Đối ngẫu của không gian lồi địa phương

Lý do chọn đề tài Lý thuyết đối ngẫu, đặc biệt là đối ngẫu của không gian lồi địa phương có vai trò đặc biệt quan trọng trong chuyên ngành giải tích hàm nói chung và không gian vectơ tô

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Đàm Văn Ngọc

ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN

LỒI ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Đàm Văn Ngọc

ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN

LỒI ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Đậu Thế Cấp đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn này

Em cũng xin cảm ơn các quý thầy đã giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học và các quý thầy trong hội đồng khoa học đã đọc và có những ý kiến đóng góp quý báu

Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng KHCN – SĐH đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn này

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian vectơ tôpô 3

1.2 Không gian vectơ khả mêtric 4

1.3 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn và compăc 6

1.4 Không gian đầy đủ 7

1.5 Ánh xạ tuyến tính 7

1.6 Không gian lồi địa phương 7

1.7 Định lý Hahn- Banach và nguyên lý bị chặn đều 11

Chương 2 LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU 2.1 Không gian đối ngẫu 12

2.2 Hệ đối ngẫu 15

2.3 Pôla 19

2.4 Song pôla 21

2.5 Ánh xạ liên hợp và ánh xạ đối ngẫu 23

2.6 Tôpô trên không gian đối ngẫu Định lí Mackey-Arens 25

2.7 Tôpô mạnh 30

Chương 3 MỘT SỐ KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG ĐẶC BIỆT 3.1 Không gian thùng 35

3.2 Không gian phản xạ 40

3.3 (DF) - Không gian 43

3.4 Đặc trưng đối ngẫu của không gian Frechet (F - không gian) và (DF) - không gian 48

KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết đối ngẫu, đặc biệt là đối ngẫu của không gian lồi địa phương

có vai trò đặc biệt quan trọng trong chuyên ngành giải tích hàm nói chung và không gian vectơ tôpô nói riêng Do đó, việc nghiên cứu một cách đầy đủ và phát triển lý thuyết đối ngẫu của không gian lồi địa phương là một vấn đề quan trọng và cần thiết

2 Mục đích

Tìm hiểu về lý thuyết đối ngẫu trên các không gian lồi địa phương tổng quát và một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt như : không gian phản

xạ, không gian thùng và (DF) – không gian

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu trên các không gian lồi địa phương tổng quát và một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quả của lý thuyết đối ngẫu của không gian lồi địa phương có

nhiều ứng dụng trong giải tích phức nhiều biến, trong phương trình đạo hàm

riêng và nhiều ngành toán học khác

5 Cấu trúc của luận văn Gồm ba chương

Chương đầu giới thiệu các kiến thức cơ bản về không gian vectơ tôpô và không gian lồi địa phương, đồng thời nhắc lại một số kết quả của giải tích hàm được sử dụng trong các chương sau

Chương thứ hai trình bày các khái niệm của lý thuyết đối ngẫu của không gian lồi địa phương như : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu và tôpô của hệ đối ngẫu, mà kết quả quan trọng nhất là định lý Mackey-Arens

Chương cuối của luận văn nhằm mục đích trình bày một số lớp không gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng gồm : không gian thùng, không gian phản xạ và đặc biệt là (DF) - không gian, lớp các không gian chứa các không gian đối ngẫu của các không gian Frechet Các kết quả quan trọng trong các không gian đó được xây dựng dựa trên các kết quả của lý thuyết đỗi ngẫu

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản và một số kết quả trong không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương được sử dụng trong các các chương sau

1.1 Không gian vectơ tôpô

1.1.1 Định nghĩa

Cho E là một không gian vectơ trên trường K ( K  R hoặc K  C ) Một

Ta gọi một không gian vectơ E cùng một tôpô tương thích trên nó là một không gian vectơ tôpô

1.1.2 Định lý

Cho E là một không gian vectơ tôpô Khi đó:

Theo định lý 1.1.2, toàn bộ cấu trúc tôpô của E được xác định bởi một cơ

sở lân cận của 0 Sau này lân cận của 0 được gọi vắn tắt là lân cận

1.1.3 Định nghĩa

Tập con A của không gian vectơ E gọi là hút nếu

n 1

nA E







1.1.4 Định lý

a) U là tập hút

1.1.5 Hệ quả

Trong không gian vectơ tôpô, mọi lân cận U đều chứa một lân cận đóng

1.1.6 Hệ quả

Cho U là một cơ sở lân cận của một không gian vectơ tôpô E Khi đó E

U





U

I

1.1.7 Định nghĩa nửa chuẩn và chuẩn

Giả sử E là không gian vectơ Hàm p xác định trên E và nhận giá trị thực gọi là nửa chuẩn trên E nếu

i) p(x) 0, x E.   ii) p( x)   p(x), x E.  iii) p(x y) p(x) p(y), x, y E    

1.1.8 Định nghĩa

Một không gian vectơ cùng với một chuẩn trên nó gọi là không gian định chuẩn

1.2 Không gian vectơ khả mêtric

1.2.1 Định nghĩa

Không gian vectơ tôpô E gọi là không gian khả mêtric nếu tồn tại một mêtric d sinh ra tôpô của E

1.2.2 Định lý

Không gian vectơ tôpô Hausdorff E khả mêtric nếu và chỉ nếu E có một

Chứng minh

Vn 1 Vn 1 Vn với mọi nN (1)

n H



H

n H



Từ (1) , bằng quy nạp theo số phần tử của H dễ dàng chứng minh n

p 2   n H V V (2) (ở đây n H nghĩa là n k với mọi k H )

Đặt :

x





Vì pH pK  nên tồn tại tập M sao cho 1 pH pK pM Do (1) ta có

M

Vậy có 2)

Với mọi 0  , đặt S x : x   

Ta có

S2  n 1 Vn S2 n với mọi nN (3)

H

p 2 Từ đó theo (2) ta có x V n

Do E Hausdorff nên theo hệ quả 1.4 và (3) ta có tính chất 3) trong định

lý Theo (3) ta cũng có  S 0là cơ sở lân cận của 0 trong E

Vậy có tính chất 4) trong định lý

1.3 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn và compăc

1.3.1 Định nghĩa

1.3.2 Mệnh đề

Giả sử E là không gian vectơ tôpô Khi đó :

1.3.3 Định nghĩa

1.3.4 Định nghĩa

mọi phủ mở của X, tồn tại một phủ con hữu hạn

1.4 Không gian đầy đủ

lân cận U, tồn tại n , sao cho 0 xm xn , với mọi U m,n n 0 Lưới x D

0

xxU,    , Không gian vectơ tôpô E gọi là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E đều hội tụ, gọi là đầy đủ theo dãy nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ Tập con A của E gọi là đầy đủ (đầy đủ theo dãy) nếu mọi lưới (dãy) Cauchy trong

A đều hội tụ đến một điểm thuộc A

1.5 Ánh xạ tuyến tính

1.5.1 Mệnh đề

Nếu E và F là những không gian vectơ tôpô và f là một ánh xạ tuyến tính của E vào F thì f là liên tục trên E khi và chỉ khi f liên tục tại điểm gốc

1.5.2 Định nghĩa

1.6 Không gian lồi địa phương

Tập con A của một không gian vectơ gọi là tập lồi nếu

 

Tập A lồi và cân được gọi là tập tuyệt đối lồi

1.6.1 Định nghĩa

Không gian vectơ tôpô E gọi là không gian lồi địa phương nếu E Hausdorff và E có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi

1.6.2 Bổ đề

Cho E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff Khi đó, các mệnh đề sau đây là tương đương:

1.6.3 Định nghĩa

Cho A là tập con của không gian vectơ E Khi đó:

cỡ, hay phiếm hàm Minkowski của tập A

1.6.4 Bổ đề

chuẩn trên E

1.6.5 Mệnh đề

Giả sử E là không gian lồi địa phương và A là một tập bị chặn trong E

của A cũng bị chặn

1.6.6 Bổ đề

Cho E là một không gian lồi địa phương và p là một nửa chuẩn trên E Khi đó :

b) p U, U là một tập tuyệt đối lồi và hút thì p liên tục nếu và chỉ nếu

1.6.7 Định nghĩa

một hệ cơ bản các lân cận nếu thỏa mãn các điều kiện :

1.6.8 Định lý

Mọi không gian lồi địa phương E đều có một hệ cơ bản các nửa chuẩn

a) Mọi x E, x 0,  tồn tại I  sao cho x   0 b) Mọi ,  tồn tại II   và C > 0 sao cho: max  ,  C  

1.6.9 Bổ đề

các nửa chuẩn Nếu họ các các nửa chuẩn có tính chất b) mà không có tính chất a) thì với tôpô trên, E có một cơ sở lân cận lồi nhưng không Hausdorff

1.6.10 Phương pháp xác định tôpô lồi địa phương

(I)

M M





Do đó theo bổ đề 1.6.9, họ các tập có dạng:

M



M

U (a) 

I

E là một không gian vectơ có một cơ sở lân cận lồi nhưng có thể không

Nếu họ nửa chuẩn có tính chất a) trong định lý 1.6.7 thì E với tôpô nói trên là không gian lồi địa phương

U





I

U

thì E với tôpô nói trên là không gian lồi địa phương

1.6.11 Định lý

Cho E và F là các không gian vectơ tôpô sinh bởi các họ nửa chuẩn tương ứng là p Ivà q  J

M



1.6.12 Định nghĩa

Giả sử E là không gian lồi địa phương Ta nói E là : a) Không gian Frechet (hay còn gọi là F-không gian) nếu nó khả mêtric

và đầy đủ

b) Không gian Banach nếu nó là không gian định chuẩn đầy đủ

1.6.13 Định nghĩa

Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương Ánh xạ tuyến tính f :

chặn trong F

1.7 Định lý Hahn- Banach và nguyên lý bị chặn đều

1.7.1 Định lý tách các tập lồi

Giả sử F là không gian vectơ tôpô thực A, B là hai tập lồi rời nhau trong

1.7.2 Định lý

Giả sử p là một nửa chuẩn trong không gian vectơ thực E và f là dạng

1.7.3 Hệ quả

Giả sử E là không gian vectơ trên trường K, a không thuộc E, p là một nửa chuẩn trên E Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên E sao cho :

1.7.4 Nguyên lý bị chặn đều

Giả sử E là một không gian Banach, F là một không gian định chuẩn và

I

sup f (x)

I

sup f

Chương 2 LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU

Chương này chúng ta sẽ trình bày các vấn đề của lý thuyết đối ngẫu bao gồm : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu và tôpô của hệ đối ngẫu Bằng cách coi rằng các lân cận của điểm gốc là pôla của những tập nào đó trong không gian lồi địa phương, ta sẽ xác định được các tôpô lồi địa phương khác nhau trên đối ngẫu của một không gian lồi địa phương Các tập hợp được sử dụng cho mục đích ấy là : lớp các tập hợp bị chặn Định lý Mackey – Arens đặc trưng cho tất cả các tôpô lồi địa phương xác định cùng một hệ đối ngẫu cho trước, đó là các tôpô lồi địa phương mạnh hơn tôpô yếu và yếu hơn tôpô Mackey

2.1 Không gian đối ngẫu

2.1.1 Định nghĩa

Cho E là một không gian vectơ tôpô trên trường K Ta kí hiệu

*

gian đối ngẫu của E

Sau đây là một số tính chất trên không gian đối ngẫu của một không gian lồi địa phương

2.1.2 Bổ đề

Cho p và q là hai nửa chuẩn trên không gian vectơ E Nếu q(x) < 1 kéo

Chứng minh

0

x

Vậy p(x) q(x) với mọi x E

2.1.3 Định lý

Chứng minh

1 M

2.1.4 Hệ quả

Chứng minh

bởi f ( a)1    Khi đó, với mọi     , , ,1 2 K:

f ( ( a)) f ((1    1 )a)     f ( a)1

2.1.5 Định lý

Cho E là một không gian lồi địa phương, A là tập con tuyệt đối lồi và

a) f(a) > 1

Chứng minh

2

2

0 r

2

2

r

Vậy f(a) >1

Vì U hút nên với mọi x A , chọn 0  sao cho x 1U

2

1

2

Vì f (x)  x B nên f (x) 1, x A  

2.1.6 Hệ quả

Cho A là tập con tuyệt đối lồi của một không gian lồi địa phương E và

Chứng minh

Theo định lý 2.1.5, tồn tại f E sao cho: f(a) > 1 và f (x) 1, x A  

f (a) B f (a) f (A)

2.2 Hệ đối ngẫu

2.2.1 Định nghĩa hệ đối ngẫu

Cho E, F là hai không gian vectơ trên cùng một trường vô hướng K

ngẫu nếu thỏa mãn hai điều kiện sau :

2) Với mỗi 0 x  , tồn tại  F x E sao cho x, x  0

2.2.2 Chú ý

tính trên E và với x , x F, xx   để: x E

x, xx  0 x, x  x, x