Một số phương pháp lặp song song cho một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn trong không gian hilbert

17 Chương 2 Phương pháp lai chiếu và phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 19 2.1.. Mở đầuBài toán tìm điểm bất động chung của một

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trương Minh Tuyên

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên, người đãtận tình hướng dẫn hết lòng, giúp tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu

để hoàn thành luận văn này

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, các thầy, cô giáo trongkhoa Toán–Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã nhiệt tìnhgiảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo và các đồng nghiệp của Phòng Giáodục và Đào tạo huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình Nhân dịp này, tác giả xin gửilời chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên, tạo điều kiện giúp đỡtác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Mục lục

1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert 3

1.2 Ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert 8 1.2.1 Ánh xạ không giãn 8

1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ không giãn 10

1.2.3 Toán tử đơn điệu 12

1.3 Phương pháp lai chiếu và phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn 15

1.3.1 Phương pháp lai chiếu 15

1.3.2 Phương pháp chiếu co hẹp 16

1.4 Một số bổ đề bổ trợ 17

Chương 2 Phương pháp lai chiếu và phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 19 2.1 Dãy ánh xạ gần không giãn 19

2.2 Phương pháp lai chiếu 20

2.3 Phương pháp chiếu co hẹp 25

2.4 Một số ứng dụng 29

2.4.1 Tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 29

2.4.2 Tìm điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn 32

2.4.3 Tìm không điểm của toán tử đơn điệu 32

2.4.4 Hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát 33

2.4.5 Hệ bất đẳng thức biến phân 38

2.5 Một số ví dụ minh họa 39

Một số ký hiệu và viết tắt

Mở đầu

Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạkhông giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là một trường hợpriêng của bài toán chấp nhận lồi: “Tìm một phần tử thuộc giao khác rỗng của

Hilbert H hay không gian Banach E”, với I là tập chỉ số bất kỳ Bài toán này

có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau như: Xử

pháp được đề xuất dựa trên các phương pháp lặp cổ điển nổi tiếng Đó là cácphương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa, Halpern, phương pháp xấp xỉmềm hay các phương pháp sử dụng các siêu phẳng cắt

Gần đây, một số tác giả đã nghiên cứu bài toán tìm điểm bất động của cácánh xạ không giãn khi thông tin đầu vào chỉ được biết ở dạng gần đúng (cácthông tin đầu vào được cho bởi nhiễu) Trong đó, bài toán tìm điểm bất động(chung) của các dãy ánh xạ gần không giãn là một chủ đề lý thú và thu hútđược sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người làm toán trong và ngoài nước.Năm 2018, các tác giả Tuyen T.M và Ha N.S đã đưa ra một số phươngpháp lai ghép bao gồm phương pháp chiếu lai ghép và phương pháp chiếu cohẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [12] cho bài toán tìm một điểm bấtđộng chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn trong không gianHilbert Hơn nữa, họ đã đưa ra một số ứng dụng của các phương pháp lặp choviệc giải các bài toán liên quan khác, như bài toán điểm bất động của ánh xạkhông giãn, bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán tìm không điểm củatoán tử đơn điệu

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thống các kếtquả của các tác giả Tuyen T.M và Ha N.S trong tài liệu [12] Ngoài ra, luậnvăn cũng đề cập đến hai ví dụ số đơn giản được lập trình và thử nghiệm bằngphần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho các phương pháp lặp Nội dungchính của luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này luận văn tập trung trình bày và làm rõ một số đặc trưng

cơ bản của không gian Hilbert thực, ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ không

giãn và toán tử đơn điệu Các phương pháp chiếu lai ghép và chiếu co hẹp chobài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn.

Chương 2 Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chungcủa một họ ánh xạ không giãn

Nội dung chính của chương này là trình bày lại các kết quả của các tác giảTuyen T.M và Ha N.S bao gồm phương pháp chiếu lai ghép và phương phápchiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [12] cho bài toán tìm một điểmbất động chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn trong khônggian Hilbert cùng với các ứng dụng của chúng

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này bao gồm bốn mục chính Mục 1.1 đề cập đến một số đặc trưng

cơ bản của không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược một số kết quả

về ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu Mục1.3 trình bày về phương pháp lai chiếu và phương pháp chiếu co hẹp cho bàitoán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn Mục 1.4 giới thiệu một số bổ

đề bổ trợ cần sử dụng trong việc trình bày nội dung của Chương 2 Nội dungcủa chương này phần lớn được tham khảo từ các tài liệu [1, 2, 5, 8]

1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert

Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kíhiệu là h., i và chuẩn được kí hiệu là k.k

Trước hết, ta nhắc lại một đặc trưng hình học quan trọng của không gianHilbert

Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau

Mệnh đề 1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, với mọi x, y ∈ H

Ta được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.3 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, nếu với x, y ∈ Hthỏa mãn điều kiện

|hx, yi| = kxk.kyk,tức là bất đẳng thức Schwars xảy ra dấu bằng thì hai véc tơ x và y là phụ thuộctuyến tính

Chứng minh Giả sử ngược lại rằng x 6= λy với mọi λ ∈ R Khi đó, từ tính chấtcủa tích vô hướng, ta có

với mọi λ ∈ R Ta thấy rằng nếu y = 0, thì hiển nhiên x và y là phụ thuộc tuyến

|hx, yi| < kxk.kyk,điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy x và y là phụ thuộc tuyến tính

với mọi n ≥ 1 Khi đó, en * 0, khi n → ∞ Thật vậy, với mỗi y ∈ H, từ bấtđẳng thức Bessel, ta có

∞

X

n=1

Ta biết rằng mọi không gian Hilbert H đều thỏa mãn điều kiện của Opial,tính chất này được thể hiện trong mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức

Mệnh đề 1.6 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực

Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf

xác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C

Ví dụ 1.1 Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= 0 Khi đó

Ví dụ 1.2 Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tửcho trước và R là một số dương Khi đó, ta có:

Mệnh đề 1.7 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert thực H.

H lên C là

Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây:

là phép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó, với mọi x, y ∈ H, ta có

Chứng minh Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.7, ta có

Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.8 Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H, thì

C là tập đóng yếu

tách các tập lồi, tồn tại y ∈ H và ε > 0 sao cho

hy, zi < hy, xi − ε,với mọi z ∈ C Đặc biệt

với mọi n Cho n → ∞, ta nhận được

hy, xi ≤ hy, xi − ε,điều này là vô lý Do đó, C là tập đóng yếu

Chú ý 1.1 Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng

Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.9 Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu

gian Hilbert

Định nghĩa 1.2 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianHilbert thực H Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếuvới mọi x, y ∈ C, ta có

Mệnh đề 1.10 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianHilbert thực H và T : C −→ H là một ánh xạ không giãn Khi đó, F (T ) làmột tập lồi và đóng trong H.

Chứng minh Giả sử F (T ) 6= ∅

Trước hết, ta chỉ ra F (T ) là tập đóng Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãn

với mọi n ≥ 1 Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được kT x−xk =

0, tức là x ∈ F (T ) Do đó, F (T ) là tập đóng

Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của F (T ) Giả sử x, y ∈ F (T ), tức là T x = x và

T y = y Với mọi λ ∈ [0, 1], ta chỉ ra z = λx + (1 − λ)y ∈ F (T ) Thật vậy, nếu

Suy ra λ = β, tức là T z = z Do đó, z ∈ F (T ) Vậy F (T ) là một tập lồi.

Mệnh đề được chứng minh

Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H Cảitiến điều kiện của Nakajo et al trong tài liệu [5], Takahashi et al [8] đã đưa rađiều kiện sau:

F (T ) =

∞

\

n=1

xạ không giãn nếu nó thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

i) T (0)x = x với mọi x ∈ C;

ii) T (s + t) = T (s)T (t) với mọi s, t ≥ 0;

iii) kT (s)x − T (s)yk ≤ kx − yk với mọi s ≥ 0 và x, y ∈ C;

iv) với mỗi x ∈ C, s 7→ T (s)x là ánh xạ liên tục theo biến s trên [0, ∞)

s ≥ 0 và mọi x ∈ R là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R và F (T ) = {0}

Dễ thấy các họ ánh xạ T thỏa mãn các điều kiện i) và iv), ta chỉ ra nó thỏamãn các điều kiện ii) và iii).

Suy ra điều kiện ii) được thỏa mãn

Dưới đây ta chỉ ra họ T thỏa mãn điều kiện iii) Với mọi s ≥ 0 và mọi

Suy ra T thỏa mãn điều kiện iii)

Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực

H Từ kết quả của Nakajo và các cộng sự trong tài liệu [5], Takahashi và các

từ C vào chính nó sao cho F (T ) =

∞

\

n=1

lim

suy ra lim

Mệnh đề 1.11 [5, 6] Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của khônggian Hilbert H Cho T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} là một nửa nhóm ánh xạ không

đơn điệu nếu

với mọi x, y ∈ H và mọi u ∈ A(x), v ∈ A(y)

Toán tử đơn điệu A được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị

G(A) = {(x, u) ∈ H × H : u ∈ A(x)}

không chứa thực sự trong đồ thị của bất kì toán tử đơn điệu nào khác trên H

Thật vậy, hiển nhiên A là một toán tử đơn điệu trên R Ta sẽ chỉ ra đồ thịcủa A không là tập con thực sự của bất kỳ một toán tử đơn điệu nào khác trên

R Giả sử tồn tại một toán tử đơn điệu B trên R sao cho đồ thị của B chứa

suy ra

Giả sử x1 là nghiệm của phương trình A(x) = m, tức là A(x1) = m Khi

suy ra

Vậy không tồn tại toán tử đơn điệu B trên R sao cho đồ thị của B chứathực sự đồ thị của A Do đó, A là một toán tử đơn điệu cực đại trên R

Thật vậy, rõ ràng A là một toán tử đơn điệu, nhưng đồ thị của A là tập con

R(I + λA) = H với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền ảnh của I + λA

Từ chú ý trên ta có một ví dụ khác dưới đây về toán tử đơn điệu cực đại:

Ví dụ 1.7 Cho T : H −→ H là một ánh xạ không giãn, tức là kT x − T yk ≤

kx − yk với mọi x, y ∈ H Khi đó A = I − T là một toán tử đơn điệu cực đại, ởđây I là ánh xạ đồng nhất trên H

Thật vậy, với mọi x, y ∈ H, ta có

suy ra A là một toán tử đơn điệu

Tiếp theo, ta chỉ ra tính cực đại của A Với mỗi λ > 0 và mỗi y ∈ H, xétphương trình

với mọi x ∈ H Dễ thấy, f là ánh xạ co với hệ số co là λ

theo nguyên lý ánh xạ co Banach, phương trình (1.8) có duy nhất nghiệm Suy

ra, phương trình (1.7) có duy nhất nghiệm

Vậy A là một toán tử đơn điệu cực đại

z Từ định nghĩa của toán tử giải, suy ra

ii) Với mọi số dương λ và µ, ta luôn có đẳng thức sau

Từ tính đơn điệu của A, suy ra

hµx + (λ − µ)z − λy − µx + µz, y − zi ≥ 0,

chứng minh

r > 0 Khi đó, với mọi r, λ > 0, ta có

A(x) = βx với mọi x ∈ R là ngược đơn điệu mạnh

tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn

Năm 2003, Nakajo và Takahashi [5] đã chứng minh định lý dưới đây:

Định lý 1.1 Cho H là một không gian Hilbert thực và C là tập con lồi, đóng,khác rỗng của H Cho T là một ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với

Ngoài ra, Nakajo và Takahashi [5] cũng đã chứng minh định lý dưới đây chobài toán tìm điểm bất động chung của một nửa nhóm ánh xạ không giãn.Định lý 1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực và C là tập con lồi, đóng,khác rỗng của H Cho T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} là một nửa nhóm ánh xạ

Takahashi và các cộng sự [10] đã đưa ra các kết quả dưới đây cho bài toántìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn hay một nửa nhóm ánh xạ khônggiãn và bài toán tìm không điểm của một toán tử đơn điệu cực đại trong khônggian Hilbert

Định lý 1.3 Cho H là một không gian Hilbert thực và C là tập con lồi, đóng,khác rỗng của H Cho T là một ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với

F (T ) 6= ∅ và x0 ∈ H Với C1 = C và u1 = PC1x0, xác định dãy {un} như sau:

n→∞ kxnk

khi n đủ lớn Vậy lim inf

Bổ đề 1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực và cho C là một tập con lồi,đóng và khác rỗng của H Khi đó, với mọi x ∈ H và y ∈ C, ta có

Chứng minh Ta có

Từ Mệnh đề 1.7, ta nhận được điều phải chứng minh

Bổ đề 1.3 (xem [4]) Cho H là một không gian Hilbert thực Với mọi x, y ∈ H

và t ∈ [0, 1], ta có

Bổ đề 1.4 (xem [3]) Giả sử T là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi, đóng

và khác rỗng C của không gian Hilbert thực H vào chính nó Nếu T có điểm

(I − T )x = y

Chương 2

Phương pháp lai chiếu và phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất

động chung của một họ hữu hạn

dãy ánh xạ gần không giãn

Chương này bao gồm 5 Mục chính, trong đó: Mục 2.1 giới thiệu về khái niệmdãy ánh xạ gần không giãn Mục 2.2 và 2.3 lần lượt trình bày về các phươngpháp lai chiếu và phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất động chung của một

họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert Mục 2.4 giớithiệu một số ứng dụng của các kết quả chính để giải một số bài toán liên quankhác Mục 2.5 trình bày hai ví dụ số minh họa được tính toán bằng MATLABnhằm minh họa thêm cho các kết quả lý thuyết Nội dung của chương này đượctrình bày từ tài liệu [12]

với mọi x, y ∈ C và mọi n ∈ N

Ta biết rằng nếu C là một tập hợp bị chặn và T : C −→ C là một ánh xạ

là một dãy ánh xạ gần không giãn Thật vậy, với mọi x, y ∈ C, ta có

2.2 Phương pháp lai chiếu

Trong mục này, luận văn giới thiệu một phương pháp lai chiếu tìm điểm bấtđộng chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn trong không gianHilbert từ tài liệu [12]

Ta có định lý dưới đây

Định lý 2.1 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert

x0 ∈ C, cho {xn} là dãy trong C xác định bởi

Chứng minh Ta sẽ chứng minh định lý thông qua các bước sau

N

\

i=1

Với mỗi u ∈ S và với mọi i = 1, 2, , N , ta có

Từ định nghĩa của tập Cni, ta nhận được u ∈ Cni Do đó, S ⊂ Cni với mọi

Thật vậy, từ xn+1 ∈ Ci

≤ lim inf

k→∞ kxnk − x0k

≤ lim sup

k→∞

Định lý được chứng minh

Định lý 2.2 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert

Chứng minh Tương tự như chứng minh của Định lý 2.1, ta nhận được cáckhẳng định sau (Bước 1-Bước 3):

trong đó M = max

i=1,2, ,N{sup

n

Ta có định lý dưới đây

Định lý 2.3 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert

x0 ∈ C, cho {xn} là dãy trong C xác định bởi

Chứng minh Ta sẽ chứng minh định lý thông qua các bước sau

đóng của C với n ≥ 0 nào đó Ta viết lại bất đẳng thức

ở dạng

ta thu được lim

Định lý 2.4 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert

Chứng minh Tương tự như chứng minh của Định lý 2.3, ta nhận được cáckhẳng định sau (Bước 1-Bước 5):

với mọi i = 1, 2, , N Do đó, lim

Phần còn lại của chứng minh được thực hiện như chứng minh của Định lý 2.3.Định lý được chứng minh

Luận văn giới thiệu một số định lý hội tụ mạnh cho bài toán tìm điểm bấtđộng chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Chú ý

và với mọi n ≥ 1, thì ta có thể bỏ điều kiện diam(C) < ∞ và thay điều kiện

Từ các Định lý 2.1 và Định lý 2.2, ta có kết quả dưới đây cho bài toán tìmđiểm bất động chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạ không giãn

Định lý 2.5 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian

C vào H sao cho S =

N

\

i=1