Khái quát về tính đơn điệu của toán tử trong không gian Hilbert. Ứng dụng về tính đơn điệu của toán tử vào bài toán bất đẳng thức biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II LÊ HƯƠNG GIANG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 201

      BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II

LÊ HƯƠNG GIANG

VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

       BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II

LÊ HƯƠNG GIANG

       LỜI CẢM ƠN

 Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự dạy  bảo tận tình của các thầy cô giáo ở trường Đại học Sư phạm Hà nội II. Đặc biệt là 

sự chỉ bảo, hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Qua đây, tôi xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  đến  GS.  TSKH.  Lê  Dũng  Mưu,  các  thầy  cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn.  

      Hà Nội, tháng 7 năm 2016       Tác giả 

       Lê Hương Giang 

LỜI CAM ĐOAN

Tôi  xin  cam  đoan  rằng  số  liệu  và  kết  quả  nghiên  cứu  trong  luận  văn  này  là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

       Hà Nội, tháng 7 năm 2016        Người cam đoan 

      Lê Hương Giang 

Mục Lục

Trang phụ bìa 2 

Lời cảm ơn 3 

Lời cam đoan 4 

Mục lục 5 

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 6 

Mở đầu 7 

Nội dung 9 

Chương 1 Toán tử đơn điệu 9 

      § 1.1 Không gian Hilbert      9 

      1.1.1 Định nghĩa và ví dụ      9 

      1.1.2 Một số tính chất quan trọng      11 

      § 1.2 Toán tử đơn điệu       12 

       1.2.1 Tập lồi và hàm lồi      12 

       1.2.2 Toán tử đơn điệu      25 

Kết luận chương 43 

Chương 2 Bất đẳng thức biến phân 44 

       § 2.1  Phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân       44 

       § 2.2  Sự tồn tại ngiệm của bài toán bất đẳng thức      45 

       biến phân đơn điệu  Kết luận chương 54

Tài liệu tham khảo 55 

Các ký hiệu và danh mục các từ viết tắt

H - Không gian Hilbert. 

- Tập số thực  

 a, b  - Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b. 

(a, b) - Khoảng mở của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.   - Với mọi. 

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 

  Trong các lĩnh vực của giải tích hiện đại, toán tử đơn điệu không những có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có đóng góp quan trọng trong lĩnh vực kinh tế. Đặc  biệt,  toán  tử  đơn  điệu  là  công  cụ  được  sử  dụng  nhiều  và  rất  hiệu  quả trong  toán  học  ứng  dụng.  Nó  giúp  ích  cho  việc  nghiên  cứu  về  cấu  trúc  tập nghiệm, xây dựng phương pháp giải các bài toán cân bằng, bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu. Bản luận văn này  nghiên cứu toán tử đơn điệu và ứng 

dụng của nó vào bất đẳng thức biến phân. Đề tài luận văn là “ Về tính đơn điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân”

2 Mục đích nghiên cứu  

  Nghiên cứu và nắm được các kiến thức về toán tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân, đặc biệt là tiếp cận được ứng dụng của toán tử đơn điệu trong bất đẳng thức biến phân. 

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 

 Nghiên  cứu  về  tính  đơn  điệu  của  toán  tử  trong  không  gian Hilbert. 

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong luận văn đối tượng áp dụng chính là toán tử đơn điệu, bất đẳng thức  biến phân và áp dụng toán tử đơn điệu vào bất đẳng thức biến phân

5 Phương pháp nghiên cứu

 Tìm tòi, thu thập các tài liệu về toán tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân. 

 Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài. 

 Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới toán 

tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân và xét một số ứng dụng của toán tử đơn điệu trong bài toán bất đẳng thức biến phân. 

6 Dự kiến đóng góp mới      Hoàn thành bản luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích theo đề tài “ 

Về tính đơn điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân”, với mong muốn luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai có nhu cầu tìm hiểu về đề tài này. 

1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 1.1.  Cho không gian tuyến tính H trên  Tích vô hướng xác định trong H là một ánh xạ:

        ., : H  H    

thỏa mãn các điều kiện sau:

i.  x y ,  y x , ,  x y ,  H   

ii.  x  y z ,  x z ,  y z , ,  x y z , ,  H   iii.   x y ,   x y , ,  x y ,  H ,      

trong đó  x y ,  được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y. 

Định lý 1.1. H được gọi là không gian tiền Hilbert (hay không gian Unita ,

không gian với tích vô hướng) khi H là không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn được xác định bởi công thức:  

       x  x x , ,   x H   Chuẩn này được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng. 

Ví dụ 1.1

1 Không gian vectơ thực k chiều k

 là một không gian Hilbert cùng với tích vô hướng: 

       x y ,  a bx t y t dt x t y t ( ) ( ) , ( ), ( )  C a b  ,        

      và chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng 

        x  x x ,  a b x t ( )2dt       không là một không gian Hilbert. 

      lim , ,

 n n 

1.2 Toán tử đơn điệu 1.2.1 Tập lồi và hàm lồi 1.2.1.1 Tập lồi 

Định nghĩa 1.2 Cho H là không gian tuyến tính thực, tập C  H được gọi

Định nghĩa 1.8 Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao của một số 

hữu  hạn  các  nửa  không  gian  đóng  hay  nói  cách  khác  nó  chính  là  tập  hợp nghiệm của một hệ hữa hạn các bất phương trình tuyến tính, có nghĩa là:  

Định nghĩa 1.11 Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi C thỏa mãn hai điều kiện

Định nghĩa 1.12 Cho C là một tập lồi trong H và  x  C NC( ) x   được gọi 

là nón pháp tuyến ngoài của C tại x khi và chỉ khi: 

Ta nói dC  y  là khoảng cách từ y đến C, nếu tồn tại   C sao cho  

 dC  y    y  thì ta nói  là hình chiếu ( khoảng cách) của y trên C. 

Ký hiệu:   pC( ) y  hoặc p y   nếu không nhấn mạnh đến tập chiếu C. 

Mệnh đề 1.2 Cho C là một tập đóng khác rỗng Khi đó:

i Với mọi y  H ,   C hai tính chất sau là tương đương:

a)   pC( ) y b) y    NC   

ii Với mọi y  H , hình chiếu pC( ) y của ytrên C luôn tồn tại và duy nhất iii Nếu y  C thì pC  y  y x ,  pC  y  0 là siêu phẳng tựa của C tại

b) pC  x  pC( ), y x  y  pC( ) x  pC( ) y 2 ( tính đồng bức) Chứng minh:

i. Giả sử có a). Lấy x  C và    0;1 . Đặt: 

      x :   x  (1    )   

Do   C , x và C lồi nên x C mà  lại là hình chiếu của y. 

Suy ra           y  y  x .  Hay 

         y 2    x        y  2. Khai triển vế phải, ước lượng và chia hai vế cho cho   0, ta có: 

          x 2  2 x    ,  y  0. 

Điều này đúng với mọi x  C và    0,1    

Do đó khi cho   0, ta được: 

          y x ,    0,   x C      Vậy  y    NC( )    

Giả sử có b). Với mọi x  C , ta có: 

      0   y    T x      y    T x  y  y         =  y   2   y    T x  y   

Từ đây và b), ta dùng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, có:  

        y   2   y    T y  x   y   y  x   Suy ra  y    y  x ,   x C , và do đó   p y         

ii.  Do  dC  y  infx C x  y nên  theo  định  nghĩa  của  cận  dưới  đúng 

Mà C lồi đóng, nên   C  Vậy 

         y , 1   0   

và       1 y ,   1  0.  

Cộng hai bất đẳng thức này lại ta suy ra    1  0 và do đó   1. 

iii. Do   y     NC    nên    y x ,    0,   x C   Vậy    y x ,    y ,   là một siêu phẳng tựa của C tại    Siêu phẳng này tách y khỏi C vì y    nên 

Định nghĩa 1.14 Cho hai tập C và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng a x  T  tách C và D nếu 

1.2.1.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.15 Trong H ,  cho C  là  tập  lồi  và  f C :      Tập domf  

được gọi là miền hữu dụng của f  khi         domf :=  x  C f x       Tập epif :    x ,    C   f x       được gọi là trên đồ thị của hàm f   

Định nghĩa 1.16 Trong H cho C lồi khác rỗng và f H :      

Định nghĩa 1.17 Hàm f  là hàm lõm trên C nếu  f lồi trên C. 

Định nghĩa 1.18 Một hàm f  được gọi là chính thường trên nếu domf   

và  f x     với mọi x. 

Định nghĩa 1.19 Hàm f được  gọi  là đóng, nếu epif  là  một  tập đóng trong 

H. 

Ví dụ 1.7

1) Hàm mặt cầu Cho mặt cầu S :   x  H x  1  và một hàm bất kỳ h S :   . Khi đó hàm 

iii. liên tục nếu nó vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới đối với E tại x. 

Mệnh đề 1.4 Với mọi hàm f H :       các điều sau là tương đương:

i Trên đồ thị của f là một tập đóng trên H , nói cách khác f  f

ii Với mọi số thực  , tập mức dưới

Lf    :  x f x      

là một tập đóng

iii f nửa liên tục dưới trên H

Mệnh đề 1.5 Đối với một hàm lồi chính thường trên H và

0



x domf các khẳng định sau đây là tương đương:

i f liên tục tại điểm x 0

ii f bị chặn trên trong một lân cận của x 0

iii int(epi f)  

iv int(dom f)  và f liên tục trên tập int(dom f)

Mệnh đề 1.6 Giả sử f là một hàm lồi chính thường trên H Khi đó, f liên tục tại mọi điểm x  int domf  

Mệnh đề 1.7 Cho f là một hàm lồi chính thường trên H và D  domf là một tập lồi đa diện Khi đó, f nửa liên tục trên đối với tập D tại mọi điểm của

D

Định nghĩa 1.21 Cho C  H  khác rỗng và  f : H        Một điểm  

 x C được gọi là  cực tiểu địa phương  của f  trên C  nếu  tồn  tại  một  lân cận U của x sao cho  

      f x    f x   với   x U  C. 

Nếu      f x    f x    với   x C  thì x được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối của f  trên C. 

Mệnh đề 1.8.  Cho f : H       lồi Khi đó mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục. Hơn nữa,. tập hợp các điểm cực tiểu của f  là một tập lồi. Nếu f  lồi chặt thì điểm cực tiểu nếu tồn 

tại sẽ duy nhất

Định nghĩa 1.22 Cho hàm f  xác định trên một lân cận của x  H, hàm f  

được gọi là khả vi tại x nếu tồn tại x H 

Định nghĩa 1.23 Cho f : H         Ta  nói x H  là  dưới  đạo hàm 

của f  tại x nếu           

Ký hiệu: f x   là tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x. 

Khi  f x     thì ta nói hàm f  khả dưới vi phân tại x.  

Ví dụ 1.8 Trong H cho C là một tập lồi, khác rỗng. Khi đó f  C là hàm chỉ được định nghĩa bởi 

C x0  x , x  x0  C x , x    Với x0 C thì  

C x0  x , x  x0  0, x   C  NC x0 .  Vậy dưới vi phân của hàm chỉ của C tại một điểm x0 C là nón pháp tuyến ngoài của C tại x 0  

1.2.2 Toán tử đơn điệu 1.2.2.1 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.24. Cho X, Y  Hvà  F X :  2Ylà ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y( được ký hiệu là 2Y). Khi đó, ta nói F là ánh

xạ đa trị đi từ X vào Y. Như vậy, với mồi  x  X F x ,   là một tập con của 

Định nghĩa 1.27 Ánh xạ đa trị  F : H  2H được gọi là  

i. nửa liên tục trên tại x  domF nếu với mọi tập mở  V  F x ,    tồn tại lân cận mở U của x sao cho 

      F x     V,   x    U. 

ii.  nửa liên tục dưới tại    x  domF nếu  với  mọi  tập  mở V  H  thỏa  mãn  

        A, B : max d A, B , d B, A ,          trong đó  

1.2.2.2 Toán tử đơn điệu Định nghĩa 1.30 Cho  toán  tử  đơn  trị   T : H  H *  và K  H.  Khi  đó T được gọi là: 

i. đơn điệu trên K nếu  

x y Ax Ay x y  x y Tx Ty  x  y  x  y   Tx Ty    0. Vậy AS là toán tử đơn điệu. 

Mệnh đề 1.10. Toán tử tuyến tính T : H  H là đơn điệu khi và chỉ khi

Định nghĩa 1.31. Toán tử đa trị T : H  2 TH  được gọi là  

i đơn điệu nếu  

        u  v, x  y  0, x, y   domT, u   T(x), v   T(y). 

ii. giả đơn điệu nếu  x, y  domT, u   T x , v     T y ,    ta có

        x  y, u  0 kéo theo  x  y, v  0. 

iii. đơn điệu mạnh với hằng số   0 nếu 

 x, y  domT, u   T x , v   T y , u  v, x  y   x  y 2  tức là  T   I là đơn điệu. 

iv đơn điệu ngặt nếu  

        x  y, u  y  x, v  0    x  y, u  v         0  

Mệnh đề 1.11 (Phép bảo toàn tính đơn điệu)

i Cho T : H  2H là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi T1: H  2H là toán tử đơn điệu

ii Nếu T , T1 2 là các toán tử đơn điệu từ H  2H và   1, 2 0 thì 1T1  2T2

cũng là toán tử đơn điệu

Đặc biệt, nếu T1 hoặc T2 là đơn điệu ngặt thì 1T1  2T2 cũng đơn điệu ngặt với  1 0,    2 0.

iii Nếu T : H  2H là toán tử đơn điệu và: A : H  H là toán tử tuyến tính ( A là toán tử liên hợp của A), b  H thì

x  y, u  v  0,   u, v   domT , x   T u , y   T v  Điều này cho thấy T1 là toán tử đơn điệu. 

ii         Hiển nhiên ta có 

      u1 T(Ax  b), v1 T Ay   b  sao cho        u=A u ,   v=A v  1  1  

1.2.2.3 Toán tử đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.32. Toán tử đơn điệu T : H  2Hđược gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị của T không là tập con thực sự của đồ thị của bất kỳ một toán tử đơn điệu nào khác

Mệnh đề 1.12 Cho ánh xạ đơn trị A : H  H là toán tử đơn điệu và liên tục Khi đó, A là toán tử đơn điệu cực đại

Chứng minh:  

Giả  sử  x,  u   có  tính  chất  u  T y , x    y  0,   y    ta  phải  chứng  minh 

 

u  T x  Đặt y  x   v với   0, v  H. 

Ngược  lại  giả  sử  b  T a   Với  mọi  toán  tử  đơn  điệu  T  ta  có       

 gphT  gphT. 

Ta có hd   là tổng của một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới với một hàm lồi mạnh, liên tục và một hàm tuyến tính liên tục. Vì vậy, hd   là hàm lồi mạnh, chính thường và nửa liên tục dưới. 

Nếu  y  domf và c   f y   thì với mọi x  H ta có 

Do hd   là bức và lồi mạnh nên bài toán min  hd  x : x  H  có duy nhất nghiệm. 

Gọi  x  là  nghiệm  này,  khi  đó   0   hd  x ,   theo  định  lý  Moreau- Rockafellar ta có 

       0  hd  x   f x    x d. 

Từ đó suy ra d   f x    x   

Do d là phần tử bất kỳ nên I T    I   f là toán tử tràn. 

Vậy T là toán tử đơn điệu cực đại.        

1.2.2.4 Tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.34 Cho  toán tử đa trị T : H  2Hđược gọi là bị chặn địa phương tại một điểm x  dom Tnếu tồn tại lân cận U của x sao cho tập hợp

           1    

 R T  dom T   T x : x  H  Nếu T  T1, 2là hai toán tử đơn điệu từ  H  2H thì tổng của hai toán tử đơn

điệu T1  T2 cũng là toán tử đơn điệu được xác định như sau: 

 T1   T2  x  T x1   T x2    x1  x : x2 1 T (x), x1 2 T (x) 2   

Định lý 1.6 (Định lý Browder) 

Cho H là không gian Hilbert và T  T  1, 2 là các toán tử đơn điệu từ H  2 H

Giả sử T1 là cực đại, domT2  H, T2 đơn trị, bán liên tục và T2 đi từ tập bị

chặn vào tập bị chặn Khi đó, T1 T2 cũng là toán tử đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.35 Cho ánh xạ  I : X  X, I được gọi là ánh xạ đồng nhất 

Nhận xét 1.4 Cho H là không gian Hilbert và T : H  2H là toán tử đơn điệu Điều kiện cần và đủ để toán tử T là cực đại là R T   I   H.

Mệnh đề 1.17 Cho H là không gian Hilbert và T : H  2H là toán tử đơn điệu cực đại Giả sử rằng tồn tại giá trị   0 sao cho

x, x *  0 với x   , x  domT, x T x   Khi đó, tồn tại x  H sao cho 0  T x  

Định lý 1.10 Trong không gian Hilbert H cho T ,  T1 2 là các toán tử đơn điệu cực đại từ H vào 2H Giả sử rằng một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn