Luận văn toán tử nửa xác định dương trên không gian hilbert

Lý do chọn đề tài Trong lý thuyết toán tử trên không gian Hilbert, tính nửa xác định dương là một khái niệm quan trọng.. Mục đích nghiên cứu Để đạt được một sự hiểu biết tốt về Toán tử n

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

• • • •

NGUYỄN ĐÌNH THẾ

TOÁN TỬ NỬA XÁC ĐỊNH DƯƠNG TRÊN KHÔNG

GIAN HILBERT

Chuyền ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành luận văn này.

Xin chân thành cảm ơn các Thầy cô của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua

Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, tháng 10 năm 20lị

Nguyễn Đình Thế

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS

Nguyễn Năng Tâm, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2.

Trong khi thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khao học của các nhà khoa học với

sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Nguyễn Đình ThếCÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG

R đường thẳng thực

N ( T ) , K E R T hạt nhân của toán tử T

nón orthan không âm trong Mm

GLCP(T, K , Q ) bài toán bù tuyến tính suy rộng

Mục lục

1.1.2 Đặc trưng của toán tử nửa xác định dương trên

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong lý thuyết toán tử trên không gian Hilbert, tính nửa xác định dương là một khái niệm quan trọng Nó có vai trò lớn trong nghiên cứu của nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như: Phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu, V.V Khái niệm này đã có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và sử dụng; xem [5], [6] và các tài liệu dẫn trong đó

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và những ứng dụng của toán giải tích, đặc biệt là Lý thuyết toán tử và ứng dụng, được

sự động viên của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, tôi chọn đề tài " T O Á N T Ử N Ử A

X Á C Đ Ị N H D Ư Ơ N G T R Ê N K H Ô N G G I A N H I L B E R T " để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Để đạt được một sự hiểu biết tốt về Toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert và ứng dụng những tính chất của chúng vào Bài toán bù tuyến tính

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu khái niệm và những tính chất của Toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert Khảo sát ứng dụng của Toán tử nửa xác định dương vào Bài toán bù tuyến tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi nghiên cứu: Toán tử trong không gian Hilbert

- Đối tượng nghiên cứu: Toán tử nửa xác định dương và ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu tài liệu: Các bài báo đã được đăng và sách đã in liên quan mật thiết đến toán tử nửa xác định dương và ứng dụng

- Sử dụng các phương pháp của Toán giải tích

6 Giả thiết khoa học (Dự kiến đóng góp mới)

- Một tổng quan về toán tử nửa xác định dương và một số ứng dụng

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

•

7

Nội dung chính của chương bao gồm một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert thực và toán tử đơn tuyến tính trên không gian Hilbert Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ [1] và [6].

1.1 Không gian Hilbert

Cho H là không gian véc tơ trên trường số thực R.

Định nghĩa 1.1.1 T A G Ọ I M Ỗ I Á N H X Ạ

H X H -> R ( x , y ) ( x , y )

là một tích vô hướng trên H nếu các điều kiện sau đây thỏa mẫn: Với mọi

S Ố ( x , y ) được gọi là tích vô hướng của X và y Không gian véc tơ H cùng với một tích vô hướng xác định được gọi là không gian có tích vô hướng hoặc không gian tiền Hilbert, và thường được viết là (H, )).

Mệnh đề 1.1.1 Cho không gian véc tơ H cùng với một tích vô hướng (.,.) xác định Khi đó công thức

||a;|| = Y / ( X , X }

xác định một chuẩn trên H.

Định nghĩa 1.1.2 Nếu không gian có tích vô hướng (H, (.,.)) với chuẩn xác định như trên là một không gian đủ, thì ta gọi (H, (.,.)) là một không gian Hilbert và kí hiệu đơn giản là H.

Ta gọi số chiều của H là số chiều của không gian Hilbert (H, kí hiệu bởi dimH Nếu dimH < oo thì ta nói H là hữu hạn chiều, trái lại ta nói H là vô hạn chiều.

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hỉỉbert H là không gian Hilbert con của không gian H.

V Í D Ụ 1.1.1 Lấy H — M71 Với X = (:ci, , X N ) , Y = (Y I , , Yn) G H biểu thức

n

( x , y ) = ỵ2XiVi

I = 1xác định một tích vô hướng trên không gian Mn và với chuẩn

\\x\\ = y / ( X , x )

Rn trở thành một không gian Hilbert hữu hạn chiều

9

V Í D Ụ 1.1.2 Ký hiệu L 2 là không gian véc tơ các dãy số X = ( X N ) sao cho 00

chuỗi số Ỵ 2 \ X N \ hội tụ \ / X = (Xn) £ Ỉ 2,Vy = (Yn) £ Ỉ 2 ta đặt

Định nghĩa 1.1.5 Cho K c H là một tập hợp khác rỗng K được gọi là nón nếu

VA > 0 và X e K ta luôn có Xx € K.

Nón K được gọi là nón lồi nếu K là tập lồi.

Nón K được gọi là nón lồi đóng nếu K vừa là nón lồi vừa là tập đóng Định nghĩa 1.1.6 Nón K trong không gian H được gọi là mỏng nếu K khả ly

và véc tơ 0 không thuộc vào bao đóng yếu của tập {k G K : 11*11 = 1}.

Lưu ý rằng, mọi nón trong không gian hữu hạn chiều của H đều mỏng (xem [6]) Với A > 0 và phần tử e 7^ 0 cố định trong không gian Hilbert khả ly H ta có nón

Chúng ta lưu ý rằng nón đa diện luôn mỏng

Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian Hilbert H, x,y G H và tập con M C H , M ^ 0 Phần tửx gọi là trực giao với phần tửy và viết là X _L y nếu {X, y) = 0 Do (y, x) = (x, y) nên nếu X _L y thì y _L X.

Phần tử X € H gọi là trực giao với tập M, nếu X - L y (\/y € M) và kí h i ệ u

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử H và H' là hai không gian Hilbert Ánh xạ A : H

—»■ H' được gọi là một ánh xạ tuyến tính, hoặc toán tử tuyến tính, hay gọi tắt là toán tứ nếu:

ỉ, (Va;, y e H) : A(x + y) = Ax + Ay

2, (Vx £ H ) ( Va £ M) : A(ax) = aAx.

Cho một toán tử A Tập {Ax I X e H} gọi là ảnh của A; kí hiệu là R(A)

hoặc RanA, tập {x € H I Ẩa; = 0} gọi là hạt nhẵn của A và kí hiệu là N(A) hoặc KerA.

Định nghĩa 1.2.2 Cho H và H' là hai không gian Hilbert Toán tử

tuyến tính A : H —¥ H' gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số a

> 0 sao

1

Định nghĩa 1.2.3 Cho Ả là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert H' Hằng số a > 0 nhỏ nhất thỏa mẫn hệ thức (1.2) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là \\AII.

Từ định nghĩa dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:

1, (Vz <E H ) ||Ac|| < \ \ A \ \ ||z||;

Định lý 1.2.1 Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert H' Các mệnh đề sau tương đương:

1, A liên tục;

2, A liên tục tại mọi điểm x ữ E H;

3, Ả liên tục tại 0;

4, A bị chặn.

chặn là tương đương

Định lý 1.2.2 Cho toán tử tuyến tính A từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert H Nếu toán tử A liên tục thì

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử H là không gian Hilbert và A : H —»■ H là toán tứ

tuyến tính (bị chặn hoăc không bị chặn) Véc tơ X ^ 0 được gọi l à v é c t ơ

r i ê n g c ủ a Ả ứ n g v ớ i g i á t r ị r i ê n g X , n ế u

Ax = Xx, hay là

{ A - AI ) x = 0.

Định nghĩa 1.2.5 Giả sử A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert H số X được gọi là thuộc phổ của A, hay một giá trị phỗ của A, nếu không tồn tại toán tử ngược bị chặn (A — A/) -1

Tập tất cả các giá trị phổ của A được gọi là phổ của A; ký hiệu: ơ ( A )

Toán tử liên hợp B thường ký hiệu là A*.

Định lý 1.2.3 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert H' Khỉ đó tồn tại toán tử A* liên hợp với toán tứ A

từ không gian H' vào không gian H.

Định lý 1.2.4 Cho Ả là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hiỉbert H vào không gian Hilbert H' Khi đó toán tử liên hợp A* với toán tử A cũng là toán tử tuyến tính bị chặn và ||i4*|| = IIAII

Định lý 1.2.5 Giả sử H, H' là các không gian Hilbert, A : H —>• H' là toán

tử tuyến tính ỉỉên tục Khi đó,

H = N ( A ) © R ( A * ) , H ' = N ( A * ) ® R ( A )

Định nghĩa 1.2.7 Toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian Hilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu

{ A x , y ) — ( x , Ay ), V x , y e H

Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng.

Định lý 1.2.6 Giả sử A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert phức H Khi đó, A tự ỉỉên hợp khi và chỉ khi (\/x € H) { A x , x ) là số thực.

Hệ quả 1.1 Giả sử A là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

H Khi đó, mọi giá trị riêng X của A là số thực.

Định lý 1.2.7 Cho M là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert

H Khi đó, với mỗi X € H tồn tại duy nhất y € M sao cho ||a; — yII = inf{||a;

— zII I z G M}.

Ta kí hiệu d ( x , M ) — inf{||x — zII I z E M }

Định lý 1.2.8 Giả sứ M là một không gian con đóng của không gian Hilbert

H Khi đó mỗi phần tử X G H được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng X

= y + z, trong đó y G M và z G M L được gọi là hình chiếu trực giao của X

lên M.

C H Ứ N G M I N H Nếu X & M thì đặt Y = X , Z = 0 và ta có khẳng định đúng Xét trường hợp X Ệ M Vì M đóng nên tồn tại duy nhất Y € M sao cho ỊỊx — Y \ \

= D ( X , M )

Đặt z = X — y , ta có X = y + z , ta phải chứng minh z E M ± Thật vậy, với

mọi A G M, U G M ta có

\\ z \\ = \ \ x - y \ \ < II®- { y + a ù )II

Định nghĩa 1.2.8 Theo định lý trên, mọi X G H đều biểu diễn được duy nhất

Ánh xạ p : H —>• M, xác định P ( x ) = y v ó i x = y + z E M @ M 1 -, được gọi là phép chiếu trực giao từ H lên M

Định lý 1.2.9 Phép chiếu trực giao p từ không gian Hilbert H lên không gian con đóng M Ỷ {0} là một toán tử tuyến tính liên tục.

C H Ứ N G M I N H Với X I , X 2 € H , aẽM, theo định lý 1.2.8 ta có

Tương tự P ( A X i) = A P ( X i) Vậy P tuyến tính.

Mặt khác, với X £ H ta có

||x||2 = ||Px||2 + ||^||2>||Px||2

Từ đó suy ra P bị chặn Vậy P liên tục Định lý được chứng minh □

Định nghĩa 1.2.9 Cho H là một không gian Hilbert, T làmột toán tử tuyến tính bị chặn trên H, K là nón lồi đóng trong H.Tanói T là đồng dương cộng trên K nếu:

(Tx - Ty, x - y ) > 0 V x , y e H , x ^ y.

Toán tử T : H H được gọi là đơn điệu mạnh nếu có hằng số ữẽE,ữ>0 sao cho \ f x , y ẽ H , t a c ó :

( x — y : T x — Ty ) > a 11® - y \ \ 2

Mệnh đề 1.2.2 Cho H ỉà không gian Hilbert Toán tử tuyến tính T : H —>■ H

là đơn điệu khi và chỉ khi

{Tx, x) > 0 \fx G H.

1.3 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu

Định nghĩa 1.3.1 (Phiếm hàm tuyến tính) Cho H là một không gian Hilbert

Toán tử tuyến tính f : H —>■ M được gọi là phiếm, hàm tuyến tính xác đ ị n h

C H Ứ N G M I N H Phần thứ nhất của định lí ta dễ dàng chứng minh được vì F ( X )

= (A , X ) rõ ràng là một phiếm hàm tuyến tính do

\ \ F ( X ) \ \ = |(a,x)| ^ II«II INI (1.5)

nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.3)

Để chứng minh phần ngược lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên tục F ( X ) trên không gian Hilbert H Tập hợp

M = { x £ H : f { x ) = 0}

tích X = y + z với Y G -M, Z e M 1 , ta thấy rằng z = 0 nên F ( X ) =F ( Y ) =

Định lý vừa chứng minh cho phép ta thiết lập một tương ứng một- một giữa hàm

tuyến tính liên tục / trên H và véc tơ A € H Tương ứng đó là một phép đẳng cự tuyến tính, do vậy nếu ta đồng nhất phiếm hàm / với các véc tơ A sinh ra nó thì ta có

H * = H , nghĩa là: Không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó

Cho không gian Hilbert H , H * là không gian liên hợp của không gian H Với mỗi X e H ta xét họ U X tất cả các tập con của không gian H có dạng:

V X = y(z;/i,/2, ,/n;e) = { Y € H : \ Ĩ J ( Y ) - F J ( X ) Ị < £ , J = 1,2 trong đó N là

số nguyên dương tùy ý; /i, /2, F N là N phần tử tùy ý của không gian H * , £ là số

Định nghĩa 1.3.3 Tôpô duy nhất trên không gian Hilbert H sao cho tại mỗi điểm X e H họ v x là một cơ sở lăn cận của điểm X được gọi là tôpô yếu trên không gian H, ký hiệu tôpô đó là ơ ( H , H * )

Định lý 1.3.2 Tôpô yếu trên không gian Hilbert H là tôpô nghèo nhất trên H

C H Ứ N G M I N H Giả sử {Zfc} hội tụ yếu đến X và / e H Với mọi £ > 0 tồn tại

K Ữ € V ( F , X , E ) với mọi K > K 0 Nhưng điều đó có nghĩa là IF ( X K ) - F ( X ) \

< £ với mọi K > K 0 Vậy F ( Xk) ->• F ( X )

Bây giờ giả sửF ( X K ) — > F { X ) với mọi / e H * Lấy lân cận tùy ý códạng F P , X , E ) của X Vì F I ( X K ) F I ( X ) với I = 1 nên

tồn tại K Ữ để \ F I ( X K ) — F I ( X ) \ < £ với mọi K > K Ữ , I = 1, 2, ,p Điều

này có nghĩa là X ỵ € V (/i, /2, , f p , X , e) với mọi k > k 0 , tức là X ỵ hội tụ

( X K ) C H gọi là hội tụ yếu tới điểm X £ H , ký hiệu : X Ỵ —^ X , ( N — > 00)

nếu với mọi điểm Y € H

lim ( x k , y ) = ( x , y } k->oc

Định lý 1.3.3 Cho không gian Hilbert H, nếu dãy điểm (x n ) c H hội t ụ y ế u

t ớ i đ i ể m X E H v à lim ||a; n || = ||x|| t h ì lim II— 2; II =0

Định lý 1.3.4 Cho không gian Hilbert H Nếu dãy điểm ( X k ) c H hội tụ yếu thì d ẫ y đó bị chặn.

Mệnh đề 1.3.4 Cho không gian Hilbert H Tập K c X gọi là tập compact yếu

trong không gian H, nếu mọi dẫy vô hạn (Xị.) c K đều c h ứ a m ộ t d ẫ y c o n

h ộ i t ụ y ế u t r o n g k h ô n g g i a n H

Định lý 1.3.5 Nếu tập K bị chặn trong không gian Hilbert H, thì K là tập

compact yếu trong không gian H.

Mệnh đề 1.3.5 Hình cầu đơn vị đóng trong không gian Hilbert H là compact yếu.

Kết luận chương

Chương này đã trình bày một số kiến thức cơ bản về định nghĩa và tính chất của không gian Hilbert, toán tử trong không gian Hilbert, không gian đối ngẫu, tôpô yếu Đây là những kiến thức nhằm hỗ trợ cho các kết quả sẽ được trình bày trong chương sau

Chương 2

Toán tử nửa xác định dương trên

không gian Hilbert và ứng dụng

Trong chương này, tác giả trình bày các khái niệm và các tính chất liên quan đến toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert Đồng thời nghiên cứu các ứng dụng của toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert vào việc giải bài toán bù tuyến tính Các kiến thức trong chương này chủ yếu lấy từ các tài liệu [1], [4], [5] và [6]

2.1 Toán tử nửa xác định dương

Hệ quả 2.2 ([1], tr 255) Giả sử T là toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert H, dãy {x n } c H thỏa mẫn { T x n , x n ) —> 0 Khi đó T x n

—^ 0.

C H Ứ N G M I N H Từ (2.2) suy ra:

||Tsn||2 < ||T|| ( T X N , X N )

Định lý 2.1.2 ([1], tr 255) Giả sử H là không gian Hilbert, T là toán tử nửa xác định dương trên H Đặt

||T|| 2 = sup \ \ T x \ \ 2 < M \ \ T \ \

a:Gíĩ,||a:|| = l

2

Suy ra T M X N — > 0 khi N — > O O (hệ quả 2.2).

Nên ta có T M = T — M I không có toán tử ngược bị chặn, bởi vì nếu tồn tại T ~ L

bị chặn, thì phải có ||TmÆn|| > с ||жп|| = с (xem [1], định lý 2.11) Vậy M G Ơ ( T )

Tương tự (xem [1], chứng minh định lý 5.15) ta suy ra tồn tại toán tử ngược liên tục T“ie = [ T — (m — È ) I ] ~ L vì vậy,

a) A không có toán tử ngược liên tục Do A = — (T — M Ĩ ) , nên M G Ơ ( T )

2.1.2 Đặc trưng của toán tử nửa xác định dương trên không gian HilbertTrong [8], Han và Mangarian đã chứng minh kết quả về đặc trưng của ma trận nửa xác định dương sau:

Định lý 2.1.3 ([8], Định lý 3.1) Cho T là ma trận cấp n X n trên M n

; và K là một nón lồi, đóng trong R n Giả sử rằng

(i) T là nửa xác định dương cộng trên K,

(ii)T là nửa xác định dương trên K T , và (ỉii) (T

+ T * ) K là đ ó n g trong R n

Khi đó, T là nửa xác định dương trên R n

Nội dung trong phần này, chúng ta sẽ tổng quát kết quả trên (định lý 2.1.3) tới một toán tử trên không gian Hilbert, và giải một bài toán bù tuyến tính cho một toán tử xác định trên không gian Hilbert, đồng thời nêu ra sự tổng quát của định lý Moreau Tiếp theo, chúng ta chỉ ra rằng, dưới điều kiện đã biết, một toán tử trên không gian Hilbert là nửa xác định dương bất cứ khi nào nó là nửa xác định dương cộng trên một nón lồi, đóng và nửa xác định dương trên cực nón

Bắt đầu từ đây, ta cho T (với liên hợp T * ) là một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian hilbert H , và K là một nón lồi đóng trong H Chúng ta nói rằng (1) T là nửa xác định dương trên K nếu ( T X , X ) > 0 (Vz e K )

(2) T là nửa xác định dương cộng trên K nếu T là nửa xác định dương trên K

và X e K , { T X , X ) = 0 (T 4- T * ) X = 0.

(3) T là xác định dương trên K nếu (T X , X ) > 0 ( \ / X e K , X Ỷ

0)-(4) T là bức trên K nếu có một A > 0 sao cho ( T X , X ) > A ||a;||2 ( \ / X G

K )

(5) T là đơn điệu trên K nếu ( T X — T Y , X — Y ) >0 với X , Y G K

2

(6) Một hàm số thực Q ( X ) là nửa liên tục dưới yếu trên K nếu Q ( X ) là nửa liên tục dưới trên K , đối với tôpô yếu (tức là: L I M inf Q ( Y ) > Q ( X ) khi Y hội

Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh một cách tổng quát định lý 2.1.3 khi K là

một không gian con

Định lý 2.1.4 ([4], tr 79) Cho s là một không gian con của không gian Hilbert H T (với liên hợp T*) là một toán tử tuyến tính bị chặn trên H Giả sử rằng

(i) T là nửa xác định dương cộng trên s,

(ii) T là nửa xác định dương trên S T và

(ỉỉỉ) (T + T * ) S là đóng.

Khi đó, T là nửa xác định dương trên H.

C H Ứ N G M I N H Cho 2 G ( S + S T ) ± = S 1 n (T 4- T * ) S [ ta sử dụng (iii)] Thì Z = (T + T * ) W với W € S và

(Tiư,«;) = ì ((T + T*)iw, W ) = ì (z, iw) = 0.

Theo (i), z = (T + T * ) W = 0; nên S + S T trù mật trong H Nó chỉ ra rằng T là nửa xác định dương trên S + S T Cho X £ S và Y G S T = [ ( T + X,*)S']'L Thì

( T ( x + y ) , x + y ) = ( T x , x ) + ( Ty, y ) > 0.

2

Nhận xét: Trong Mn, T là xác định dương trên K khi và chỉ khi nó là bức trên K Trong trường hợp không gian Hilbert điều kiện bức sẽ được đặt lên T.

Trong Mn, Q ( X ) = (T X , X ) liên tục và do đó là nửa liên tục dưới đối với tôpô

yếu của Mn Lưu ý rằng, trên Mn tôpô yếu trùng với tôpô định chuẩn Điều này

không còn đúng trong không gian vô hạn chiều H Mệnh đề sau chỉ ra Q ( X ) là nửa liên tục dưới yếu trên H khi T là nửa xác định dương trên H

Mệnh đề 2.1.6 ([4], tr 79) Nếu T là nửa xác định dương trên H, thì Q(x) = { T x , x } là nửa liên tục dưới yếu trên H.

Chứng minh Cho x,y E H Do Q(x — y) > 0, chúng ta được

( T x , y ) < ( T x , x ) - ( T * x , y ) + ( Ty, y )

3

Cho Y hội tụ yếu đến X ta được ( T X , X ) < L Ỉ M inf { Т У , Y )

Bây giờ, chúng ta sẽ đi giải B À I T O Á N B Ù T U Y Ế N T Í N H : Cho F ( X )

(ii)Q(x) = ( T x , x ) là nứa liên tục dưới yếu trên K.

Khỉ đó, tồn tại một a G к thỏa mẫn bất đẳng thức biến thiên:

L là compact định chuẩn đóng, bị chặn, và lồi đối với tôpô yếu Vì F ( X ) là nửa liên tục dưới yếu trên К , nên tồn tại A e L с К sao cho

Định lý 2.1.6 ([ị], tr 81) (Sự tổng quát của định lý Moreau) Cho {X, II |Ị )

là một không gian Banach phản xạ Cho ( , ) là phiếm hàm tuyến tính thực, đối xứng (nghĩa là ( x , y } = ( y, x ) V x , y G X ) , liên tục (nghĩa là 3C > 0 :

\ ( x , y ) \ < c ||a;|| ||y|| Vx, y G X ) trên X Cho K ỉà một hình nón lồi, đóng

trong X Giả sử rằng

(i) Có một a > 0 sao cho ( x , x ) > a ||x|| 2 (\/x G K), và

(ii)Q(x) = ( x , x ) là nửa liên tục dưới yếu trên K.

Thì bất kì z G X có sự phãn tích

z = a + b; a & K , b & K +

: và (a, b ) = 0, trong đó K + = {y £ X : (x, y) < 0 Vx £ K}.

Sự tồn tại của A trong K cho bất kì Z có thể thấy bởi cực tiểu F I X ) = (X , X )

— 2 ( Z , X ) trên K [ như vừa chứng minh của định lý 2.1.5, inf F { X ) — inf

F ( X ) , trong đó L là một tập hợp con lồi, đóng, bị chặn

XÇLK XÇLL

của X Từ tính phản xạ của X , L là compact yếu Từ đó chứng minh tương tự

như định lý 2.1.5]

Hệ quả 2.4 ([4], tr 82) Giả sử rằng

(i) T là bức trên K ( với hằng số a), và

(ii) T là nửa xác định dương trên K T

Thì T là nứa xác định dương trên H nếu Q(x) = (T x , x ) là nửa liên tục dưới

yếu t r ê n K

C H Ứ N G M I N H Nếu T là nửa xác định dương trên H : thì theo

mệnh đề

2.1.6, Q ( X ) lànửa liên tục dưới yếu trên K Nên giả thiết rằng Q ( X ) là

nửa liên tục dưới yếu trên К Từ hệ quả 2.3 ( áp dụng tới T + T * và K ) , bất kì

Z £ H có thể viết là

3

z = a + b] a £ K, b & K T , và ( { T + T * ) a , b } = 0.

thì

( T z : z ) = ( Ta , a ) + ( { T + T * ) a : b ) + (Tồ, ồ)

> А ||a||2 + 0 + 0 [bởi (i) và (ii)]

C H Ú Ý 2 Trong hệ quả 2.4, nếu T là xác định dương trên K T thì T là xác định dương trên H khi và chỉ khi Q ( X ) là nửa liên tục dưới yếu trên K Khi xét trong

Rn, ta được một phần của định lý 3.6 của [8]

Từ (i) suy ra T là nửa xác định dương trên К + К E R (т + т*), thay К bởi К Т

và К Т bởi (К Т ) Т trong hệ quả 2.4, chúng ta được kết quả Do vậy (K T ) T = К +

K E R ( T + T*), tương tự ta đưa ra điều chứng minh trong [8] (từ bổ đề 2.5)

Không mất sự tổng quát, cho T — T * Dễ dàng chỉ ra rằng