Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trên không gian lồi địa phương và ứng dụng

Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co suy rộng trên không gian lồi địa phương.. Tôpô lồi địa phương được sinh bởi họcác nửa chuẩn liên tục, và họ các nửa chuẩn cũng sinh ra

MỤC LỤC

Mở đầu 2

1 Không gian lồi địa phương và định lý Tikhonov-Schauder 4 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.2 Định lý Tikhonov-Schauder 12

2 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trên không gian lồi địa phương 18 2.1 Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co suy rộng trên không gian lồi địa phương 18

2.2 Ưng dụng´ 29

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

MỞ ĐẦU

Không gian lồi địa phương là lớp không gian véctơ tôpô có vai tròquan trọng trong toán giải tích Tôpô lồi địa phương được sinh bởi họcác nửa chuẩn liên tục, và họ các nửa chuẩn cũng sinh ra các giả mêtrictrên không gian đó

Từ các giả mêtric sinh ra bởi các nửa chuẩn trên không gian lồi địaphương, một vấn đề xuất hiện tự nhiên và có nhiều ứng dụng là nghiêncứu các mở rộng và ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co cho lớp khônggian này Những kết quả đầu tiên về lý thuyết điểm bất động đối vớicác ánh xạ trên không gian lồi địa phương đạt được bởi Tikhonov vàSchauder với một sự mở rộng nổi tiếng định lý cổ điển Brouwer (xem[2]) Sau đó, nhiều kết quả được nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướngbởi I A Rus, V.G Angelov và nhiều tác giả khác (xem [2]) Đặc biệt,các định lý điểm bất động cho các lớp ánh xạ co trên không gian lồi địaphương đã cho nhiều ứng dụng trong nhiều vấn đề của phương trình vitích phân, phương trình hàm ,(xem [2], [3], [6])

Các vấn đề nghiên cứu về các định lý điểm bất động cho các lớp ánh

xạ co suy rộng trên các không gian lồi địa phương và ứng dụng là kháthú vị Với mục đích tìm hiểu về không gian lồi địa phương, một vài kếtquả ban đầu về định lý điểm bất động cho một số lớp ánh xạ co suy rộngtrên không gian lồi địa phương và ứng dụng, chúng tôi lựa chọn đề tàisau cho luận văn của mình là: Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ

co suy rộng trên không gian lồi địa phương và ứng dụng

Nội dung chính của luận văn là trình bày những vấn đề cơ bản về

không gian lồi địa phương, định lý điểm bất động Tikhonov-Schauderđối với ánh xạ liên tục trên tập con lồi và compact của không gian lồiđịa phương, và một số kết quả của Hadzic về sự tồn tại điểm bất độngđối với các ánh xạ co suy rộng trong không gian lồi địa phương Các nộidung trên được trình bày trong hai chương:

Chương 1 Không gian lồi địa phương và định lý Tikhonov-SchauderChương này trình bày những kiến thức cơ sở về không gian lồi địaphương cần dùng về sau và chứng minh chi tiết định lý điểm bất độngTikhonov-Schauder

Chương 2 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trênkhông gian lồi địa phương

Chương này trình bày các định lý điểm bất động đối với một số lớpánh xạ co suy rộng trên không gian lồi địa phương và ứng dụng trongchứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình vi phân.Các nội dung được trình bày trong luận văn là không mới, nó đượcchúng tôi tổng hợp trình bày theo một lôgic riêng, trong đó rất nhiềukết quả trong các tài liệu được chứng minh vắn tắt hoặc không chứngminh đã được chúng tôi chứng minh chi tiết Luận văn được thực hiện tạitrường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS Kiều PhươngChi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy Tác giảxin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa Toán học, Trường Đạihọc Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gianhọc tập Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏinhững hạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiếnđóng góp của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiệnhơn

Nghệ An, tháng 9 năm 2013

Mục này trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian vectơ tôpô

và giải tích hàm cần dùng về sau Những nội dung này được tổng hợp vàtrích ra từ [1]

1.1.1 Định nghĩa Không gian véctơ tôpô là một không gian véctơ cùngvới một tôpô trên đó sao cho các phép toán cộng và nhân vô hướng làliên tục

Tập con U trong không gian véctơ X được gọi là cân nếu αU ⊂ U vớimọi α ∈ K và |α| < 1; tập U được gọi là hút nếu với mọi x ∈ X tồn tại

δ > 0 sao cho αx ∈ U với mọi |α| < δ

1.1.2 Định lý Trong không gian véctơ tôpô luôn tồn tại cơ sở lân cận

U của 0 gồm các tập cân, hút và với mọi U ∈ U tồn tại V ∈ U sao cho

V + V ⊂ U

1.1.3 Định nghĩa Tập con U của không gian véctơ X được gọi là lồinếu với mọi x, y ∈ U , với mọi 0 6 λ 6 1, thì λx + (1 − λ)y ∈ U

1.1.4 Định nghĩa Tập con U của không gian véctơ tôpô E được gọi

là bị chặn nếu với mọi lân cận V của 0 tồn tại s > 0 tương ứng sao cho

1.1.7 Định nghĩa Cho E là không gian véctơ tôpô với cơ sở lân cận Ucủa 0 Dãy suy rộng {xi}i∈I được gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi U ∈ Utồn tại i0 ∈ I sao cho xi− xj ∈ U với mọi i, j > i0

Tập con A ⊂ E được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy suy rộng Cauchy làhội tụ trong A

1.1.8 Định lý Cho E là không gian véctơ tôpô Tập con A của E làcompact khi và chỉ khi A đầy đủ và hoàn toàn bị chặn

1.1.9 Định nghĩa Cho E là không gian tuyến tính trên trường R Hàmk.k : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiệnsau:

1) kxk > 0, với mọi x ∈ E và kxk = 0 ⇔ x = 0;

2) kλxk = |λ|kxk, với mọi λ ∈ R và với mọi x ∈ E;

3) kx + yk 6 kxk + kyk, với mọi x, y ∈ E

Khi đó (E, k.k) được gọi là một không gian định chuẩn

Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩnd(x, y) = kx−yk, ∀x, y ∈ E Không gian định chuẩn E được gọi là khônggian Banach nếu E đầy đủ với mêtric sinh bởi chuẩn Đối với tôpô sinh

bởi mêtric sinh bởi chuẩn các phép toán cộng và nhân vô hướng trên E

là liên tục Do đó, mỗi không gian định chuẩn là một không gian vectơtôpô với Bn = {x ∈ E : kxk < 1

n}, n = 1, 2, là cơ sở lân cận gồm cáctập lồi, cân, bị chặn của E

Sau đây ta nhắc lại một vài khái niệm quan trọng

1.1.10 Định nghĩa Cho ánh xạ f : X → X Điểm x được gọi là điểmbất động của f nếu f (x) = x

Bây giờ, ta nhắc lại định lý điểm bất động nổi tiếng của Schauder

1.1.11 Định lý ([2]) Cho C là tập con đóng, lồi của không gian địnhchuẩn E Khi đó, mọi ánh xạ compact, liên tục F : C → C có ít nhấtmột điểm bất động

Tiếp theo ta trình bày khái niệm, ví dụ và tính chất cơ bản của khônggian lồi địa phương và sự xác định của tôpô lồi địa phương sinh bởi họcác nửa chuẩn Các kết quả căn bản được tổng hợp và trích ra từ [1]

1.1.12 Định nghĩa Không gian véctơ tôpô được gọi là lồi địa phươngnếu nó cơ sở lân cận U của 0 gồm các tập lồi

1.1.13 Mệnh đề Giả sử X là không gian lồi địa phương Khi đó 0 ∈ X

có cơ sở lân cận U thoả mãn:

1) U, V ∈ U thì có W ∈ U sao cho W ⊂ U ∩ V ;

2) αU ∈ U với mọi α ∈ K, α 6= 0 và với mọi U ∈ U ;

3) Mọi U ∈ U là lồi, cân và hút

Hơn nữa, nếu không gian tuyến tính tôpô X có họ các tập con U thoảmãn 1), 2) và 3) thì nó là không gian lồi địa phương

1.1.14 Mệnh đề Nếu không gian véctơ E có họ U gồm các tập con lồi,cân và hút thì trên E tồn tại tôpô yếu nhất sao cho hai phép toán trên E

liên tục và E trở thành không gian lồi địa phương Hơn nữa, cơ sở của 0trong E là họ các tập

1.1.16 Định nghĩa Cho X là một không gian vectơ Hàm p xác địnhtrên X và nhận giá trị thực được gọi là một nửa chuẩn trên X nếu vớimọi x, y ∈ X và với mọi λ ∈ K ta có

1.1.17 Mệnh đề Nếu p là một nửa chuẩn trên không gian vectơ X thìvới mọi α > 0 các tập A = {x ∈ E : p(x) < α} và B = {x ∈ E : p(x) 6

Do đó λx + (1 − λ)y ∈ A Vậy A là tập lồi.

Với mỗi x ∈ A với mọi r ∈ K sao cho |r| 6 1 ta có

p(rx) = |r|p(x) 6 |r|α < α

Suy ra rx ∈ A Vậy A cân

Với mỗi x ∈ X Nếu p(x) = 0 thì x ∈ A Nếu p(x) 6= 0 thì lấy δ = α

p(x).Khi đó, với mọi λ ∈K sao cho |λ| < δ ta có

là họ các tập lồi có dạng

U = {x ∈ E : sup pi(x) < ε, i = 1, 2, , n},trong đó ε > 0, pi ∈ P, n ∈ N

1.1.19 Định nghĩa Giả sử A là tập con lồi, hút của không gian vectơtôpô X Hàm thực không âm µA : X →R+ cho bởi

µA(x) = inf{t > 0 : x ∈ tA} với mọi x ∈ Xđược gọi là phiếm hàm Minkowski của tập hợp A

1.1.20 Định lý Nếu A là tập lồi, cân và hút của không gian vectơ tôpô

X thì µA := p là nửa chuẩn trên X Hơn nữa

{x ∈ X : p(x) < 1} ⊂ A ⊂ {x ∈ X : p(x)6 1}

1.1.21 Nhận xét Nếu X là không gian lồi địa phương thì X có cơ sởlân cận các tập lồi, cân và hút Do đó, cơ sở lân cận này tương ứng với

họ các nửa chuẩn là các phiếm hàm Minkowski tương ứng Kết hợp vớiNhận xét 1.1.18 suy ra rằng mỗi tôpô lồi địa phương hoàn toàn được xácđịnh bởi một họ các nửa chuẩn và ngược lại

1.1.22 Nhận xét Giả sử P là họ các nửa chuẩn sinh ra tôpô lồi địaphương trên E Khi đó E là Hausdorff khi và chỉ khi p(x) = 0 với mọi

Khi đó, ta có U ∈ B(0, ε) Thật vậy, nếu x ∈ U thì

< ε

2 +

ε

2.Ngược lại, nếu ta lấy

1.1.24 Định nghĩa Cho X là không gian lồi địa phương với với tôpôlồi địa phương sinh bởi ho các nửa chuẩn {pα}α∈I

1) Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu pα(xn − xm) → 0 khi

m, n → ∞ với mọi α ∈ I

2) Không gian X được gọi là đầy đủ dãy nếu mọi dãy Cauchy trong

X đều hội tụ

1.1.25 Định nghĩa Các không gian lồi địa phương khả mêtric gọi là

F -không gian, nếu nó đầy đủ thì gọi là không gian Frechet

1.1.26 Ví dụ Giả sử

R∞ := {x = {xn} : xn ∈ R, n > 1}

với phép cộng và nhân vô hướng thông thường theo từng số hạng Xét

họ Q = {pn} là họ đếm được các nửa chuẩn trên R∞ xác định bởi

đó, tồn tại chuẩn trên R∞ sao cho tôpô sinh ra bởi chuẩn trùng với tôpôsinh ra bởi {pn} Xét B(0, 1) = {x ∈ R∞ : kxk < 1} Khi đó, tồn tại

V = {x ∈ R∞ : pi(x) = |xi| < δ, i ∈ I}

trong đó I là tập hữu hạn sao cho V ⊂ B(0, 1) Lấy x0 = {x0n} ∈ R∞sao cho x0n = 0 nếu n ∈ I và x0n 6= 0 với n /∈ I Khi đó, x0 6= 0 và suy ra

kx0k = r > 0 Với mọi số tự nhiên k do cách xác định của x0 và V ta có

kx0 ∈ V Do đó kx0 ∈ B(0, 1) với mọi k Suy ra kkx0k = kr < 1 với mọi

k Ta nhận được sự mâu thuẫn

1.1.27 Ví dụ Gọi C(R) là không gian vectơ các hàm thực liên tục trên

R Với mỗi n = 1, 2, đặt

pn(f ) = sup{|f (x)| : x ∈ [−n, n]},với mọi f ∈ C(R) Khi đó, dễ dàng kiểm tra được pn là các nửa chuẩntrên C(R) Do đó, C(R) là không gian lồi địa phương sinh bởi họ cácnửa chuẩn {pn} Hơn nửa, C(R) là không gian Frechet với khoảng cách

Sau đây ta nhắc khái niệm bao lồi

1.1.28 Định nghĩa Cho E là một không gian vectơ và A ⊂ E Bao lồicủa A là tập lồi bé nhất chứa A

Bao lồi của tập A được ký hiệu là convA Rõ ràng bao lồi của A bằnggiao của tất cả các tập lồi chứa A Hơn nữa, người ta chứng minh được

1.1.29 Mệnh đề Trong không gian lồi địa phương:

1) Bao lồi của tập bị chặn là bị chặn

2) Bao lồi của tập hoàn toàn bị chặn là hoàn toàn bị chặn

3) Bao lồi của tập compact là tập compact

1.2.1 Định lý Cho E là không gian lồi địa phương Hausdorff, A là mộttập con compact của E và C là tập con lồi của E chứa A Khi đó, nếu

U là lân cận mở của 0 thì tồn tại một ánh xạ liên tục x 7→ PU(x) từ Avào E thỏa mãn:

Mặt khác, với mỗi i = 1, 2, , n ta có

06 µi(x) 6 1 với x ∈ E,với µi(x) = 0 nếu x /∈ U (ai) và µi(x) > 0 nếu x ∈ U (ai) Bây giờ, tađặt

Ta thấy PU xác định, bởi vì nếu x ∈ A thì x ∈ U (ai) với i nào đó thuộcvào {1, 2, , n} và vì thế

Khi đó PU(x) − x ∈ U với x ∈ A Định lý đã được chứng minh

Bây giờ, ta trình bày định lý Tikhonov-Schauder

1.2.2 Định lý ([1],[2]) Cho E là không gian lồi địa phương Hausdorff,

C là tập con lồi của E và F : C −→ E là ánh xạ liên tục sao cho:

F (C) ⊆ A ⊆ C,

trong đó A là tập compact Khi đó F có ít nhất một điểm bất động.

Chứng minh Giả sử U là lân cận mở, lồi, cân của 0 và PU được xác địnhnhư trong Định lý 1.2.1 Bây giờ ta định nghĩa FU bởi:

Như vậy, với bất kỳ lân cận mở U của 0, tồn tại ít nhất điểm x ∈

K? ⊆ C sao cho (1.2) thỏa mãn

Bây giờ, ta giả sử rằng: x 6= F (x) với mọi x ∈ C Do tính liên tụccủa F và E là không gian Hausdorff nên sẽ tồn tại hai lân cận mở Vx và

Wx của 0 thỏa mãn

F (C ∩ Vx(x)) ⊆ Wx(F (x)) (1.3)

không thể xẩy ra Thật vậy, cố định x ∈ C Vì y = F (x) ∈ A nên tồn tại

j ∈ {1, , n} với y ∈ Uαj(αj) Ta có y = u + aj với u nào đó thuộc Uαj

Do đó nếu ω ∈ Uαj(y) thì tồn tại ω ∈ Uαj với

Giả sử rằng khẳng định (1.4) không đúng Khi đó với bất kỳ x ∈ C ta

có x ∈ Vαj(y); với y = F (x) và từ (1.5) ta thấy rằng x ∈ Vαj(αj) Mặtkhác, từ (1.3)ta có

y = F (x) ∈ Wαj(F (aj))

Tuy nhiên, từ y ∈ Wαj(F (aj)) và (1.3) suy ra y /∈ Vαj(αj) Điều này mâuthuẫn với (1.5) Do đó với bất kỳ x ∈ C,tồn tại j ∈ {1, , n} sao cho

không thể xẩy ra Chọn U sao cho

2.1 Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co suyrộng trên không gian lồi địa phương

Mục này nghiên cứu một số định lý điểm bất động của các ánh xạ cosuy rộng trong không gian lồi địa phương

Trong cả mục này, ta xét không gian lồi địa phương, Hausdorff E vớitôpô lồi địa phương sinh bởi họ các nửa chuẩn P = {pi : i ∈ I}

2.1.1 Định lý ([3]) Cho E là không gian lồi địa phương đầy đủ dãy và

f là ánh xạ từ I vào I Giả sử M là tập con đóng trong E và T là ánh

xạ từ M vào M thỏa mãn các điều kiện sau:

1) Với mỗi i ∈ I, tồn tại q(i) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ M ta có

pi(T x − T y) 6 q(i)pf (i)(x − y);

2) Tồn tại x0 ∈ M sao cho với mọi i ∈ I, chuỗi

Khi đó, T có duy nhất điểm bất động x ∈ M thỏa mãn

P

r=1

dr = x0+ ynsuy ra (xn) hội tụ trong E Vì (xn) ⊂ M và M đóng nên x = lim

n→∞xn =lim

n→∞Tnx0 ∈ M Với mọi i ∈ I ta có

pi(T x − T xn) 6 pf (i)p(x − xn) → 0khi n → ∞ Suy ra xn+1 = T xn → T x khi n → ∞ Vì E là Hausdorffnên x = T x

pfk (i)(x − x0) 6 S(i) − Sk−1 k(i)

và khi n → ∞ ta thu được pi(x − y) = 0 với mọi i ∈ I Suy ra x = y

Ta nhận được hệ quả sau:

2.1.2 Hệ quả ([3]) Cho E là không gian lồi địa phương đầy đủ dãy và

f là ánh xạ từ I vào I Giả sử M là tập con đóng trong E và T là ánh

xạ từ M vào M thỏa mãn các điều kiện sau:

1) Với mọi i ∈ I tồn tại q(i) > 0 sao cho:

pi(T x − T y) 6 q(i)pf (i)(x − y) ∀x, y ∈ M

2) Với mọi i ∈ I tồn tại n(i) ∈ N sao cho với mọi n > n(i), q[fn(i)] 6

2.1.3 Định lý ([3]) Cho G là tập con lồi, đóng của không gian tôpô lồiđịa phương Hausdorff E và S, T là hai ánh xạ từ G vào E thỏa mãn cácđiều kiện

3 Ánh xạ S là liên tục và S(G) là tập compact tương đối.

Khi đó, tồn tại một điểm x0 ∈ G sao cho Sx0 + T x0 = x0

Chứng minh Với mỗi x ∈ G cố định, ta xét ánh xạ y → T y + Sx Từđiều kiện 2) của định lý ta dễ dàng suy ra ánh xạ y → T y + Sx thỏamãn tất cả các điều kiện của Định lý 2.1.1, và do đó tồn tại duy nhất

z = T z + Sz

Định lý sau đây là cũng là một hệ quả của Định lý 2.1.1, nó khẳngđịnh tính liên tục theo tham số của điểm bất động của các ánh xạ phụthuộc tham số

2.1.4 Định lý ([3]) Cho E là không gian lồi địa phương đầy đủ dãy và

f là ánh xạ từ I vào I Giả sử M là tập con đóng trong E Giả sử Λ

là một không gian tôpô và Φ là một ánh xạ từ M × Λ vào M Hơn nữa,giả sử rằng φx : λ → φ(x, λ) là liên tục theo biến λ, với mỗi x ∈ M và

φλ : x → φ(x, λ) thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Với mọi i ∈ I và λ ∈ Λ, tồn tại fλ : I → I và qλ > 0 sao cho:

pi(φλx − φλy) 6 qλ(i)pfλ(i)(x − y) ∀x, y ∈ M

2 Với mọi i ∈ I và n ∈ N , tồn tại an(i) > 0 Qn(i) > 0 và g(i) ∈ Isao cho:

a) pfn

λ (i)(x) 6 an(i)pg(i)(x) với mọi λ ∈ Λ và x ∈ M

b) q[fλn(i)] 6 Qn(i) với mọi λ ∈ Λ

Chứng minh Từ các điều kiện a) của định lý, với mỗi λ ∈ Λ ánh xạ

Φλ : M → M xác định bởi Φλ(x) = Φ(x, λ) thỏa mãn các điều kiệncủa Định lý 2.1.1 Do đó, tồn tại duy nhất x(λ) ∈ M sao cho x(λ) =Φ[x(λ), λ], λ ∈ Λ và x(λ) là giới hạn của dãy {xn,λ} ⊂ M xác định bởi

xn,λ = Φ[xn−1,λ, λ] Hơn nữa, từ điều kiện c) của định lý, không mất tínhtổng quát với phần tử {x0,λ ∈ M } Nếu tiếp tục áp dụng Định lý 2.1.1đối với T là ánh xạ Φλ ta thu được từ (2.1) bất đẳng thức

2.1.5 Định lý ([5]) Cho E là không gian lồi địa phương đầy đủ dãy và

M là tập con đóng trong E T là ánh xạ từ M vào E

1) Với mọi (α, i) ∈ I × {1; 2; ; k} tồn tại q(α, i) > 0 và ánh xạ