý cực đại đã tỏ ra hết sức quan trọng, ta không cần tới bất cứ kiến thức nào trước đó

Trong phần này ta sẽ xem cách chứng minh tính giải được của phươngtrình Poisson trong hình cầu, cách đầu tiên dựa vào các kết quả trước đó, cách thứ hai dựa vào nguyên lí cực đại

Gọi P n là tập hợp tất cả các đa thức của x có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n Đây là một không gian véctơ hữu hạn chiều Định nghĩa toán tử trênP n là: ( 2)